사인파 · Hong-Iron

요약

사인파는 “얼마나 크게, 1초에 몇 번, 언제부터” 흔들리는지 세 수로 정해지는 가장 순수한 진동이다. 소리의 크기와 음정, 전파의 반송파, 교류 전기가 모두 이 모양이다. 같은 빠르기의 사인파끼리 더하면 여전히 같은 빠르기의 사인파가 되어 다루기 쉽다. 다만 실제 소리와 신호는 여러 빠르기가 섞여 있어 사인파 하나로는 부족하고, 그것을 사인파들로 나누는 일은 푸리에 급수가 맡는다.

예시로 보기

라(A4) 음은 공기가 1초에 440번 떨리는 소리다. 소리 크기가 1인 이 음을 식으로 쓰면 $s(t) = \sin(2\pi \cdot 440\, t)$이다. 한 번 떨리는 데 $1/440$초, 약 2.27 ms가 걸린다.

바꾼 것	식	들리는 변화
진폭 2배	$2\sin(2\pi \cdot 440 t)$	더 큰 소리
주파수 2배	$\sin(2\pi \cdot 880 t)$	한 옥타브 높은 라
위상 $\pi/2$	$\sin(2\pi \cdot 440 t + \pi/2)$	같은 소리, $1/1760$초 먼저 시작

표의 세 조작은 함수의 변환과 짝을 이룬다. 진폭은 세로 배율, 주파수는 가로 배율, 위상은 가로 이동이다.

$그림$

회색이 원래의 440 Hz 사인파다. 진폭을 키우면 위아래로 늘어나고, 주파수를 키우면 가로로 줄어들고, 위상을 바꾸면 모양은 그대로 왼쪽으로 옮겨 간다¹.

정의

실수 $A > 0$, $f > 0$, $\varphi$, $C$에 대해

\[s(t) = A \sin(2\pi f t + \varphi) + C = A\sin(\omega t + \varphi) + C\]

를 사인파라 한다².

진폭 $A$: 가운데 값 $C$에서 가장 멀리 가는 거리
주파수 $f$ (Hz): 1초 동안의 반복 횟수. 주기는 $T = 1/f$초
각주파수 $\omega = 2\pi f$ (rad/s): 1초 동안 도는 각
위상 $\varphi$ (rad): $t = 0$에서의 출발 각. 그래프는 왼쪽으로 $\varphi / \omega$초 옮겨진다
$C$: 가운데 값(직류 성분)

변환의 틀 $a\,f(b(x - h)) + k$에 넣으면 $a = A$, $b = \omega$, $h = -\varphi/\omega$, $k = C$다. 코사인파 $A\cos(\omega t)$도 위상이 $\pi/2$인 사인파 $A\sin(\omega t + \pi/2)$다.

같은 주파수의 사인파와 코사인파를 더하면 같은 주파수의 사인파 하나가 된다: $a\sin\omega t + b\cos\omega t = \sqrt{a^2 + b^2}\,\sin(\omega t + \varphi)$. 증명은 삼각함수 항등식의 덧셈정리로 한다. 예를 들어 $3\sin\omega t + 4\cos\omega t = 5\sin(\omega t + 0.927)$이다.

예제

표본화와 에일리어싱. 소리를 1초에 8,000번 재어(8 kHz 표본화) 저장한다. 7 kHz 사인파를 재면 무엇이 저장되는가?

표본 쓰기: $n$번째 표본은 $t = n / 8000$에서 잰 값 $\sin\!\left(2\pi \cdot 7000 \cdot \frac{n}{8000}\right) = \sin\!\left(2\pi n \cdot \frac78\right)$.
한 바퀴 빼기: $\frac78 = 1 - \frac18$이고 $\sin(\theta - 2\pi n) = \sin\theta$이므로 $\sin\!\left(-2\pi n \cdot \frac18\right)$.
홀함수 쓰기: $\sin(-x) = -\sin x$이므로 $-\sin\!\left(2\pi \cdot 1000 \cdot \frac{n}{8000}\right)$.
해석: 저장된 값은 1 kHz 사인파(부호만 반대)와 똑같다. 7 kHz는 1 kHz로 둔갑한다.

표본화 주파수의 절반보다 높은 주파수는 이렇게 낮은 주파수로 보인다(에일리어싱). 그래서 음성 전화처럼 8 kHz로 표본화하는 장치는 먼저 4 kHz보다 높은 성분을 걸러 낸다³.

