먼저 알아야 할 것
- 복소수의 극형식과 오일러 공식 (오일러 등식, 복소수 사칙 연산)
- 수열의 극한과 e (자연상수와 복리 계산)
- 사인파, 미분방정식과 오일러 방법, 고윳값과 고유벡터 (특이함수와 푸리에 급수 도입에서 쓴다)
- 교재: Oppenheim·Willsky, Signals and Systems 2판. 문서에 나오는 그림·예제 번호가 이 교재를 따른다.
복습: 자연상수, 오일러 등식, 미분방정식
읽기 전에
- \(y'' - y' - 6y = 0\)에 \(e^{\lambda x}\)를 넣으면 무엇이 남을까? → 상수계수 2계 선형 미분방정식
- \(y' + p(x)y = g(x)\)의 왼쪽을 ‘무엇의 미분’ 하나로 만들려면 양변에 무엇을 곱해야 할까? → 1계 선형 미분방정식
| 번호 | 개념 | 한 줄 | 개념 코드 | 연습 |
|---|---|---|---|---|
| 01 | 1계 선형 미분방정식 | 지금 값으로 변화율이 정해지는 식. 적분인자로 한 번에 푼다 | fig1 · plot · verify | — |
| 02 | 상수계수 2계 선형 미분방정식 | \(e^{\lambda x}\)를 넣어 특성방정식으로. 실근·중근·복소근 | fig1 · plot · verify | 예제 사다리 · 문제 코드 |
떠올려 보기: 노트를 닫고 특성근의 세 경우(서로 다른 실근, 중근, 복소근)의 일반해를 써 본다.
1장 신호의 종류, 에너지, 시간축 변환
읽기 전에
- \(\cos 2\pi t\)와 1초짜리 펄스 중 에너지가 무한대인 것은? → 신호의 에너지와 전력
- \(x(2t)\)는 \(x(t)\)보다 넓을까, 좁을까? → 독립 변수의 변환
| 번호 | 개념 | 한 줄 | 개념 코드 | 연습 |
|---|---|---|---|---|
| 03 | 연속 시간 신호와 이산 시간 신호 | 모든 순간에 값이 있나, 정해진 순간에만 있나 | fig1 · plot | — |
| 04 | 신호의 에너지와 전력 | 크기 제곱의 합(에너지)과 시간 평균(전력) | fig1 · plot · verify | — |
| 05 | 독립 변수의 변환 | 이동, 반전, 척도. 이동 먼저 하고 척도 | fig1 · plot · verify | — |
| 06 | 주기 신호 | \(T\)만큼 밀어도 같은 신호. 가장 작은 \(T\)가 기본 주기 | fig1 · plot | — |
| 07 | 짝 신호와 홀 신호 | 뒤집어도 같은 신호와 부호만 바뀌는 신호. 모든 신호는 둘의 합 | verify | — |
떠올려 보기: 노트를 닫고 그림 1.13의 \(x(t)\)로 \(x(-t+1)\)과 \(x(\frac32 t + 1)\)을 그려 본다.
1장 지수·정현파 신호, 임펄스와 계단
읽기 전에
- \(\cos(7\pi n)\)과 \(\cos(\pi n)\)은 다른 신호일까? → 이산 시간 복소 지수 신호
- 높이가 무한대인데 넓이가 1인 신호에 \(x(t)\)를 곱해 적분하면 무엇이 남을까? → 단위 임펄스와 단위 계단
| 번호 | 개념 | 한 줄 | 개념 코드 | 연습 |
|---|---|---|---|---|
| 08 | 연속 시간 복소 지수 신호 | 원 위를 도는 점. 정현파, 페이저, 고조파 | fig1 · fig2 · plot · verify | — |
| 09 | 이산 시간 복소 지수 신호 | \(\omega_0\)가 \(2\pi\)마다 같고, \(\omega_0/2\pi\)가 유리수일 때만 주기적 | fig1 · plot · verify | 예제 사다리 · 문제 코드 |
| 10 | 단위 임펄스와 단위 계단 | 넓이 1인 바늘과 스위치. 미분·누적 관계와 표본화 성질 | fig1 · fig2 · plot · verify | — |
| 11 | 표본화와 양자화 | 시간을 끊고(표본화) 값을 끊는다(양자화) | fig1 · fig2 · plot · verify | — |
떠올려 보기: 노트를 닫고 표 1.1(연속·이산 복소 지수 비교)을 다시 써 본다.
