푸리에 변환식과 역변환식은 부호와 \(2\pi\)만 빼면 모양이 같다. 그래서 시간과 주파수의 역할을 바꾼 쌍이 늘 함께 있다. 사각 펄스의 변환이 sinc이면, sinc의 변환은 사각 펄스다. 한쪽 쌍만 알면 다른 쪽 쌍을 공짜로 얻는다. 다만 바꿀 때 \(2\pi\)와 \(\omega\)의 부호(\(-\omega\))를 빠뜨리지 말아야 한다.
예시로 보기
예제 4.4와 4.5를 나란히 놓는다(그림 4.17).
| 시간 | 주파수 |
|---|---|
| \(x_1(t)\): \(\lvert t\rvert < T_1\)에서 1 | \(X_1(j\omega) = \frac{2\sin\omega T_1}{\omega}\) |
| \(x_2(t) = \frac{\sin Wt}{\pi t}\) | \(X_2(j\omega)\): \(\lvert\omega\rvert < W\)에서 1 |
사각형과 sinc가 자리를 서로 바꿨다. 어떤 시간 함수의 성질이 주파수 쪽과 관계가 있으면, 같은 성질이 주파수 함수와 시간 쪽 사이에도 있다.
정의
\(x(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(j\omega)\)이면 \(X(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} 2\pi x(-\omega)\)이다.
역변환식 \(2\pi x(t) = \int X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega\)에서 \(t\)를 \(-t\)로 바꾼 뒤 \(t\)와 \(\omega\)의 이름을 맞바꾸면 \(2\pi x(-\omega) = \int X(t)e^{-j\omega t}dt\), 곧 \(X(t)\)의 푸리에 변환이다1.
성질 표에서의 쌍
| 시간 쪽 성질 | 쌍대 성질 |
|---|---|
| 미분 \(\frac{dx}{dt} \leftrightarrow j\omega X\) | 주파수 미분 \(-jtx(t) \leftrightarrow \frac{dX}{d\omega}\) |
| 시간 이동 \(x(t - t_0) \leftrightarrow e^{-j\omega t_0}X\) | 주파수 이동 \(e^{j\omega_0t}x \leftrightarrow X(j(\omega - \omega_0))\) |
| 컨벌루션 → 곱 | 곱 → 컨벌루션 |
예제
예제 4.13 \(g(t) = \frac{2}{1 + t^2}\)의 변환
- 예제 4.2에서 \(e^{-\vert t\vert } \leftrightarrow \frac{2}{1 + \omega^2}\).
- 역변환식: \(e^{-\vert t\vert } = \frac{1}{2\pi}\int\frac{2}{1+\omega^2}e^{j\omega t}d\omega\).
- \(2\pi\)를 곱하고 \(t\)를 \(-t\)로: \(2\pi e^{-\vert t\vert } = \int\frac{2}{1+\omega^2}e^{-j\omega t}d\omega\).
- \(t\)와 \(\omega\)를 바꾸면 \(2\pi e^{-\vert \omega\vert } = \int\frac{2}{1+t^2}e^{-j\omega t}dt\), 곧 \(G(j\omega) = 2\pi e^{-\vert \omega\vert }\).
위 줄 쌍의 시간 쪽 모양과 주파수 쪽 모양을 맞바꾸면 아래 줄 쌍이 된다. 주파수 쪽 높이에는 \(2\pi\)가 곱해진다2.
다른 예
- \(\delta(t) \leftrightarrow 1\)이면 \(1 \leftrightarrow 2\pi\delta(-\omega) = 2\pi\delta(\omega)\).
- \(e^{-at}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{a + j\omega}\)이면 \(\frac{1}{a + jt} \leftrightarrow 2\pi e^{a\omega}u(-\omega)\).
활용
- 이상적 저역 통과 필터(주파수에서 사각형)의 임펄스 응답이 sinc인 이유를 쌍대성으로 바로 안다 → 컨벌루션 성질과 주파수 응답
- 컨벌루션 성질의 쌍대가 곱셈 성질이고, 이것이 진폭 변조의 원리다 → 곱셈 성질과 진폭 변조
연결
- 선수: 푸리에 변환의 성질
확인 문제
C1 쌍대성 정리를 식으로 쓰라.
답: \(x(t) \leftrightarrow X(j\omega)\)이면 \(X(t) \leftrightarrow 2\pi x(-\omega)\).
C2 쌍대성으로 \(\frac{\sin 3t}{\pi t}\)의 변환을 구하라.
답: 예제 4.5의 쌍(\(W = 3\))과 같다: \(\vert \omega\vert < 3\)에서 1, 그 밖 0.
C3 쌍대성에서 \(x(-\omega)\)처럼 부호가 바뀌는 이유는?
답: 변환식은 \(e^{-j\omega t}\), 역변환식은 \(e^{+j\omega t}\)를 쓴다. 한쪽 식을 다른 쪽 모양으로 맞추려면 \(t\)를 \(-t\)로 바꿔야 해서 부호가 뒤집힌다.
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계산은 검증 코드로 확인했다. ↩
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41_duality_plot.py로 그렸고, 같은 코드로 다음을 확인했다: \(\frac{2}{1 + t^2}\)의 변환과 \(e^{-\vert t\vert }\)의 변환을 수치 적분해 \(2\pi e^{-\vert \omega\vert }\), \(\frac{2}{1 + \omega^2}\)와 비교. ↩