요약

차분방정식이나 미분방정식을 더하기, 상수 곱하기, 한 칸 늦추기(또는 적분) 세 가지 부품을 선으로 이은 그림으로 바꾼 것이다. 식을 그림으로 보면 출력이 다시 입력 쪽으로 돌아가는 되먹임(피드백) 고리가 눈에 보이고, 그대로 디지털 회로나 프로그램으로 만들 수 있다. 연속 시간에서는 미분기 대신 적분기로 그리는데, 미분기는 만들기 어렵고 잡음에 약하기 때문이다.

예시로 보기

\(y[n] + ay[n-1] = bx[n]\)을 \(y[n] = -ay[n-1] + bx[n]\)으로 고쳐 쓰면, 부품 세 개로 그릴 수 있다(그림 2.28).

graph LR
  X["x[n]"] -->|"× b"| P(("+"))
  P --> Y["y[n]"]
  Y --> D["D (한 칸 지연)"]
  D -->|"× (−a)"| P

지연 상자 D가 지난 출력 \(y[n-1]\)을 기억해 두었다가 \(-a\)를 곱해 다시 더한다. 이 고리가 피드백이고, 지연기가 메모리 역할을 하므로 초기 조건(D에 처음 들어 있는 값)이 필요하다.

정의

이산 시간 기본 부품(그림 2.27). 가산기(\(x_1[n] + x_2[n]\)), 계수 곱셈기(\(ax[n]\)), 단위 지연기(\(x[n] \to x[n-1]\), 상자 D).

연속 시간: \(\frac{dy}{dt} + ay = bx\)를 그대로 그리면 미분기가 필요하다(그림 2.29~2.30). 미분기는 만들기 어렵고 오차·잡음에 민감하다. 그래서 식을 \(\frac{dy}{dt} = bx - ay\)로 바꾸고 양변을 적분한다.

\[y(t) = \int_{-\infty}^{t}\bigl[bx(\tau) - ay(\tau)\bigr]d\tau \qquad (y(-\infty) = 0 \text{ 가정})\] 
graph LR
  X["x(t)"] -->|"× b"| P(("+"))
  P --> I["∫ 적분기"]
  I --> Y["y(t)"]
  Y -->|"× (−a)"| P

적분기가 연속 시간 시스템의 메모리다. 특정 시각 \(t_0\)부터 보면 \(y(t) = y(t_0) + \int_{t_0}^{t}[bx - ay]d\tau\)이고, \(y(t_0)\)이 적분기가 그때까지 저장한 값, 곧 초기 조건이다(그림 2.32).

  이산 시간 연속 시간
메모리 부품 단위 지연기 D 적분기 ∫
초기 조건 D에 처음 든 값 \(y[-1]\) 적분기의 처음 값 \(y(t_0)\)

활용

  • 아날로그 컴퓨터는 적분기를 이어 미분방정식을 풀었다(그림 2.32 방식).
  • 디지털 하드웨어(FPGA, DSP 칩)의 필터는 지연 레지스터, 곱셈기, 가산기로 이 그림을 그대로 만든다.
  • Simulink 같은 도구도 같은 부품을 이어 시스템을 시뮬레이션한다. 예: 시스템과 시스템 연결의 RC 회로.

연결

확인 문제

C1 \(y[n] = 0.5y[n-1] + 2x[n] - x[n-1]\)을 블록 다이어그램 부품으로 말로 그려 보라. 지연기는 몇 개 필요한가?

답: \(x[n]\)에 2를 곱한 선, \(x[n]\)을 D 하나로 늦춰 \(-1\)을 곱한 선, \(y[n]\)을 D 하나로 늦춰 0.5를 곱한 선을 한 가산기에 모으고, 그 출력이 \(y[n]\)이다. 지연기 2개(입력용 1, 출력용 1).

C2 연속 시간 시스템을 그릴 때 미분기 대신 적분기를 쓰는 이유는?

답: 미분기는 만들기 어렵고, 빠르게 흔들리는 잡음을 크게 키워 오차에 민감하다. 식을 적분 꼴로 바꾸면 적분기만으로 같은 시스템을 만들 수 있고, 적분기는 잡음을 평균 내어 줄인다.