1장 시스템과 시스템의 성질
| 번호 | 개념 | 한 줄 | 개념 코드 | 연습 |
|---|---|---|---|---|
| 12 | 시스템과 시스템 연결 | 입력을 출력으로 바꾸는 상자. 직렬·병렬·피드백 | — | — |
| 13 | 기억과 가역성 | 지금 입력만 쓰는가, 출력으로 입력을 되찾을 수 있는가 | — | — |
| 14 | 인과성 | 미래 입력을 쓰지 않는다 | fig1 · plot · verify | — |
| 15 | 안정성 | 유계 입력에 유계 출력 | fig1 · fig2 · plot · verify | — |
| 16 | 시불변성 | 늦게 넣으면 그만큼 늦게 나온다 | fig1 · plot · verify | — |
| 17 | 선형성 | 따로 넣고 더한 것 = 더해서 넣은 것 | verify | 예제 사다리 · 문제 코드 |
떠올려 보기: 노트를 닫고 시스템 성질 여섯 개의 정의를 한 줄씩 쓰고, 각각을 깨는 예를 하나씩 든다.
2장 LTI 시스템과 컨벌루션 (1)
읽기 전에
| 번호 | 개념 | 한 줄 | 개념 코드 | 연습 |
|---|---|---|---|---|
| 18 | 컨벌루션 합 | 입력을 임펄스로 쪼개고, 옮긴 \(h\)를 키워 더한다 | fig1 · fig2 · impl · plot | — |
| 19 | 컨벌루션 적분 | 계단 근사의 극한. 뒤집고 밀어 겹친 넓이 | fig1 · fig2 · plot · verify | 예제 사다리 · 문제 코드 |
떠올려 보기: 노트를 닫고 예제 2.4의 다섯 구간을 그림과 함께 다시 나누어 본다.
2장 LTI 시스템과 컨벌루션 (2)
읽기 전에
- 누산기 \(h[n] = u[n]\)는 안정할까? \(h\)만 보고 판정할 수 있을까? → 임펄스 응답으로 본 LTI 시스템의 성질
- \(y[n] = 0.5y[n-1] + x[n]\)의 임펄스 응답은 몇 칸 뒤에 끝날까? → 차분방정식으로 표현한 LTI 시스템
| 번호 | 개념 | 한 줄 | 개념 코드 | 연습 |
|---|---|---|---|---|
| 20 | 컨벌루션의 성질 | 교환·분배·결합. 직렬은 \(h_1 * h_2\), 병렬은 \(h_1 + h_2\) | fig1 · plot · verify | — |
| 21 | 임펄스 응답으로 본 LTI 시스템의 성질 | \(h\)만 보고 기억·가역·인과·안정을 판정 | fig1 · plot · verify | — |
| 22 | 단위 계단 응답 | 계단을 넣은 출력. \(h\)를 쌓으면 \(s\), \(s\)의 차이가 \(h\) | fig1 · plot · verify | — |
| 23 | 미분방정식으로 표현한 LTI 시스템 | 초기 휴지 조건을 붙이면 인과 LTI. 자연 응답 + 강제 응답 | fig1 · plot · verify | — |
| 24 | 차분방정식으로 표현한 LTI 시스템 | 과거 출력을 다시 쓰면 IIR, 안 쓰면 FIR | fig1 · fig2 · plot · verify | — |
| 25 | 차분방정식 ↔ 선형 점화식 | 같은 식, 같은 풀이. 시스템 쪽에만 입력과 임펄스 응답이 있다 | — | — |
| 26 | 블록 다이어그램 | 더하기·곱하기·지연(적분) 세 부품으로 그린 식 | — | — |
떠올려 보기: 노트를 닫고 \(\dot y + ay = bx\)와 \(y[n] - ay[n-1] = bx[n]\)의 계단 응답과 임펄스 응답을 나란히 유도해 본다.
