모델

시스템과 시스템 연결 (Systems and Interconnections)

System · 연속 시간 시스템 · Continuous-Time System · 이산 시간 시스템 …

갱신

2026-10-15

요약

시스템은 입력 신호를 받아 출력 신호로 바꾸는 상자다. 녹음기(소리 → 전기), 회로(전원 전압 → 축전기 전압), 자동차(엔진 힘 → 속도)가 모두 시스템이다. 복잡한 시스템은 작은 상자들을 줄줄이(직렬), 나란히(병렬), 되먹임(피드백)으로 이어 만든다. 상자 안을 몰라도 입력과 출력의 관계만으로 성질을 따질 수 있다는 것이 이 관점의 힘이다. 다만 같은 상자라도 언제 어떤 입력을 넣느냐에 따라 출력이 다를 수 있어, 그 규칙을 식으로 정확히 적어야 한다.

예시로 보기

서로 전혀 다른 세 대상이 같은 꼴의 식이 된다.

예	입력	출력	식
RC 회로 (예제 1.8)	전원 전압 \(v_s(t)\)	축전기 전압 \(v_c(t)\)	\(\dfrac{dv_c}{dt} + \dfrac{1}{RC}v_c = \dfrac{1}{RC}v_s\)
자동차 (예제 1.9)	엔진의 힘 \(f(t)\)	속도 \(v(t)\)	\(\dfrac{dv}{dt} + \dfrac{\rho}{m}v = \dfrac1m f\)
은행 계좌 (예제 1.10)	\(n\)번째 달 순입금액 \(x[n]\)	\(n\)번째 달 말 잔액 \(y[n]\)	\(y[n] = 1.01y[n-1] + x[n]\)

자동차 식은 뉴턴 법칙 \(f - \rho v = m\dfrac{dv}{dt}\)에서 나온다. \(\rho v\)는 속도에 비례하는 마찰이다. 앞의 둘은 모두 \(\dfrac{dy}{dt} + ay = bx\) 꼴의 1계 선형 미분방정식이다. 은행 계좌는 이자율 1%를 붙여 한 달씩 넘어가는 이산 시간 시스템이고, \(y[n] - 1.01y[n-1] = x[n]\)으로 쓰면 1계 차분방정식이다.

정의

연속 시간 시스템은 연속 시간 입력을 연속 시간 출력으로 바꾸고 \(x(t) \to y(t)\)로 적는다. 이산 시간 시스템은 \(x[n] \to y[n]\)이다(그림 1.41). 연속 입력을 A/D 변환기로 표본화한 뒤 이산 시스템으로 처리하는 것은 혼합 시스템이다.

연결 방식

연결	모양	예
직렬(cascade)	시스템 1의 출력이 시스템 2의 입력	전파 → 라디오 수신 → 증폭
병렬	같은 입력이 두 시스템에 들어가고 출력을 더함	마이크 여러 개를 한 증폭기에 연결
직렬-병렬	위 둘을 섞음 (그림 1.42(c))
피드백	시스템 1의 출력이 시스템 2를 거쳐 다시 시스템 1의 입력에 더해짐	비행기 자동조종 장치

flowchart LR
  subgraph S["직렬"]
    direction LR
    X1["입력"] --> A1["시스템 1"] --> A2["시스템 2"] --> Y1["출력"]
  end
  subgraph P["병렬"]
    direction LR
    X2["입력"] --> B1["시스템 1"]
    X2 --> B2["시스템 2"]
    B1 --> Q(("+"))
    B2 --> Q
    Q --> Y2["출력"]
  end

직렬에서는 신호가 상자를 차례로 한 번씩 지나고, 병렬에서는 같은 입력이 두 갈래로 나뉘었다가 더해진다. 아래 피드백 그림에서는 시스템 1의 출력이 시스템 2를 거쳐 입력 쪽으로 되돌아간다.

graph LR
  X[입력] --> P(("+")) --> S1[시스템 1] --> Y[출력]
  S1 --> S2[시스템 2] --> P

활용

• 블록 그림은 회로도, 신호 처리 프로그램(Simulink 등), 제어 시스템 설계의 공통 언어다. 예를 들어 RC 회로를 Simulink에서 계단 입력 → 상태공간 블록 → 스코프로 이으면 충전 곡선이 나온다.
• 피드백은 출력을 보고 입력을 고치는 구조라 자동조종, 온도 조절, 음성 증폭의 하울링(나쁜 피드백)까지 설명한다.
• 이후 13~17번 문서는 이 상자가 가진 성질(기억, 가역성, 인과성, 안정성, 시불변성, 선형성)을 하나씩 정의한다.

연결

• 선수: 1계 선형 미분방정식 (예의 식)
• 다음: 기억과 가역성, 인과성, 안정성, 시불변성, 선형성

확인 문제

C1 은행 계좌 예에서 이자율이 월 2%이고 매달 100씩 입금한다. 식으로 쓰고, \(y[-1] = 0\)일 때 \(y[1]\)을 구하라.

답: \(y[n] = 1.02y[n-1] + 100\). \(y[0] = 100\), \(y[1] = 1.02 \times 100 + 100 = 202\).

C2 RC 회로와 자동차는 물리적으로 전혀 다른데, 왜 같은 꼴의 식이 되는가?

답: 둘 다 “변화율 = (입력에 비례하는 양) − (지금 값에 비례해 깎이는 양)” 구조다. RC 회로는 저항을 지나는 전류가 전압 차에 비례하고, 자동차는 마찰이 속도에 비례한다. 그래서 둘 다 \(\dfrac{dy}{dt} + ay = bx\)가 된다.