통계적 일탈 기준 ↔ 정규분포

이상행동의 통계적 기준에서 “평균에서 크게 벗어났다”는 말은 정규분포의 꼬리에 놓였다는 말과 같다. 그래서 절단점을 고르는 순간, 몇 %를 이상으로 분류할지가 함께 정해진다.

먼저 비교해 보기

표를 펼치기 전에 두 사례의 공통 구조와 대응 관계를 먼저 적어 본다.

이상 심리학: 지적 장애의 지능 기준	확률과 통계: 서버 응답 시간
지능지수는 평균 100, 표준편차 15로 맞춘 점수다¹	응답 시간은 평균 200 ms, 표준편차 20 ms인 정규분포다²
지능지수 70 미만을 지적 장애의 한 기준으로 본다	160 ms 미만을 “이례적으로 빠름”으로 표시한다²
70 미만인 사람은 몇 %인가?	160 ms 미만인 요청은 몇 %인가?
69점과 71점은 무엇이 다른가?	159 ms와 161 ms는 무엇이 다른가?

대응 관계

이상 심리학	정규분포	공통 구조
집단의 평균 점수	평균 \(\mu\)	분포의 가운데
점수가 흩어진 정도	표준편차 \(\sigma\)	거리의 단위
절단점(지능지수 70)	문턱 \(\mu - 2\sigma\), \(z = -2\)	“평균에서 표준편차 몇 개”로 잰 경계
이상으로 분류되는 사람의 비율	꼬리 확률 \(\Phi(-2) \approx 2.3\%\) (\(\Phi(z)\)는 표준정규분포에서 \(z\)보다 작은 값이 나올 확률)	경계 밖 넓이
절단점 부근 사례 문제(2점이 기준이면 1.98점은?)	연속분포에서 문턱 양옆 값은 거의 같다	연속인 양을 둘로 자르면 경계에서 차이가 사라진다
바람직한 방향의 일탈(지능이 높은 경우)	오른쪽 꼬리	꼬리는 둘이지만 문제가 되는 쪽은 하나일 수 있다
전제: 특성이 정규분포를 이룬다	68-95-99.7 규칙이 맞을 조건	비율 계산은 분포 모양에 달려 있다

어디까지 같은가

대응이 맞는 범위는 특성을 한 줄의 수치로 재고, 그 분포가 정규분포에 가까울 때다. 지능지수는 애초에 정규분포 모양이 되도록 점수를 맞춘 검사라 대응이 잘 맞는다.

대응이 깨지는 지점은 셋이다.

분포가 치우친 경우. 대부분이 낮은 값에 몰리고 오른쪽으로 길게 늘어진 분포에서는 “평균 + 2 표준편차 위”의 비율이 2.3%가 아니다. 지수분포 모양이면 약 5.0%로 두 배가 넘는다. 이때는 표준편차 대신 백분위(하위 2%)로 절단점을 잡아야 비율이 보장된다. 통계적 기준의 전제와 달리, 심리 특성이 항상 정규분포를 이루지는 않는다.
측정 오차가 있는 경우. 관측 점수는 참 점수에 오차가 더해진 값이다. 측정 표준오차가 3점이면, 참 점수가 72점인 사람도 약 25%의 확률로 70 미만이 나온다. 그래서 진단 편람은 지능지수 70에 측정 오차를 감안한 범위(대략 65~75)를 허용하고, 점수만이 아니라 적응 기능을 함께 본다³.
특성이 하나의 수치가 아닌 경우. 환각, 착취, 공허감처럼 한 줄의 점수로 재기 어려운 특성에는 이 대응을 쓸 수 없다. 통계 기준이 “사람의 수많은 특성에 다 적용되지 않는다”는 단점이 여기서 나온다.

두 분포 모두 평균 0, 표준편차 1로 맞췄다. 그래도 지수분포는 오른쪽 꼬리가 두꺼워서, 같은 “평균 + 2σ” 위에 두 배 넘는 넓이가 남는다⁴.

이 연결로 얻는 것

절단점이 유병률을 정한다. 통계 기준만으로 장애를 정하면 유병률은 발견이 아니라 선택이다. 문턱을 \(-1.5\sigma\)로 잡으면 6.7%, \(-2\sigma\)면 2.3%, \(-2.5\sigma\)면 0.6%가 “이상”이 된다. 유병률 수치를 볼 때 어떤 절단점을 썼는지 먼저 물어야 하는 이유다.
서로 다른 검사를 한 자로 비교한다. 평균과 표준편차가 다른 두 검사라도 \(z = (x - \mu)/\sigma\)로 바꾸면 “평균에서 몇 표준편차”라는 같은 단위가 된다.
오분류를 계산한다. 측정 오차의 크기를 알면 절단점 부근에서 잘못 분류될 확률을 구할 수 있다. 이 계산이 “한 번의 검사 점수만으로 판정하지 말라”는 규칙의 근거가 된다.

