요약

신호를 옮기거나, 뒤집거나, 미분하거나, 곱하면 푸리에 계수가 정해진 규칙대로 바뀐다. 이 규칙표(표 3.1)를 알면 매번 적분하지 않고 이미 아는 신호의 계수에서 새 신호의 계수를 얻는다. 예를 들어 신호를 늦추면 계수의 크기는 그대로이고 위상만 돈다. 미분하면 높은 고조파일수록 크게 커진다. 다만 모든 성질은 같은 주기 \(T\)의 신호끼리 쓸 때 맞다.

예시로 보기

예제 3.6의 \(g(t)\)를 직접 적분하지 않고 구해 보자. \(g\)는 주기 4인 대칭 사각파 \(x(t)\)(\(\vert t\vert < 1\)에서 1)를 1만큼 늦추고 0.5를 뺀 것이다: \(g(t) = x(t-1) - 0.5\).

  1. \(x\)의 계수는 이미 안다(예제 3.5): \(a_k = \frac{\sin(\pi k/2)}{k\pi}\) (\(k \ne 0\)), \(a_0 = \frac12\).
  2. 1만큼 늦추면 계수에 \(e^{-jk\omega_0 \cdot 1} = e^{-jk\pi/2}\)가 곱해진다(시간 이동).
  3. 상수 \(-0.5\)는 \(k = 0\) 계수만 \(-0.5\) 바꾼다(선형성).
  4. 결과: \(d_k = \frac{\sin(\pi k/2)}{k\pi}e^{-jk\pi/2}\) (\(k \ne 0\)), \(d_0 = \frac12 - \frac12 = 0\).

적분 한 번 없이 표의 규칙 두 개로 끝났다.

정의

주기 \(T\), 기본 주파수 \(\omega_0 = \frac{2\pi}{T}\)인 신호의 계수를 \(x(t) \overset{FS}{\longleftrightarrow} a_k\), \(y(t) \overset{FS}{\longleftrightarrow} b_k\)로 쓴다.

표 3.1 (주요 성질)
성질 신호 계수
선형성 \(Ax(t) + By(t)\) \(Aa_k + Bb_k\)
시간 이동 \(x(t - t_0)\) \(a_ke^{-jk\omega_0t_0}\)
주파수 이동 \(e^{jM\omega_0t}x(t)\) \(a_{k-M}\)
켤레 \(x^*(t)\) \(a_{-k}^*\)
시간 반전 \(x(-t)\) \(a_{-k}\)
시간 척도 \(x(\alpha t)\), \(\alpha > 0\) (주기 \(T/\alpha\)) \(a_k\) (기본 주파수는 \(\alpha\omega_0\))
주기 컨벌루션 \(\int_Tx(\tau)y(t-\tau)d\tau\) \(Ta_kb_k\)
곱셈 \(x(t)y(t)\) \(\sum_{l=-\infty}^{\infty}a_lb_{k-l}\)
미분 \(\frac{dx}{dt}\) \(jk\omega_0a_k\)
적분 \(\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau\) (\(a_0 = 0\)일 때만 유한·주기적) \(\frac{1}{jk\omega_0}a_k\)
실수 신호 \(x\) 실수 \(a_k = a_{-k}^*\), \(\lvert a_k\rvert = \lvert a_{-k}\rvert\), \(\angle a_k = -\angle a_{-k}\)
실수·짝 \(x\) 실수이고 짝 \(a_k\) 실수이고 짝
실수·홀 \(x\) 실수이고 홀 \(a_k\) 순허수이고 홀
파스발 관계 \(\frac1T\int_T\lvert x(t)\rvert^2dt\) \(\sum_k\lvert a_k\rvert^2\)

규칙마다 뜻을 말로 풀면 다음과 같다.

  • 시간 이동: 신호를 늦춰도 각 고조파의 크기 \(\vert a_k\vert\)는 그대로다. 위상만 \(k\omega_0t_0\)씩 늦는다. 높은 고조파일수록 같은 시간 지연이 더 큰 위상이 된다.
  • 시간 반전: 뒤집으면 \(k\)와 \(-k\)가 자리를 바꾼다. 그래서 짝 신호는 \(a_{-k} = a_k\), 홀 신호는 \(a_{-k} = -a_k\)다.
  • 시간 척도: 빨리 감으면 주기가 \(\frac T\alpha\)로 줄고 기본 주파수가 \(\alpha\omega_0\)로 커질 뿐, 계수 자체는 같다.
  • 곱셈: 시간에서 곱하면 계수끼리는 이산 컨벌루션이 된다. 반대로 시간에서 (주기) 컨벌루션하면 계수끼리 곱해진다.
  • 미분·적분: 미분하면 \(k\)번째 계수의 크기가 \(k\omega_0\)배, 위상은 \(+90°\) 돈다. 적분하면 크기가 \(\frac{1}{k\omega_0}\)배, 위상은 \(-90°\)다.
  • 파스발 관계: 한 주기의 평균 전력은 모든 고조파 성분의 평균 전력 \(\vert a_k\vert ^2\)을 더한 것과 같다. \(a_ke^{jk\omega_0t}\) 하나의 평균 전력이 \(\frac1T\int_T\vert a_k\vert ^2dt = \vert a_k\vert ^2\)이기 때문이다.
시간 이동과 곱셈, 파스발의 증명

시간 이동. \(b_k = \frac1T\int_Tx(t - t_0)e^{-jk\omega_0t}dt\)에서 \(\tau = t - t_0\)로 바꾸면 \(\tau\)도 길이 \(T\)인 구간을 돌므로 \(= e^{-jk\omega_0t_0}\frac1T\int_Tx(\tau)e^{-jk\omega_0\tau}d\tau = e^{-jk\omega_0t_0}a_k\).