특이함수와 3장 도입
| 번호 | 개념 | 한 줄 | 개념 코드 | 연습 |
|---|---|---|---|---|
| 27 | 특이함수 | 넓이 1인 짧은 펄스는 모양과 상관없이 임펄스처럼 행동 | fig1 · plot · verify | — |
| 28 | LTI 시스템의 고유함수 | \(e^{st}\)는 LTI를 지나도 모양 그대로, \(H(s)\)만 곱해진다 | fig1 · plot · verify | — |
| 29 | LTI 고유함수 ↔ 행렬 고유벡터 | 고유벡터로 나누면 행렬 곱이 곱셈, 고유함수로 나누면 컨벌루션이 곱셈 | — | — |
| 30 | 연속 시간 푸리에 급수 | 주기 신호 = 고조파의 합. 직교성으로 계수를 읽는다 | fig1 · fig2 · plot · verify | 예제 사다리 · 문제 코드 |
떠올려 보기: 노트를 닫고 단위 임펄스를 ‘짧은 펄스의 극한’과 ‘컨벌루션 항등원’ 두 방식으로 설명해 본다. 이어서 \(e^{st}\)가 LTI의 고유함수인 이유를 증명하고 푸리에 급수의 분석식을 유도해 본다.
3장 푸리에 급수 (1)
읽기 전에
- 사각파를 고조파로 아무리 많이 더해도 남는 것이 있을까? → 푸리에 급수의 수렴
- 신호를 3초 늦추면 푸리에 계수의 크기는 바뀔까? → 연속 시간 푸리에 급수의 성질
| 번호 | 개념 | 한 줄 | 개념 코드 | 연습 |
|---|---|---|---|---|
| 31 | 푸리에 급수의 수렴 | 에너지 유한이면 오차 에너지 0, 불연속점은 평균, 깁스 9% | fig1 · fig2 · plot · verify | — |
| 32 | 연속 시간 푸리에 급수의 성질 | 이동은 위상, 미분은 \(jk\omega_0\)배, 곱셈은 계수 컨벌루션, 파스발 | fig1 · plot · verify | — |
떠올려 보기: 노트를 닫고 표 3.1에서 시간 이동, 반전, 미분, 곱셈, 파스발을 계수 쪽 식으로 써 본다.
3장 푸리에 급수 (2)
읽기 전에
- 주기 4인 수열을 나타내려면 고조파가 몇 개 필요할까? → 이산 시간 푸리에 급수
- 주기 신호를 LTI 시스템에 넣으면 출력의 푸리에 계수는 어떻게 될까? → 푸리에 급수와 LTI 시스템
| 번호 | 개념 | 한 줄 | 개념 코드 | 연습 |
|---|---|---|---|---|
| 33 | 이산 시간 푸리에 급수 | 고조파가 \(N\)개뿐인 유한합. 수렴 문제 없음 | fig1 · fig2 · plot · verify | — |
| 34 | 이산 시간 푸리에 급수의 성질 | 표 3.2. 첫 번째 차, 누적 합, 주기 컨벌루션 \(Na_kb_k\) | fig1 · plot · verify | — |
| 35 | 푸리에 급수와 LTI 시스템 | 출력 계수 = 입력 계수 × 주파수 응답 | fig1 · plot · verify | — |
떠올려 보기: 노트를 닫고 예제 3.12 이산 구형파의 계수를 등비수열 합으로 다시 유도해 본다.
