한 사건이 일어났다는 소식이 다른 사건의 확률을 조금도 바꾸지 않으면 두 사건은 독립이다. 그러면 둘이 함께 일어날 확률은 각 확률의 곱이 되어 계산이 아주 쉬워진다. 서버 여러 대, 패킷 여러 개의 확률 모델은 거의 다 이 가정 위에 서 있다. 하지만 같은 전원, 같은 소프트웨어 버그처럼 공통 원인이 있으면 독립이 깨지고, 곱으로 계산한 위험은 실제보다 수천 배 작게 나올 수 있다.
예시로 보기
주사위 두 개에서 “첫 주사위가 6”(확률 \(\frac16\))과 “합이 7”(확률 \(\frac16\))은 독립이다. 첫 주사위가 6이면 합 7이 되는 둘째 눈은 1 하나라, 조건부 확률도 \(\frac16\)이다. 정보가 확률을 바꾸지 않았다. 실제로 \(P(\text{둘 다}) = \frac{1}{36} = \frac16 \times \frac16\)이다.
반면 “첫 주사위 6”과 “합이 8”은 독립이 아니다. 합 8의 확률은 \(\frac{5}{36}\)인데, 첫 주사위가 6이면 \(\frac16\)로 바뀐다. 두 사건이 같은 주사위에 달려 있다는 것만으로는 독립 여부를 알 수 없고, 아래 정의의 등식으로 확인해야 한다.
정의
두 사건 \(A\), \(B\)가 독립이라는 것은
\[P(A \cap B) = P(A)\,P(B)\]라는 뜻이다. \(P(B) > 0\)이면 이것은 \(P(A \mid B) = P(A)\)와 같다. 사건 \(A_1, \dots, A_n\)이 (상호) 독립이라는 것은 그중 어떤 몇 개를 골라도 그것들의 교집합 확률이 각 확률의 곱이라는 뜻이다1.
곱 꼴의 정의는 \(P(B) = 0\)일 때도 쓸 수 있고, \(A\)와 \(B\)에 대해 대칭이라 조건부 꼴보다 기본으로 쓴다.
독립이면 여사건끼리도 독립이다. \(A\), \(B\)가 독립이면 \(A\)와 \(B^c\)도 독립이다. \(P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)\,P(B^c)\)이기 때문이다. 그래서 “모두 실패할 확률”을 각 실패 확률의 곱으로 쓸 수 있다.
쌍마다 독립은 상호 독립이 아니다. 동전 두 개를 던져 \(A\) = “첫째 앞면”, \(B\) = “둘째 앞면”, \(C\) = “두 면이 같음”이라 하자. 확률은 모두 \(\frac12\)이고, 어느 두 사건의 교집합도 확률 \(\frac14\)라 쌍마다 독립이다. 하지만 \(A \cap B\)가 일어나면 \(C\)는 반드시 일어나서 \(P(A \cap B \cap C) = \frac14 \ne \frac18\)이다. 셋이 독립이려면 세 쌍의 조건과 세 개 전체의 조건이 모두 필요하다.
예제
복제본과 공통 원인. 데이터를 서버 세 대에 복제하고, 서버마다 하루에 확률 0.01로 고장 난다.
- 독립 가정: 세 대가 독립으로 고장 나면 모두 고장 날 확률은 \(0.01^3 = 10^{-6}\)이다.
- 공통 원인 추가: 세 대가 같은 랙 전원을 쓰고, 그 전원이 하루에 0.001의 확률로 나가 세 대를 한꺼번에 멈춘다고 하자.
- 다시 계산: 모두 멈출 확률은 \(0.001 + 0.999 \times 10^{-6} \approx 0.001\)이다.
- 결론: 독립 가정은 위험을 약 1,000배 작게 잡았다. 고가용성 설계에서 복제본을 다른 랙, 다른 데이터센터에 두는 이유다.
flowchart TD
P["공통 랙 전원: 하루 0.001로 나감"] --> S1["서버 1 멈춤"]
P --> S2["서버 2 멈춤"]
P --> S3["서버 3 멈춤"]
F1["서버 1 자체 고장 0.01"] --> S1
F2["서버 2 자체 고장 0.01"] --> S2
F3["서버 3 자체 고장 0.01"] --> S3
아래쪽 자체 고장 셋은 서로 따로 일어난다. 위쪽 전원 하나가 세 서버에 모두 이어져 있어서, 세 서버의 멈춤은 더 이상 독립이 아니다.2
활용
- 신뢰성 계산. 독립인 부품이 직렬이면 모두 정상일 확률이 곱이고, 병렬(하나만 살아도 됨)이면 “모두 고장”의 확률을 곱해 1에서 뺀다.
- 확률 모델의 기본 가정. 동전 던지기, 패킷 손실, 이항분포는 모두 시행들이 독립이라는 가정에서 출발한다. 가정이 맞는지부터 따져야 결과를 믿을 수 있다.
- 알고리즘에서: 길마다 성공 확률 \(p\)가 있는 망에서 성공 확률이 가장 큰 경로는, 길의 비용을 \(-\ln p\)(0 이상)로 두고 다익스트라로 찾는다. 길끼리 독립이어야 경로의 성공 확률이 길마다의 \(p\)를 곱한 값이 되어, 곱을 가장 크게 하는 일이 비용 합을 가장 작게 하는 일로 바뀐다.
연결
자주 하는 오해
틀렸다. 두 사건이 같은 주사위나 같은 데이터에 달려 있으면 얽혀 있을 것 같아 보인다. 하지만 독립은 인과 관계가 아니라 확률의 등식으로 정의된다. 예시에서 “첫 주사위 6”과 “합 7”은 같은 첫 주사위에 달려 있는데도 독립이다. 반대로 물리적으로 떨어진 서버도 공통 원인이 있으면 독립이 아니다. 판단은 늘 \(P(A \cap B) = P(A)P(B)\)를 계산해서 한다.
확인 문제
C1 주사위 두 개에서 “첫 주사위가 6”과 “합이 7”은 독립인가? “첫 주사위가 6”과 “합이 8”은?
답: 합 7과는 독립이다. \(P(\text{둘 다}) = \frac{1}{36} = \frac16 \cdot \frac16\). 합 8과는 독립이 아니다. \(P(\text{둘 다}) = \frac{1}{36}\)인데 \(\frac16 \cdot \frac{5}{36} = \frac{5}{216}\)이다.
C2 쌍마다 독립이지만 셋이 함께 독립은 아닌 세 사건의 예를 들어라.
답: 동전 두 개에서 \(A\) = 첫째 앞, \(B\) = 둘째 앞, \(C\) = 두 면이 같음. 어느 두 사건도 교집합 확률이 \(\frac14 = \frac12 \cdot \frac12\)이지만, \(P(A \cap B \cap C) = \frac14 \ne \frac18\)이다.
C3 서버 세 대가 서로 독립으로 각각 확률 0.9로 정상일 때, 적어도 한 대가 정상일 확률은?
답: 여사건 “모두 고장”의 확률이 \(0.1^3 = 0.001\)이라 \(1 - 0.001 = 0.999\). 고장끼리 독립인 것은 정상끼리 독립인 데서 나온다(여사건의 독립).