도박사의 오류 ↔ 독립

도박장애의 인지 왜곡인 도박사의 오류는 “서로 독립적으로 일어나는 확률적 사건의 착각”이다. 확률과 통계의 말로 옮기면, 독립 시행에서 조건부 확률이 바뀐다고 믿는 오류다. 이 대응을 알면 “이제 딸 차례”라는 믿음을 계산으로 반박할 수 있다.

먼저 비교해 보기

표를 펼치기 전에 두 사례의 공통 구조와 대응 관계를 먼저 적어 본다.

이상 심리학: 룰렛 앞의 JH	확률과 통계: 공정한 동전
빨강이 다섯 번 연속 나왔다. JH는 “이제 검정 차례”라며 판돈을 두 배로 올린다¹	뒷면이 다섯 번 연속 나왔다²
다음 판에 검정이 나올 확률은 이전 다섯 판 때문에 달라지는가?	다음 던지기에서 앞면이 나올 조건부 확률은?
JH는 “계속 잃었으니 곧 본전을 찾는다”고 믿는다	던질수록 앞면 비율은 1/2에 가까워진다. 그러면 앞면과 뒷면의 개수 차이도 줄어드는가?
빨강에 1만 원씩 100판을 걸면 평균적으로 얼마를 잃는가?	한 번 거는 게임의 기댓값은?

대응 관계

도박장애	확률과 통계	공통 구조
한 판 한 판의 룰렛, 주사위, 슬롯머신	독립 시행	앞의 결과가 다음 확률을 바꾸지 않는다: \(P(A \mid B) = P(A)\)
“이제 검정 차례”라는 믿음	\(P(\text{검정} \mid \text{빨강 5연속}) > P(\text{검정})\)이라는 착각	독립을 의존으로 착각한다
“계속 잃었으니 곧 행운이 온다”(자기편의적 오류)	큰 수의 법칙은 비율의 수렴이지 차이의 보정이 아니다	과거의 손실은 앞으로 갚아지지 않는다
하우스(도박장)가 늘 이긴다	한 판의 기댓값이 음수다(유럽식 룰렛 빨강 베팅 \(-\frac{1}{37}\))	판을 거듭할수록 기대 손실이 쌓인다
손실을 만회하려 더 걸기(기준 6)	판돈을 키워도 판당 기댓값의 부호는 그대로다	더 걸수록 기대 손실이 커진다
통제력의 착각, 미신적 사고	확률은 행동이나 생각에 따라 바뀌지 않는다	무작위 과정에 대한 통제감

어디까지 같은가

대응이 맞는 범위는 판마다 확률 장치가 같은 조건으로 다시 돌아가는 게임이다. 룰렛, 주사위, 동전, 제대로 작동하는 슬롯머신, 매주 새로 뽑는 복권이 여기에 든다.

대응이 깨지는 지점은 셋이다.

비복원 추출. 블랙잭처럼 한 벌의 카드에서 나온 카드를 다시 넣지 않으면, 앞의 결과가 남은 카드의 확률을 실제로 바꾼다. 이때 “앞에 나온 것 때문에 다음 확률이 달라진다”는 생각은 오류가 아니다. 카드 카운팅이 가능한 이유다.
실력과 정보가 개입하는 도박. 스포츠 도박의 경기 결과는 동전처럼 독립 시행이 아니다. 팀의 부상, 컨디션 같은 정보가 확률을 바꾼다. 다만 배당률에 이미 수수료가 들어 있어 평균적으로 불리하다는 점은 같다.
장치의 결함이나 조작. 기계가 고장 나거나 조작되면 독립 가정 자체가 무너진다. 그러나 도박사의 오류에 빠진 사람은 대개 “고장”이 아니라 “순서”를 근거로 삼는다.

이 연결로 얻는 것

인지 재구성의 재료. 도박장애의 인지행동치료는 도박 관련 비합리적 인지를 고친다. “이제 딸 차례”라는 믿음에 대해 뒷면 5연속 뒤 앞면 비율(모의실험 약 0.50)과 조건부 확률을 보여 주면, 막연한 설득 대신 확인 가능한 반증이 된다.
기대 손실의 계산. 유럽식 룰렛(0 하나, 37칸)에서 빨강에 걸면 이길 확률 \(\frac{18}{37}\), 질 확률 \(\frac{19}{37}\)이라 한 판의 기댓값은 \(\frac{18}{37} - \frac{19}{37} = -\frac{1}{37} \approx -2.7\%\)다. 1만 원씩 100판을 걸면 평균 약 2만 7천 원을 잃는다.
손실 만회 전략의 반박. 잃을 때마다 판돈을 두 배로 올리는 마틴게일 전략은 “언젠가 한 번 이기면 본전”이라는 믿음이다. 자금 100에서 1부터 걸어 최대 200판을 하는 모의실험에서 약 69%가 걸 돈이 모자라 멈췄고, 평균 손익은 약 −10이었다. 판마다 기댓값이 음수이므로 판돈 전략은 부호를 바꾸지 못한다.
큰 수의 법칙의 바른 이해. 뒷면 5개가 먼저 나온 뒤 계속 던지면 앞면 비율은 1/2에 가까워지지만, 앞면과 뒷면 개수 차이의 기댓값은 −5 그대로다. 비율이 1/2로 가는 것은 차이가 메워져서가 아니라, 늘어나는 전체 횟수에 묻혀서다.

