푸리에 급수는 되풀이되는 신호만 나눌 수 있다. 한 번 나타났다 사라지는 신호는 “주기가 무한히 긴 주기 신호”로 본다. 주기를 늘리면 고조파 사이 간격이 좁아지다가 결국 모든 주파수가 이어진 연속 스펙트럼이 되고, 급수의 합은 적분이 된다. 그것이 푸리에 변환이다. 에너지가 유한한 신호, 또는 디리클레 조건을 만족하는 신호면 변환이 존재한다.
예시로 보기
주기 사각파(\(\vert t\vert < T_1\)에서 1)를 생각하자. 한 펄스의 폭 \(T_1\)은 그대로 두고 주기 \(T\)만 \(4T_1 \to 8T_1 \to 16T_1\)로 늘린다.
- 계수에 주기를 곱한 \(Ta_k = \frac{2\sin(k\omega_0T_1)}{k\omega_0}\)은 늘 같은 곡선 \(\frac{2\sin\omega T_1}{\omega}\)(포락선)을 \(\omega = k\omega_0\)에서 찍은 값이다.
- \(T\)를 키우면 \(\omega_0 = \frac{2\pi}{T}\)가 작아져 찍는 점이 촘촘해진다(그림 4.2).
- \(T \to \infty\)이면 이웃 펄스가 무한히 멀어져 펄스 하나만 남고, 찍은 점들은 곡선 전체가 된다. 이 곡선이 펄스 하나의 푸리에 변환이다.
포락선은 진동하는 신호의 진폭이 어떻게 변하는지를 따라 그린 곡선이다.
정의
\(x(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(j\omega)\), \(X(j\omega) = \mathcal{F}\{x(t)\}\), \(x(t) = \mathcal{F}^{-1}\{X(j\omega)\}\)로 쓴다.
\(X(j\omega)\)를 \(x(t)\)의 스펙트럼이라 한다. 주기 신호는 고조파 주파수 \(k\omega_0\)에서만 크기 \(a_k\)를 갖는 복소 지수의 합이고, 비주기 신호는 모든 주파수에 걸쳐 크기 \(X(j\omega)\frac{d\omega}{2\pi}\)를 갖는 복소 지수들의 적분이다.
급수에서 변환으로 (유도)
- 비주기 신호 \(x(t)\)(\(\vert t\vert > T_1\)에서 0)의 한 주기를 되풀이해 주기 \(T\)(\(T > 2T_1\))인 \(\tilde x(t)\)를 만든다(그림 4.3).
- \(\tilde x\)의 계수: \(\vert t\vert < \frac T2\)에서 \(\tilde x = x\)이고 그 밖에서 \(x = 0\)이라 \(a_k = \frac1T\int_{-T/2}^{T/2}\tilde xe^{-jk\omega_0t}dt = \frac1T\int_{-\infty}^{\infty}xe^{-jk\omega_0t}dt\).
- \(X(j\omega) = \int x(t)e^{-j\omega t}dt\)로 정의하면 \(a_k = \frac1TX(jk\omega_0)\).
- 합성식에 넣고 \(\frac1T = \frac{\omega_0}{2\pi}\)를 쓰면 \(\tilde x(t) = \frac{1}{2\pi}\sum_kX(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}\omega_0\).
- 각 항은 높이 \(X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}\), 폭 \(\omega_0\)인 직사각형의 넓이다(그림 4.4). \(T \to \infty\)면 \(\omega_0 \to 0\)이고 \(\tilde x \to x\)이므로, 리만 합이 적분이 되어 \(x(t) = \frac{1}{2\pi}\int X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega\).
역변환에 변환을 넣으면 \(\frac{1}{2\pi}\int e^{j\omega(t-t')}d\omega = \delta(t - t')\)라서 원래 \(x(t)\)가 나온다.
수렴 조건
- 에너지가 유한하면(\(\int\vert x\vert ^2dt < \infty\)) \(X(j\omega)\)가 유한하고, 역변환으로 만든 \(\hat x\)와 \(x\)의 오차 에너지가 0이다.
