사용 개념: 기억과 가역성, 인과성, 안정성, 시불변성, 선형성

시험은 식 하나를 주고 여섯 성질을 모두 묻는 꼴이 흔하다. 성질마다 보는 곳이 다르다1.

하위목표 보는 곳
① 기억 입력 괄호 안이 지금 시각과 다른가
② 인과 입력 괄호 안이 미래가 될 때가 있는가
③ 안정 유계 입력에서 출력이 커질 수 있는가 (반례 하나 또는 한계 증명)
④ 시불변 시각이 입력 밖에 직접 있는가, 시간축을 늘이거나 뒤집는가
⑤ 선형 입력 0 → 출력 0인가, 입력에 대해 1차인가

문제 1 · 완전한 풀이

\(y(t) = tx(t)\) (예제 1.13, 1.17)

  1. 기억: \(x(t)\)만 쓰므로 기억 없음.
  2. 인과: 기억 없으므로 인과.
  3. 안정: \(x = 1\)이면 \(y = t\)로 끝없이 커지므로 불안정.
  4. 시불변: \(x_1(t - t_0)\)의 출력은 \(tx_1(t - t_0)\), 출력을 민 것은 \((t - t_0)x_1(t - t_0)\). 다르므로 시변.
  5. 선형: \(t(ax_1 + bx_2) = a\,tx_1 + b\,tx_2 = ay_1 + by_2\)이므로 선형.

문제 2 · 마지막 하위목표만 빈칸

\(y[n] = x[n] - x[n+1]\)

  1. 기억: 다음 시각 입력을 쓰므로 기억 있음.
  2. 인과: \(x[n+1]\)이 미래라 비인과.
  3. 안정: \(\vert x\vert \le B\)이면 \(\vert y\vert \le 2B\)이므로 안정.
  4. 시불변: 시각이 입력 밖에 없으므로 시불변.
  5. 선형: __
답

선형. 입력 0에 출력 0이고, \(ax_1 + bx_2\)를 넣으면 \(a(x_1[n] - x_1[n+1]) + b(x_2[n] - x_2[n+1]) = ay_1 + by_2\).

문제 3 · 하위목표 절반이 빈칸

\(y(t) = x(2t)\) (예제 1.16)

  1. 기억: __
  2. 인과: \(t > 0\)이면 \(2t > t\)라 미래 입력을 쓰므로 비인과.
  3. 안정: __
  4. 시불변: 입력을 2 늦추면 출력은 1만 늦으므로 시변.
  5. 선형: __
답
  1. 기억 있음 (\(t \ne 0\)이면 다른 시각의 입력을 쓴다).
  2. 안정 (\(\vert x\vert \le B\)이면 \(\vert x(2t)\vert \le B\)).
  3. 선형.

문제 4 · 독립 문제

\(y[n] = \mathrm{Re}\{x[n]\} + x[n-1]^2\)의 기억, 인과, 안정, 시불변, 선형을 판별하라.

답

기억 있음(\(x[n-1]\)), 인과(과거만 씀), 안정(\(\vert y\vert \le B + B^2\)), 시불변(시각이 입력 밖에 없음), 비선형(제곱 항. 입력 \(x = 1\)을 2배 하면 \(\mathrm{Re}\) 부분은 2배지만 제곱 부분은 4배가 된다).

검증: 다섯 성질의 판정을 무작위 입력으로 시험 — 17_system-properties-ladder_p4.py

  1. 검증 코드로 확인했다. ↩