평균에 가까운 쪽일수록 곡선이 높다. 그래서 절단점을 같은 폭만큼 옮겨도, 평균 쪽으로 옮길 때 늘어나는 넓이가 더 크다⁴.

검증: \(\Phi(-2) = 0.02275\), 절단점별 비율 네 개, 양쪽 꼬리 4.55%, 지수분포 꼬리(식과 모의실험 20만 개), 측정 오차 오분류 25.2%, 전이 문제의 경보 횟수 — 003_statistical-deviation–normal-distribution_verify.py

전이 문제

서버 CPU 사용률을 한 시간에 한 번 잰다. 평소 사용률은 평균 40%, 표준편차 8%인 정규분포를 따른다. 운영팀은 “평균 + 3 표준편차”를 넘으면 경보를 울린다. 서버가 정상이어도 1년(8,760번 측정) 동안 경보가 몇 번 울릴까? 사용률 분포의 오른쪽 꼬리가 지수분포처럼 두껍다면 어떻게 달라지나? 이 상황에서 절단점, 이상 판정, 정규분포 전제에 해당하는 것은 각각 무엇인가?

답

문턱은 \(40 + 3 \times 8 = 64\%\)다. 정규분포면 한 번 잴 때 넘을 확률은 \(1 - \Phi(3) \approx 0.135\%\)이고, 1년에 약 \(8760 \times 0.00135 \approx 12\)번 울린다.
꼬리가 지수분포 모양이면 “평균 + 3σ” 위의 확률이 \(e^{-4} \approx 1.8\%\)라 1년에 약 160번 울린다. 정규분포를 전제한 문턱이 잘못된 경보를 열 배 넘게 만든다.
대응: 경보 문턱 ↔ 절단점, 경보 ↔ 이상 판정, 정상인데 울린 경보 ↔ 바람직하거나 무해한 일탈을 이상으로 분류한 경우, 꼬리 모양 ↔ “특성이 정규분포를 이룬다”는 전제.

확인 문제

C1 평균 100, 표준편차 15인 지능검사에서 절단점을 70에서 77.5로 올리면, 지적 장애의 지능 기준에 해당하는 사람의 비율은 어떻게 바뀌는가?

답: 70은 \(z = -2\)라 약 2.3%, 77.5는 \(z = -1.5\)라 약 6.7%다. 절단점을 7.5점 올리면 해당 비율이 세 배 가까이 늘어난다.
이유: 절단점 근처는 사람이 몰린 쪽이라, 문턱을 조금만 옮겨도 꼬리 넓이가 크게 바뀐다. 통계 기준의 유병률이 절단점 선택에 달려 있다는 뜻이다.

C2 “평균에서 2 표준편차 벗어나면 이상, 그 비율은 약 2.3%”라는 말이 틀릴 수 있는 두 경우를 쓰라.

답: (1) 특성의 분포가 정규분포가 아니면 꼬리 비율이 달라진다. 오른쪽으로 치우친 지수분포 모양이면 평균 + 2σ 위가 약 5%다. (2) 오른쪽 꼬리가 바람직한 방향이면(지능이 높은 경우) 그쪽 2.3%는 이상이 아니다. 측정 오차 때문에 절단점 부근의 개인 판정이 뒤바뀔 수 있다는 점도 답이 된다.

웩슬러 지능검사 등 표준 지능검사는 평균 100, 표준편차 15가 되도록 점수를 환산한다. ↩
정규분포의 “예시로 보기”(서버 응답 시간 평균 200 ms, 표준편차 20 ms) ↩ ↩²
DSM-5-TR의 지적발달장애 설명은 지능이 평균보다 약 2 표준편차 아래이고, 측정 오차(약 ±5점)를 감안해 65~75 범위를 본다고 적는다. 측정 표준오차 3점은 계산을 위한 가정이다. ↩
003_statistical-deviation–normal-distribution_plot.py로 그렸고, 그림에 쓴 값(지능지수 평균 100, 표준편차 15에서 62.5, 70, 77.5 미만의 비율 0.6%, 2.3%, 6.7%, 평균 + 2σ 위의 넓이 정규분포 2.3%와 평균 0·표준편차 1로 옮긴 지수분포 5.0%)을 같은 코드로 확인했다. ↩ ↩²