신호의 값은 그대로 두고 시간축만 밀고(이동), 뒤집고(반전), 늘이거나 줄이는(척도) 조작이다. 녹음 파일을 늦게 틀기, 거꾸로 틀기, 빨리 감기와 같다. 괄호 안에서 일어나는 일이라 방향이 직관과 반대로 보이는 것이 함정이다. \(x(t - 2)\)는 왼쪽이 아니라 오른쪽으로 2만큼 밀리고, \(x(2t)\)는 두 배 길어지는 것이 아니라 절반으로 줄어든다.
예시로 보기
레이더는 전파를 쏘고 반사파를 받는다. 받은 신호는 보낸 신호와 모양이 같고 늦게 도착할 뿐이다. 도착이 \(t_0\)만큼 늦으면 받은 신호는 \(x(t - t_0)\)이다. 왜 빼기일까? 보낸 신호가 \(t = 0\)에 가진 값이 받은 쪽에서는 \(t = t_0\)에 나타나야 한다. \(t = t_0\)을 넣으면 \(x(t_0 - t_0) = x(0)\)이 되므로 맞다.
예: \(\cos 2t\)를 \(t_0\)만큼 늦추려면 \(t\) 자리에 \(t - t_0\)을 넣는다. \(\cos 2(t - t_0) = \cos(2t - 2t_0)\)이다. \(\cos(2t - t_0)\)이 아니다.
정의
| 변환 | 식 | 모양의 변화 |
|---|---|---|
| 시간 이동 | \(x(t - t_0)\), \(x[n - n_0]\) | \(t_0 > 0\)이면 오른쪽으로 밀림(지연), \(t_0 < 0\)이면 왼쪽(앞당김) |
| 시간 반전 | \(x(-t)\), \(x[-n]\) | \(t = 0\)(또는 \(n = 0\))을 축으로 좌우가 뒤집힘 |
| 시간 척도 | \(x(\alpha t)\) | \(\lvert\alpha\rvert > 1\)이면 좁아짐, \(\lvert\alpha\rvert < 1\)이면 넓어짐 |
셋을 합친 일반형은 \(y(t) = x(\alpha t + \beta)\)다(아핀 변환). \(\alpha < 0\)이면 반전이 들어 있고, \(\beta \neq 0\)이면 이동이 들어 있다.
그리는 순서. 먼저 이동하고 그다음 척도를 바꾸는 것이 안전하다.
- \(v(t) = x(t + \beta)\)를 그린다 (\(\beta\)만큼 왼쪽으로).
- \(y(t) = v(\alpha t)\)를 그린다 (가로를 \(1/\vert \alpha\vert\)배로, \(\alpha < 0\)이면 뒤집기).
순서를 바꿔 척도를 먼저 하면, 이동량은 \(\beta\)가 아니라 \(\beta/\alpha\)다. \(x(\alpha t + \beta) = x\bigl(\alpha(t + \beta/\alpha)\bigr)\)이기 때문이다.
빠른 확인법. 원래 신호가 \(a \le t \le b\)에서만 0이 아니면, \(x(\alpha t + \beta)\)는 \(\alpha t + \beta\)가 그 범위에 드는 \(t\), 즉 \(\dfrac{a - \beta}{\alpha}\)와 \(\dfrac{b - \beta}{\alpha}\) 사이에서만 0이 아니다1.
예제
그림 1.13(a)의 \(x(t)\): \(0 \le t \le 1\)에서 1, \(1 \le t \le 2\)에서 1에서 0으로 곧게 내려가고, 나머지는 0이다.
예 1 \(x(-t + 1)\)
- 이동: \(x(t + 1)\)은 왼쪽으로 1 → \(-1 \le t \le 0\)에서 1, \(0 \le t \le 1\)에서 내려감.
- 반전: \(t\)를 \(-t\)로 → \(0 \le t \le 1\)에서 1, \(-1 \le t \le 0\)에서 0에서 1로 올라감.
예 2 \(x\!\left(\frac32 t + 1\right)\)
- 이동: \(x(t + 1)\) (예 1과 같다).
- 척도: 가로를 \(\frac23\)배로 → \(-\frac23 \le t \le 0\)에서 1, \(0 \le t \le \frac23\)에서 내려감.
- 다른 순서: \(x(\frac32 t)\)를 먼저 그리면 \(0 \sim \frac23\)에서 1, \(\frac23 \sim \frac43\)에서 내려간다. 여기서 1이 아니라 \(\frac23\)만큼 왼쪽으로 밀어야 같은 답이 나온다.
- 빠른 확인: \(a = 0\), \(b = 2\), \(\alpha = \frac32\), \(\beta = 1\)이면 \(\frac{0 - 1}{3/2} = -\frac23\), \(\frac{2 - 1}{3/2} = \frac23\). 맞다.
가운데는 예 1, 아래는 예 2의 결과다. 예 1은 좌우가 뒤집혔고, 예 2는 뒤집히지 않은 채 왼쪽으로 옮겨지고 폭이 \(\frac23\)배로 줄었다2.
활용
- 지연 \(x[n - 1]\)은 디지털 회로의 레지스터 한 칸, 오디오의 메아리 효과다.
- 시간 이동이 시스템을 통과해도 그대로인지가 시불변성의 정의다.
- 시험에서는 그림 하나를 주고 \(x(at + b)\)를 그리게 하는 문제가 흔하다. 끝점 두 개를 빠른 확인법으로 먼저 구해 두면 실수가 준다1.
연결
- 선수: 함수의 변환과 합성 (고등학교의 평행이동·대칭이동과 같은 조작)
- 다음: 주기 신호, 짝 신호와 홀 신호
자주 하는 오해
틀렸다. 2배 빨리 감은 것이라 가로 폭이 절반이 된다. “2”가 크니까 커질 것 같아 그럴듯하다. 실제로는 \(x(2t)\)가 \(t = 1\)에서 갖는 값은 원래 신호의 \(t = 2\) 값이다. 원래 신호의 2초 분량이 1초 안에 들어간다. 확인: 그림 1.12에서 \(x(2t)\)의 폭은 \(x(t)\)의 절반이다.
확인 문제
C1 위 예의 \(x(t)\)로 \(x(2t - 2)\)가 0이 아닌 구간을 구하라.
답: \(2t - 2\)가 0~2 사이 → \(1 \le t \le 2\). 이 중 \(1 \le t \le 1.5\)에서 1, \(1.5 \le t \le 2\)에서 내려간다.
흔한 오답: 척도를 먼저 하고 2만큼 밀어 \(2 \le t \le 3\)으로 적는 것 (실제 이동량은 \(2/2 = 1\)).
C2 \(x(t - 3)\)이 오른쪽으로 밀리는 이유를 한 점을 따라가며 설명하라.
답: 원래 \(t = 0\)에 있던 값 \(x(0)\)이 새 신호에서는 괄호 안이 0이 되는 \(t = 3\)에 나타난다. 모든 점이 3만큼 늦게 나타나므로 오른쪽으로 밀린다.
C3 “신호를 뒤집은 다음 오른쪽으로 2만큼 민다”를 식으로 쓰라.
답: 뒤집으면 \(x(-t)\). 여기서 \(t\)를 \(t - 2\)로 바꾸면 \(x(-(t - 2)) = x(-t + 2)\).
흔한 오답: \(x(-t - 2)\). 이것은 왼쪽으로 2만큼 민 것이다.
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05_independent-variable-transform_plot.py로 그렸고, 같은 코드로 다음을 확인했다: 예 1의 \(-1 \sim 1\), 예 2의 \(-\frac23 \sim \frac23\) 구간과 중간값을 점마다 계산. ↩