고조파를 무한히 더하면 정말 원래 신호가 될까? 실제로 쓰는 거의 모든 주기 신호에서는 그렇다. 한 주기의 에너지가 유한하면 오차의 에너지가 0으로 가고, 디리클레의 세 조건을 만족하면 끊기지 않은 점마다 원래 값으로 간다. 하지만 끊긴 점에서는 양쪽 값의 평균으로 가고, 그 근처에서는 항을 아무리 늘려도 약 9% 튀어나오는 물결(깁스 현상)이 사라지지 않는다.
예시로 보기
사각파(예제 3.5)를 \(k = -N \dots N\)까지만 더한 근사 \(x_N(t)\)를 그려 보면(그림 3.9)
- \(N = 1\): 코사인 하나라 둥근 언덕이다.
- \(N = 3, 7, 19\): 점점 사각형에 가까워지고 위쪽이 평평해진다.
- \(N = 79\): 거의 사각형이다. 그러나 모서리 옆에 작고 뾰족한 넘침이 여전히 있다.
- 끊긴 점 \(t = T_1\)에서는 \(N\)과 상관없이 늘 \(\frac12\)(위 값 1과 아래 값 0의 평균)을 지난다.
\(T = 4\), \(T_1 = 1\)인 사각파의 부분합이다. 회색 점이 끊긴 점 \(t = \pm1\)의 값 \(\frac12\)이고, \(N\)이 커져도 모서리 옆의 작은 넘침은 남는다1.
A. Michelson은 이 근사를 기계(조화 분석기)로 그려 보다가 이 넘침을 처음 보고했다.
정의
유한 개 항으로 근사하기. \(x_N(t) = \sum_{k=-N}^{N}a_ke^{jk\omega_0t}\)로 근사하면 오차는 \(e_N(t) = x(t) - x_N(t)\)이다. 오차의 크기를 한 주기의 오차 에너지로 잰다.
\[E_N = \int_T\vert e_N(t)\vert ^2dt = \int_T\left\vert x(t) - \sum_{k=-N}^{N}a_ke^{jk\omega_0t}\right\vert ^2dt\]이 \(E_N\)을 가장 작게 만드는 계수가 바로 분석식의 \(a_k\)다. 그래서 유한 개 항을 쓸 때 가장 좋은 근사는 “푸리에 급수를 원하는 개수만큼 자르고 나머지를 버리는 것”이고, \(N\)이 커지면 \(E_N\)이 줄어든다.
수렴의 두 가지 보장
- 에너지 조건: 한 주기의 에너지가 유한하면(\(\int_T\vert x(t)\vert ^2dt < \infty\)) 모든 \(a_k\)가 유한하고, \(N \to \infty\)에서 \(E_N \to 0\)이다. 이것은 오차의 에너지가 0이라는 뜻이지, 모든 \(t\)에서 값이 같다는 뜻은 아니다.
- 디리클레 조건: 다음 셋을 만족하는 주기 신호는 끊기지 않은 모든 점에서 푸리에 급수가 \(x(t)\)로 수렴하고, 끊긴 점에서는 양쪽 극한값의 평균으로 수렴한다.
- 조건 1: 한 주기에서 절대 적분 가능 \(\int_T\vert x(t)\vert dt < \infty\). 그러면 \(\vert a_k\vert \le \frac1T\int_T\vert x(t)\vert dt < \infty\).
- 조건 2: 한 주기에서 최댓값·최솟값(오르내림)의 개수가 유한하다(유계 변동).
- 조건 3: 한 주기에서 불연속점의 개수가 유한하고, 각 불연속에서 뛰는 크기가 유한하다.
조건 1에서 \(\vert a_k\vert\)의 한계가 나오는 이유: \(\vert e^{-jk\omega_0t}\vert = 1\)이라 \(\vert a_k\vert = \left\vert \frac1T\int x e^{-jk\omega_0t}dt\right\vert \le \frac1T\int\vert x\vert dt\)이다.
