요약

미분방정식으로 적힌 LTI 시스템은 양변을 푸리에 변환하면 미분이 \(j\omega\) 곱셈으로 바뀌어 대수식이 된다. 그러면 주파수 응답은 \(j\omega\)에 대한 다항식 두 개의 비(유리함수)로 바로 읽힌다. 출력을 구할 때는 \(Y = HX\)를 부분 분수로 쪼개 이미 아는 변환쌍(\(\frac{1}{a + j\omega}\), \(\frac{1}{(a+j\omega)^2}\))으로 하나씩 되돌리면 된다. 단, 시스템이 안정해서 주파수 응답이 존재한다고 가정한다.

예시로 보기

\(\frac{dy}{dt} + ay = x\), \(a > 0\)(예제 4.24).

  • 양변을 변환: \(j\omega Y + aY = X\).
  • \(H(j\omega) = \frac YX = \frac{1}{j\omega + a}\).
  • 예제 4.1의 쌍과 비교하면 임펄스 응답은 \(h(t) = e^{-at}u(t)\). 2장에서 미분방정식을 풀어 구한 것과 같다.

정의

\(\sum_{k=0}^{N}a_k\frac{d^ky}{dt^k} = \sum_{k=0}^{M}b_k\frac{d^kx}{dt^k}\)인 LTI 시스템의 주파수 응답을 구하는 두 길:

  1. 복소 지수가 고유함수라는 사실로: \(x = e^{j\omega t}\)이면 \(y = H(j\omega)e^{j\omega t}\)이고, 이것을 식에 넣어 \(H\)를 푼다(3.10절 RC 필터에서 쓴 방법).
  2. 변환의 미분 성질로: 양변을 변환하고 선형성과 \(\frac{d^kx}{dt^k} \leftrightarrow (j\omega)^kX\)를 쓰면 \(Y\sum a_k(j\omega)^k = X\sum b_k(j\omega)^k\).
정리
\[H(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)} = \frac{\sum_{k=0}^{M}b_k(j\omega)^k}{\sum_{k=0}^{N}a_k(j\omega)^k}\]

\(j\omega\)에 대한 다항식 두 개의 비(유리함수)다.

부분 분수 전개. 유리함수를 \(\frac{A}{x - p}\) 꼴의 합으로 쪼갠다.

  • 서로 다른 근: \(\frac{1}{(x-2)(x-1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-1}\). \(A = \lim_{x\to2}(x-2)\cdot\frac{1}{(x-2)(x-1)} = 1\), \(B = -1\).
  • 제곱근(중근)이 있으면 \(\frac{A}{x+p} + \frac{B}{x+q} + \frac{C}{(x+q)^2}\) 꼴로 둔다. 예: \(\frac{1}{x^2(x+4)} = \frac Ax + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+4}\)에서 \(C = \frac{1}{x^2}\big\vert _{x=-4} = \frac{1}{16}\), \(B = \frac{1}{x+4}\big\vert _{x=0} = \frac14\), \(A = \frac{d}{dx}\frac{1}{x+4}\big\vert _{x=0} = -\frac{1}{16}\).
  • 계수 비교로 풀어도 된다.
flowchart TD
  A["미분방정식"] -->|"양변을 푸리에 변환, d/dt는 jω 곱하기"| B["H(jω) = 분자 다항식 / 분모 다항식"]
  B -->|"입력 X를 곱함"| C["Y = HX"]
  C --> D["분모를 인수분해해 부분 분수로 쪼갬"]
  D --> E{"중근이 있는가?"}
  E -->|"없음"| F["A/(a + jω) 꼴의 합"]
  E -->|"있음"| G["B/(a + jω)² 꼴 항도 넣는다"]
  F --> H["아는 변환쌍으로 하나씩 역변환해 더한다"]
  G --> H

미분방정식이 대수식으로 바뀐 뒤에는 부분 분수와 아는 변환쌍만 쓴다. 중근이 있으면 쪼갤 때 제곱 항을 따로 둔다.