3장 푸리에 급수 (3)
읽기 전에
- 두 점의 평균을 내는 필터에 \((-1)^n\)을 넣으면 무엇이 나올까? → 주파수 형성 필터와 주파수 선택 필터
- 잡음 섞인 사진을 그대로 미분하면 경계가 잘 보일까? → 영상의 경계 검출과 평활화
| 번호 | 개념 | 한 줄 | 개념 코드 | 연습 |
|---|---|---|---|---|
| 36 | 주파수 형성 필터와 주파수 선택 필터 | 저역·고역·대역 통과. RC 회로, 1차 재귀, 이동 평균 | fig1 · fig2 · fig3 · plot · verify | — |
| 37 | 영상의 경계 검출과 평활화 | 평활화한 뒤 미분해 경계 찾기. PSNR | fig1 · plot · verify | — |
떠올려 보기: 노트를 닫고 RC 저역·고역 통과와 1차 재귀 필터의 \(H\)를 유도하고 \(\vert H\vert\)를 대략 그려 본다.
4장 연속 시간 푸리에 변환
읽기 전에
- 주기 신호의 주기를 무한히 늘리면 푸리에 계수는 어떻게 될까? → 연속 시간 푸리에 변환
- 녹음을 두 배 빨리 틀면 스펙트럼은 넓어질까, 좁아질까? → 푸리에 변환의 성질
| 번호 | 개념 | 한 줄 | 개념 코드 | 연습 |
|---|---|---|---|---|
| 38 | 연속 시간 푸리에 변환 | 주기를 무한히 늘린 푸리에 급수. 사각형 ↔ sinc | fig1 · fig2 · plot · verify | — |
| 39 | 주기 신호의 푸리에 변환 | 고조파 자리에 넓이 \(2\pi a_k\)인 임펄스 | fig1 · plot · verify | — |
| 40 | 푸리에 변환의 성질 | 표 4.1. 이동은 위상, 척도는 반비례, 미분은 \(j\omega\), 파스발 | fig1 · plot · verify | — |
| 41 | 푸리에 변환의 쌍대성 | 시간과 주파수의 역할을 바꾼 쌍이 늘 있다 | fig1 · plot · verify | — |
떠올려 보기: 노트를 닫고 표 4.1의 시간 이동, 척도, 미분, 적분, 파스발과 기본 쌍(지수, 사각 펄스, sinc, 임펄스, 계단)을 써 본다.
4장 푸리에 변환의 성질과 응용
읽기 전에
- 컨벌루션을 주파수 영역에서 하면 무엇이 될까? → 컨벌루션 성질과 주파수 응답
- 목소리에 \(\cos\omega_0 t\)를 곱하면 스펙트럼은 어디로 갈까? → 곱셈 성질과 진폭 변조
| 번호 | 개념 | 한 줄 | 개념 코드 | 연습 |
|---|---|---|---|---|
| 42 | 컨벌루션 성질과 주파수 응답 | \(y = h * x \leftrightarrow Y = HX\). 이상적 필터는 비인과 | fig1 · fig2 · plot · verify | — |
| 43 | 곱셈 성질과 진폭 변조 | 시간에서 곱하면 스펙트럼 이동. AM 변조와 복조 | fig1 · fig2 · plot · verify | — |
| 44 | 미분방정식 시스템의 주파수 응답 | \(H\)는 \(j\omega\)의 유리함수. 부분 분수로 역변환 | fig1 · plot · verify | 예제 사다리 · 문제 코드 |
떠올려 보기: 노트를 닫고 예제 4.26을 주파수 응답 → 곱 → 부분 분수 → 역변환 순서로 다시 풀어 본다.
다른 과목과의 연결
- 차분방정식 ↔ 선형 점화식 (공학수학 이산수학)
- 후보: 선형변환 ↔ 선형 시스템 (중첩과 선형변환의 정의가 같다).