조건을 깨는 신호(그림 3.8)
| 깨는 조건 | 예 | 이유 |
|---|---|---|
| 조건 1 | \(x(t) = \frac1t\) (\(0 < t \le 1\), 주기 1) | \(\int_0^1\frac1tdt = \infty\) |
| 조건 2 | \(x(t) = \sin\frac{2\pi}{t}\) (\(0 < t \le 1\)) | 절대 적분은 1보다 작지만 0 근처에서 무한히 오르내린다 |
| 조건 3 | 주기 8, \([0,4)\)에서 1, \([4,6)\)에서 \(\frac12\), \([6,7)\)에서 \(\frac14\), … | 넓이는 8보다 작지만 불연속점이 무한히 많다 |
조건 2의 예에서 \(\int_0^1\vert \sin\frac{2\pi}{t}\vert dt\)는 \(u = \frac1t\)로 바꾸면 \(\int_1^\infty\frac{\vert \sin2\pi u\vert }{u^2}du \le \int_1^\infty\frac{1}{u^2}du = 1\)이라 유한하다(비교 판정법).
이런 신호는 모두 인위적으로 만든 것이라 실제 상황에서는 거의 나오지 않는다.
두 신호가 “같다”는 뜻. 불연속점에서만 값이 다른 두 신호는 어느 구간에서 적분해도 같고, 어떤 시스템과 컨벌루션해도 결과가 같다. 그래서 LTI 시스템 해석에서는 같은 신호로 본다.
예제
깁스 현상. 사각파의 \(x_N\)은 불연속점 근처에서 넘침과 물결이 생긴다. \(N\)을 늘리면 물결이 불연속점 쪽으로 좁아지지만, 넘치는 높이는 점프 크기의 약 9%로 줄지 않는다. 그래도 넓이가 0으로 줄어 오차 에너지는 0으로 간다. 이것이 “오차 에너지 → 0”과 “모든 점에서 같다”가 다른 이유다.
끊긴 점 \(t = 1\) 근처를 확대했다. \(N\)을 19에서 301로 늘려도 꼭대기는 약 1.09에 머물고, 물결의 폭만 끊긴 점 쪽으로 좁아진다1.
활용
- 디지털 오디오나 영상에서 높은 주파수 성분을 갑자기 잘라내면 경계 근처에 물결무늬(링잉)가 생긴다. 깁스 현상이다. 그래서 필터는 경계를 부드럽게 줄이는 창 함수를 함께 쓴다2.
- LTI 시스템이 안정할 조건 \(\int\vert h(t)\vert dt < \infty\)(절대 적분 가능)도 디리클레 조건 1과 같은 꼴이다. 이 조건이면 \(H(s)\)를 정의하는 적분이 수렴한다.
연결
- 선수: 연속 시간 푸리에 급수, 신호의 에너지와 전력
- 수학 쪽: 급수의 수렴, 푸리에 급수 (디리클레 정리, 깁스 현상)
확인 문제
C1 사각파의 푸리에 급수는 불연속점 \(t = T_1\)에서 어떤 값으로 수렴하는가? 그 값이 나오는 이유는?
답: \(\frac12\). 디리클레 조건을 만족하는 신호의 푸리에 급수는 불연속점에서 양쪽 극한값(1과 0)의 평균으로 수렴한다.
C2 “오차 에너지가 0으로 간다”와 “모든 \(t\)에서 원래 값으로 간다”는 같은 말인가? 깁스 현상으로 설명하라.
답: 아니다. 깁스 현상에서 불연속점 근처의 넘침은 높이가 약 9%로 남지만 폭이 0으로 줄어 넓이(오차 에너지)는 0으로 간다. 에너지는 0이어도 특정 점 근처에서는 값이 다를 수 있다.
C3 디리클레 조건 1(절대 적분 가능)은 만족하지만 조건 2를 깨는 신호를 들고, 어디서 깨지는지 말하라.
답: \(x(t) = \sin\frac{2\pi}{t}\) (\(0 < t \le 1\), 주기 1). 절대 적분은 1 이하로 유한하지만 \(t \to 0\)에서 무한히 많이 오르내려 조건 2(유한한 극값 개수)를 깬다.
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31_fourier-series-convergence_plot.py로 그렸고, 같은 코드로 다음을 확인했다: 끊긴 점에서 \(x_N = \frac12\), \(N = 19, 79, 301\)의 넘침이 모두 0.085~0.095, 오차 에너지가 줄어 0.006 아래. ↩ ↩2
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수치는 검증 코드로 확인했다. ↩