예제

예제 4.25 \(\frac{d^2y}{dt^2} + 4\frac{dy}{dt} + 3y = \frac{dx}{dt} + 2x\)

  1. 주파수 응답: \(H = \dfrac{j\omega + 2}{(j\omega)^2 + 4j\omega + 3} = \dfrac{j\omega + 2}{(j\omega + 1)(j\omega + 3)}\).
  2. 부분 분수: \(= \dfrac{1/2}{j\omega + 1} + \dfrac{1/2}{j\omega + 3}\).
  3. 역변환: \(h(t) = \frac12e^{-t}u(t) + \frac12e^{-3t}u(t)\).

예제 4.26 같은 시스템에 \(x(t) = e^{-t}u(t)\)

  1. 곱: \(Y = HX = \dfrac{j\omega + 2}{(j\omega + 1)^2(j\omega + 3)}\).
  2. 부분 분수: \(\dfrac{A_{11}}{j\omega + 1} + \dfrac{A_{12}}{(j\omega + 1)^2} + \dfrac{A_{21}}{j\omega + 3}\). 분자를 맞추면 \(A_{11} + A_{21} = 0\), \(4A_{11} + A_{12} + 2A_{21} = 1\), \(3A_{11} + 3A_{12} + A_{21} = 2\)에서 \(A_{11} = \frac14\), \(A_{12} = \frac12\), \(A_{21} = -\frac14\).
  3. 역변환: \(te^{-at}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{(a + j\omega)^2}\)(예제 4.19)를 쓰면 \(y(t) = \left[\frac14e^{-t} + \frac12te^{-t} - \frac14e^{-3t}\right]u(t)\).

그림

왼쪽은 예제 4.25의 \(\vert H(j\omega)\vert\)로, \(\omega = 0\)에서 \(\frac23\)이고 주파수가 높을수록 작아진다. 오른쪽의 굵은 선이 예제 4.26의 출력이고, 점선 세 조각을 더한 것이다1.

검증: 예제 4.25·4.26의 부분 분수와 계수 연립식, 구한 \(y(t)\)와 \(h(t)\)를 미분방정식에 넣어 양변이 같음, \(y(0) = 0\), 부분 분수 전개의 두 예 확인 — 44_lccde-frequency-response_verify.py

단계별 연습: 푸리에 역변환 예제 사다리

활용

  • 회로 시뮬레이션과 제어 공학에서 시스템의 주파수 특성(보드 선도)을 그릴 때 이 유리함수를 쓴다2.
  • 2장에서 시간 영역으로 푼 미분방정식(제차해 + 특수해 + 초기 조건)을, 초기 휴지 조건이면 주파수 영역의 곱과 부분 분수로 더 기계적으로 풀 수 있다.

연결

확인 문제

C1 \(\frac{d^2y}{dt^2} + 3\frac{dy}{dt} + 2y = x\)의 \(H(j\omega)\)와 \(h(t)\)를 구하라.

답: \(H = \frac{1}{(j\omega+1)(j\omega+2)} = \frac{1}{j\omega+1} - \frac{1}{j\omega+2}\), \(h = (e^{-t} - e^{-2t})u(t)\).

C2 미분방정식을 푸리에 변환하면 왜 대수식이 되는가?

답: 미분 성질로 \(\frac{d^ky}{dt^k}\)가 \((j\omega)^kY\), 곧 \(Y\)에 수를 곱한 것이 되기 때문이다. 미분 연산이 사라지고 \(Y\)와 \(X\)의 곱셈 관계만 남는다.

C3 \(\frac{1}{(j\omega+2)^2}\)의 역변환은?

답: \(te^{-2t}u(t)\).

  1. 44_lccde-frequency-response_plot.py로 그렸고, 같은 코드로 다음을 확인했다: \(H(0) = \frac23\), \(y(0) = 0\), \(y(t)\)가 미분방정식을 만족하고 \(h * x\)의 수치 컨벌루션과 같음. ↩

  2. 계산은 검증 코드로 확인했다. ↩