- 디리클레 조건(절대 적분 가능 \(\int\vert x\vert dt < \infty\), 유한 구간에서 극값·불연속점이 유한, 불연속에서 뛰는 크기 유한)을 만족하면, 불연속점을 뺀 모든 점에서 \(\hat x = x\)이고 불연속점에서는 양쪽 평균이다. 그래서 적분 가능한 연속 신호나 불연속점이 유한한 신호는 푸리에 변환할 수 있다.
스스로 설명해 보기
1. 유도 2단계에서 적분 범위를 \(\pm\frac T2\)에서 \(\pm\infty\)로 넓혀도 되는 이유는?
\(x(t)\)는 \(\vert t\vert > T_1\)에서 0이고 \(\frac T2 > T_1\)이라, 넓힌 구간에서 더해지는 값이 모두 0이다.
2. 유도 5단계에서 합이 적분이 되는 이유는?
폭 \(\omega_0\)인 직사각형 넓이를 더한 리만 합이고, 폭이 0으로 가면 리만 합은 정적분으로 수렴한다.
핵심 아이디어는?
비주기 신호를 주기가 무한히 긴 주기 신호로 보면, 띄엄띄엄한 고조파가 연속 주파수로 메워진다.
예제
예제 4.1 \(x(t) = e^{-at}u(t)\), \(a > 0\)
- \(X(j\omega) = \int_0^\infty e^{-(a+j\omega)t}dt = -\frac{1}{a+j\omega}e^{-(a+j\omega)t}\Big\vert _0^\infty = \frac{1}{a + j\omega}\).
- 복소수라 크기와 위상으로 그린다: \(\vert X\vert = \frac{1}{\sqrt{a^2 + \omega^2}}\), \(\angle X = -\tan^{-1}\frac\omega a\) (분모를 실수화 \(\frac{a - j\omega}{a^2 + \omega^2}\)). \(\omega = \pm a\)에서 크기는 \(\frac{\sqrt2}{2a}\), 위상은 \(\mp\frac\pi4\)(그림 4.5).
- \(a\)가 복소수여도 \(\mathrm{Re}\{a\} > 0\)이면 같은 식이 맞다. \(a\)가 음수면 적분이 발산한다.
\(a = 1\)일 때다. 크기는 \(\omega = 0\)에서 가장 큰 짝함수, 위상은 홀함수다. 점은 \(\omega = \pm1\)에서 크기 \(\frac{\sqrt2}{2}\), 위상 \(\mp\frac\pi4\)다1.
예제 4.2 \(x(t) = e^{-a\vert t\vert }\), \(a > 0\). 양쪽으로 나눠 적분하면 \(\frac{1}{a - j\omega} + \frac{1}{a + j\omega} = \frac{2a}{a^2 + \omega^2}\). 실수이고 짝인 종 모양이다(그림 4.7).
예제 4.3 \(x(t) = \delta(t)\). 표본화 성질로 \(X(j\omega) = 1\). 모든 주파수에서 크기가 같아, 시스템에 임펄스를 넣으면 모든 주파수의 반응을 한 번에 본다. \(\delta(t - a)\)이면 \(e^{-j\omega a}\)다.
예제 4.4 사각 펄스 \(\vert t\vert < T_1\)에서 1. \(X(j\omega) = \frac{1}{-j\omega}(e^{-j\omega T_1} - e^{j\omega T_1}) = \frac{2\sin\omega T_1}{\omega}\) (\(\omega \ne 0\)), \(\omega = 0\)에서 \(2T_1\). sinc 함수 \(\mathrm{sinc}(\theta) = \frac{\sin\pi\theta}{\pi\theta}\)로 쓰면 \(2T_1\mathrm{sinc}\left(\frac{\omega T_1}{\pi}\right)\)이다. \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1\)(테일러 급수 \(\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots\))이라 \(\mathrm{sinc}(0) = 1\)이다. 펄스는 불연속이라 역변환은 \(t = \pm T_1\)에서 \(\frac12\)로 수렴한다(깁스 현상).
예제 4.5 \(X(j\omega) = 1\) (\(\vert \omega\vert < W\)), 0 (그 밖). \(x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-W}^{W}e^{j\omega t}d\omega = \frac{\sin Wt}{\pi t} = \frac W\pi\mathrm{sinc}\left(\frac{Wt}{\pi}\right)\), \(x(0) = \frac W\pi\).