$그림$

회색 점이 8 kHz로 잰 값이다. 빠르게 떨리는 7 kHz 파형(파랑)과 느린 1 kHz 파형(주황)이 모든 점을 똑같이 지나서, 점만 보고는 둘을 가릴 수 없다¹.

검증: 440 Hz의 주기, 변환 계수 대응, 카드 C2의 값, 7 kHz와 1 kHz 표본 2,000개 일치, 합성 $3\sin + 4\cos = 5\sin(\cdot + 0.927)$ — 13_sinusoid_verify.py

활용

소리와 음악. 디지털 오디오는 사인파의 합으로 소리를 만들고 분석한다. 한 옥타브는 주파수 2배다.
통신. 주파수 분할 다중화는 채널마다 다른 주파수의 사인파(반송파)에 신호를 싣는다.
빛과 파동. 파동과 빛의 $s(t) = A\sin(2\pi f t + \phi)$가 이 문서의 사인파다.
애니메이션. 버튼이 부드럽게 흔들리거나 숨 쉬듯 커졌다 작아지는 효과는 크기나 위치를 사인파로 바꿔서 만든다.

연결

선수: 삼각함수, 함수의 변환과 합성
이어지는 개념: 삼각함수 항등식(사인파의 합과 곱), 미분적분학의 푸리에 급수·푸리에 변환
복소수로 쓰면 $A e^{i(\omega t + \varphi)}$의 허수부다. 오일러 공식에서 이어진다.

확인 문제

C1 사인파 A sin(2πft + φ) + C의 네 수 A, f, φ, C가 각각 무엇을 정하는지 쓰고, 주기와 각주파수를 f로 나타내라.

답: $A$는 진폭(흔들림의 크기), $f$는 주파수(1초당 반복 횟수), $\varphi$는 위상(출발 각), $C$는 가운데 값이다. 주기 $T = 1/f$, 각주파수 $\omega = 2\pi f$.

C2 s(t) = 3 sin(100πt − π/2)의 진폭, 주파수, 주기를 구하고, t = 0에서 그래프가 어디서 출발하는지 쓰라.

답: 진폭 3, $\omega = 100\pi$이므로 $f = 50$ Hz, 주기 $20$ ms. $s(0) = 3\sin(-\pi/2) = -3$이라 가장 낮은 곳에서 출발한다.

흔한 오답: 주파수를 $100\pi$나 $100$으로 쓰는 것. $\omega = 2\pi f$에서 $2\pi$로 나눠야 한다.

C3 8 kHz로 표본화하면 7 kHz 사인파가 1 kHz 사인파처럼 보이는 이유를 삼각함수의 성질로 설명하라.

답: 표본은 $\sin(2\pi n \cdot 7/8)$이다. 주기성으로 $2\pi n$을 빼면 $\sin(-2\pi n/8)$이고, 사인이 홀함수라 $-\sin(2\pi n / 8)$이다. 이것은 1 kHz 사인파의 표본에 $-1$을 곱한 것이라 표본만으로는 두 신호를 구별할 수 없다.

13_sinusoid_plot.py로 그렸고, 그림에 쓴 값(주기 $1/440$초 ≈ 2.27 ms, 위상 $\pi/2$가 $1/1760$초 앞섬, 7 kHz와 −1 kHz 사인파의 표본 2,000개 일치)을 같은 코드로 확인했다. ↩ ↩²
OpenStax, Precalculus 2e, 6.1절 “Graphs of the Sine and Cosine Functions”(진폭, 주기, 위상 이동), 7.6절 “Modeling with Trigonometric Functions” ↩
표본화 주파수의 절반보다 높은 성분이 낮은 주파수로 겹친다는 것은 표본화 정리(나이퀴스트-섀넌)의 내용이다. 전화 음성의 8 kHz 표본화는 PCM 음성 부호화의 표준 값이다. 이 문서의 예제는 삼각함수의 주기성과 홀함수 성질만으로 한 경우를 보였다. ↩

바꾼 것	식	들리는 변화
진폭 2배	\(2\sin(2\pi \cdot 440 t)\)	더 큰 소리
주파수 2배	\(\sin(2\pi \cdot 880 t)\)	한 옥타브 높은 라
위상 \(\pi/2\)	\(\sin(2\pi \cdot 440 t + \pi/2)\)	같은 소리, \(1/1760\)초 먼저 시작