다섯 색은 각각 따로 던진 기록이다. 왼쪽 비율은 모두 1/2로 모이지만, 오른쪽 차이는 −5로 돌아오지 않고 제멋대로 떠돈다. 회색 점선이 기댓값이다³.

다섯 색은 각각 빨강에 1단위씩 2,000판 건 기록이다. 끝까지 앞서는 기록도 있지만, 기댓값은 판마다 1/37씩 내려가는 회색 점선이다³.

검증: 뒷면 5연속 뒤 앞면 비율(200만 번 모의실험 0.50), 빨강 베팅 기댓값 −1/37(정확값과 200만 판 모의실험), 100판 기대 손실 27,027원, 마틴게일 파산 비율과 평균 손익(2만 회), 로또 6/45 조합 수, 차이와 비율의 기댓값 — 137_gamblers-fallacy–independence_verify.py

전이 문제

로또 6/45를 사는 JI는 “지난주 당첨 번호 조합은 이번 주에 다시 나올 리 없으니 절대 고르지 않는다”고 말한다. 한편 JJ는 “1, 2, 3, 4, 5, 6 같은 조합은 너무 규칙적이라 나올 리 없다”고 한다. 두 사람의 믿음을 독립과 확률로 평가하고, 이 상황에서 “독립 시행”, “도박사의 오류”, “미신적 사고”에 해당하는 것을 각각 짚으라.

답

매주 추첨은 새로 섞은 공으로 하는 독립 시행이다. 어떤 조합이든 당첨 확률은 \(\frac{1}{\binom{45}{6}} = \frac{1}{8{,}145{,}060}\)로 같다. 지난주 조합도, 1~6 조합도 이번 주에 나올 확률은 다른 조합과 똑같다.
JI의 믿음은 도박사의 오류다. 지난 결과가 다음 추첨의 확률을 낮춘다고 착각한다.
JJ의 믿음은 “무작위는 불규칙해 보여야 한다”는 직관으로, 특정 모양의 조합이 승패에 영향을 준다고 믿는 점에서 미신적 사고에 가깝다.
대응: 매주 추첨 ↔ 독립 시행, “다시 나올 리 없다” ↔ 도박사의 오류, “규칙적인 조합은 안 나온다” ↔ 미신적 사고.

확인 문제

C1 유럽식 룰렛(37칸: 빨강 18, 검정 18, 초록 0 하나)에서 빨강에 5만 원씩 40판을 걸면 기대 손익은 얼마인가?

답: 한 판의 기댓값은 \(-\frac{1}{37}\) 단위이므로 \(40 \times 50{,}000 \times (-\frac{1}{37}) \approx -54{,}054\)원, 약 5만 4천 원 손실이다.
이유: 기댓값의 선형성으로 판마다의 기댓값을 더하면 된다. 판돈 전체(200만 원)의 약 2.7%가 평균적으로 사라진다.

C2 “큰 수의 법칙에 따르면 결국 확률대로 나오니까, 지금까지 잃은 만큼 앞으로 딸 것이다”라는 말이 틀린 이유를 쓰라.

답: 큰 수의 법칙은 비율이 확률에 가까워진다는 것이지, 지나간 편차가 앞으로 메워진다는 것이 아니다. 앞으로의 시행은 과거와 독립이므로 개수 차이의 기댓값은 그대로 남고, 비율만 전체 횟수가 커지면서 확률에 다가간다. 게다가 도박은 판마다 기댓값이 음수라, 오래 할수록 손실의 기댓값은 더 커진다.

룰렛 사례, 기대 손실, 마틴게일 모의실험, 전이 문제는 브리지를 위해 만든 예이고 수치는 검증 코드로 확인했다. 룰렛 칸의 색 배정은 계산을 위한 단순화다(실제 룰렛의 빨강·검정 번호 배열과 무관하게 비율만 같다). ↩
독립의 정의 \(P(A \cap B) = P(A)P(B)\), 곧 \(P(A \mid B) = P(A)\) ↩
137_gamblers-fallacy–independence_plot.py로 그렸고, 그림에 쓴 값(뒷면 5개를 먼저 안은 뒤 차이의 기댓값 −5와 비율의 기댓값 \(\frac{n/2}{n+5}\), 빨강 베팅 한 판의 기댓값 \(-\frac{1}{37}\)(200만 판 모의실험), 100판 기대 손실 27,027원. 색 선 다섯 개는 모의실험 한 번의 예이며 통계 수치가 아니다)을 같은 코드로 확인했다. ↩ ↩²