예제 4.4와 4.5는 사각형과 sinc가 자리를 바꾼 쌍이다(쌍대성). \(W\)를 키우면 \(X\)가 넓어지고, \(x(t)\)는 꼭대기가 높아지며 첫 봉우리 폭(\(\vert t\vert < \frac\pi W\))이 좁아진다. \(W \to \infty\)면 \(x(t)\)는 임펄스에 다가간다(그림 4.11). 시간에서 좁으면 주파수에서 넓다.
\(W\)를 1, 2, 4로 키우면 왼쪽 사각형은 넓어지고, 오른쪽 \(x(t)\)는 꼭대기 \(\frac{W}{\pi}\)가 높아지며 가운데 봉우리가 좁아진다1.
활용
- 소리, 영상, 통신 신호가 어떤 주파수로 이루어져 있는지 보는 스펙트럼 분석기의 원리다.
- 시간 폭과 주파수 폭이 반비례한다는 사실(짧은 펄스는 넓은 대역이 필요)은 통신에서 빠르게 데이터를 보내려면 넓은 대역폭이 필요한 이유다2.
연결
- 선수: 연속 시간 푸리에 급수 (포락선), 푸리에 급수의 수렴
- 수학 쪽: 푸리에 변환과 합성곱
- 다음: 주기 신호의 푸리에 변환, 푸리에 변환의 성질
자주 하는 오해
틀렸다. 푸리에 급수의 \(a_k\)와 혼동해서 그럴듯하다. 연속 스펙트럼에서 한 점 주파수의 성분은 넓이가 0이다. 실제 크기는 \(X(j\omega)\frac{d\omega}{2\pi}\), 곧 어느 주파수 구간에 걸친 밀도다. 확인: 유도 4단계에서 \(a_k = \frac1TX(jk\omega_0)\)이고 \(T \to \infty\)면 각 \(a_k\)는 0으로 간다.
확인 문제
C1 푸리에 변환과 역푸리에 변환의 식을 쓰라.
답: \(X(j\omega) = \int x(t)e^{-j\omega t}dt\), \(x(t) = \frac{1}{2\pi}\int X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega\).
C2 \(x(t) = e^{-2t}u(t)\)의 \(\vert X(j\omega)\vert\)와 \(\angle X(j\omega)\)를 구하라. \(\omega = 2\)에서는?
답: \(X = \frac{1}{2 + j\omega}\), \(\vert X\vert = \frac{1}{\sqrt{4 + \omega^2}}\), \(\angle X = -\tan^{-1}\frac\omega2\). \(\omega = 2\)에서 \(\frac{1}{2\sqrt2}\), \(-\frac\pi4\).
C3 주기 \(T\)를 무한히 키우면 푸리에 급수가 왜 적분이 되는가?
답: \(Ta_k\)는 포락선 \(X(j\omega)\)를 \(\omega_0 = \frac{2\pi}{T}\) 간격으로 찍은 값이고, 합성식은 폭 \(\omega_0\) 직사각형 넓이의 합(리만 합)이다. \(\omega_0 \to 0\)이면 리만 합이 적분으로 수렴한다.
C4 사각 펄스의 폭 \(T_1\)을 두 배로 늘리면 스펙트럼 \(\frac{2\sin\omega T_1}{\omega}\)의 꼭대기 높이와 첫 영점은 어떻게 되는가?
답: 꼭대기 \(2T_1\)은 두 배, 첫 영점 \(\frac{\pi}{T_1}\)은 절반으로 가까워진다. 시간에서 넓으면 주파수에서 좁다.
-
38_ct-fourier-transform_plot.py로 그렸고, 같은 코드로 다음을 확인했다: 예제 4.1의 분석식 수치 적분, \(\omega = \pm1\)의 크기·위상, 예제 4.5(\(W = 1, 2, 4\))의 합성식 수치 적분과 \(x(0) = \frac W\pi\). ↩ ↩2
-
계산은 검증 코드로 확인했다. ↩