흐름
graph TD
C1["01 1계 선형 미분방정식"]
C2["02 상수계수 2계 선형 미분방정식"]
C3["03 연속 시간 신호와 이산 시간 신호"]
C4["04 신호의 에너지와 전력"]
C5["05 독립 변수의 변환"]
C6["06 주기 신호"]
C7["07 짝 신호와 홀 신호"]
C8["08 연속 시간 복소 지수 신호"]
C9["09 이산 시간 복소 지수 신호"]
C10["10 단위 임펄스와 단위 계단"]
C11["11 표본화와 양자화"]
C12["12 시스템과 시스템 연결"]
C13["13 기억과 가역성"]
C14["14 인과성"]
C15["15 안정성"]
C16["16 시불변성"]
C17["17 선형성"]
C18["18 컨벌루션 합"]
C19["19 컨벌루션 적분"]
C20["20 컨벌루션의 성질"]
C21["21 임펄스 응답으로 본 LTI 시스템의 성질"]
C22["22 단위 계단 응답"]
C23["23 미분방정식으로 표현한 LTI 시스템"]
C24["24 차분방정식으로 표현한 LTI 시스템"]
C25["25 차분방정식 ↔ 선형 점화식"]
C26["26 블록 다이어그램"]
C27["27 특이함수"]
C28["28 LTI 시스템의 고유함수"]
C29["29 LTI 고유함수 ↔ 행렬 고유벡터"]
C30["30 연속 시간 푸리에 급수"]
C31["31 푸리에 급수의 수렴"]
C32["32 연속 시간 푸리에 급수의 성질"]
C33["33 이산 시간 푸리에 급수"]
C34["34 이산 시간 푸리에 급수의 성질"]
C35["35 푸리에 급수와 LTI 시스템"]
C36["36 주파수 형성 필터와 주파수 선택 필터"]
C37["37 영상의 경계 검출과 평활화"]
C38["38 연속 시간 푸리에 변환"]
C39["39 주기 신호의 푸리에 변환"]
C40["40 푸리에 변환의 성질"]
C41["41 푸리에 변환의 쌍대성"]
C42["42 컨벌루션 성질과 주파수 응답"]
C43["43 곱셈 성질과 진폭 변조"]
C44["44 미분방정식 시스템의 주파수 응답"]
C1 --> C2
C3 --> C4
C3 --> C5
C5 --> C6
C5 --> C7
C6 --> C8
C4 --> C8
C8 --> C9
C6 --> C9
C3 --> C10
C5 --> C10
C3 --> C11
C10 --> C11
C3 --> C12
C1 --> C12
C12 --> C13
C13 --> C14
C12 --> C15
C10 --> C15
C12 --> C16
C5 --> C16
C12 --> C17
C10 --> C18
C16 --> C18
C17 --> C18
C18 --> C19
C19 --> C20
C12 --> C20
C20 --> C21
C13 --> C21
C14 --> C21
C15 --> C21
C21 --> C22
C2 --> C23
C22 --> C23
C14 --> C23
C23 --> C24
C21 --> C24
C24 --> C25
C24 --> C26
C12 --> C26
C19 --> C27
C23 --> C27
C19 --> C28
C8 --> C28
C28 --> C29
C28 --> C30
C8 --> C30
C6 --> C30
C30 --> C31
C4 --> C31
C30 --> C32
C7 --> C32
C5 --> C32
C30 --> C33
C9 --> C33
C33 --> C34
C32 --> C34
C28 --> C35
C30 --> C35
C33 --> C35
C35 --> C36
C23 --> C36
C24 --> C36
C36 --> C37
C20 --> C37
C30 --> C38
C31 --> C38
C38 --> C39
C30 --> C39
C38 --> C40
C32 --> C40
C40 --> C41
C40 --> C42
C35 --> C42
C19 --> C42
C41 --> C43
C39 --> C43
C42 --> C43
C42 --> C44
C23 --> C44