곱셈. \(c_k = \frac1T\int_T\left(\sum_ma_me^{jm\omega_0t}\right)\left(\sum_lb_le^{jl\omega_0t}\right)e^{-jk\omega_0t}dt = \sum_ma_m\sum_lb_l\frac1T\int_Te^{j(m+l-k)\omega_0t}dt\). 직교성으로 \(l = k - m\)일 때만 1이고 나머지는 0이라 \(c_k = \sum_ma_mb_{k-m}\).

미분. 부분적분 \(c_k = \frac1T[e^{-jk\omega_0t}x(t)]_0^T + jk\omega_0\frac1T\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt\). 첫 항은 \(x(T) = x(0)\)(주기 신호)이고 \(e^{-jk2\pi} = 1\)이라 0이다. 그래서 \(c_k = jk\omega_0a_k\).

파스발. \(\frac1T\int_T\vert x\vert ^2dt = \frac1T\int_Tx\,x^*dt = \frac1T\int_Tx\sum_ka_k^*e^{-jk\omega_0t}dt = \sum_ka_k^*\left(\frac1T\int_Txe^{-jk\omega_0t}dt\right) = \sum_ka_k^*a_k = \sum\vert a_k\vert ^2\).

스스로 설명해 보기

1. 미분 증명에서 경계항 \(\frac1T[e^{-jk\omega_0t}x(t)]_0^T\)가 0인 이유는?

\(x\)가 주기 \(T\)라 \(x(T) = x(0)\)이고, \(e^{-jk\omega_0T} = e^{-jk2\pi} = 1 = e^0\)이다. 그래서 두 끝값이 같아 빼면 0이다.

2. 실수이고 짝인 신호의 계수가 실수인 이유를 두 성질로 보이라.

실수라서 \(a_{-k} = a_k^*\)(켤레 대칭), 짝이라서 \(a_{-k} = a_k\)(시간 반전). 둘을 합치면 \(a_k = a_k^*\), 곧 \(a_k\)는 실수다.

핵심 아이디어는?

시간 영역의 조작 하나하나가 고조파 하나하나에 무엇을 하는지(위상을 돌리나, 크기를 바꾸나, 번호를 옮기나)로 번역한다.

예제

예제 3.7 삼각파. 주기 4, \(\omega_0 = \frac\pi2\), \(x(0) = 0\), \(x(\pm2) = 1\)인 삼각파의 도함수가 예제 3.6의 \(g(t)\)다.

  • 미분 성질: \(d_k = jk\frac\pi2e_k\)이므로 \(e_k = \frac{2d_k}{jk\pi} = \frac{2\sin(\pi k/2)}{j(k\pi)^2}e^{-jk\pi/2}\) (\(k \ne 0\)).
  • \(k = 0\)은 따로: 미분 성질로는 \(e_0\)를 알 수 없다(0을 곱했기 때문). 한 주기의 평균을 직접 구한다: \(e_0 = \frac14\left[\int_0^2\frac t2dt + \int_2^4\left(2 - \frac t2\right)dt\right] = \frac14(1 + 1) = \frac12\).

그림

오른쪽은 로그 눈금이다. 끊긴 사각파의 계수는 \(\frac1k\)로, 꺾이기만 하는 삼각파의 계수는 \(\frac{1}{k^2}\)로 줄어든다. 미분하면 계수에 \(k\)가 곱해진다는 성질을 거꾸로 본 것이다1.

예제 3.8 임펄스 열. \(x(t) = \sum_k\delta(t - kT)\). 적분 경계에 임펄스가 걸리지 않게 \(-\frac T2 \sim \frac T2\)에서 적분하면 \(a_k = \frac1T\int\delta(t)e^{-jk\omega_0t}dt = \frac1T\). 모든 계수가 같다. 그래서 임펄스는 모든 주파수를 똑같은 크기로 담고 있고, 시스템에 임펄스를 넣어 보면 모든 주파수의 반응을 한꺼번에 본다.

사각파의 도함수는 임펄스 열 두 개의 차 \(q(t) = \delta(t + T_1) - \delta(t - T_1)\)(주기적)이다. 시간 이동으로 \(b_k = \frac1T(e^{jk\omega_0T_1} - e^{-jk\omega_0T_1}) = \frac{2j\sin(k\omega_0T_1)}{T}\)이고, 미분 성질 \(b_k = jk\omega_0c_k\)로 사각파 계수 \(c_k = \frac{\sin(k\omega_0T_1)}{k\pi}\)가 다시 나온다.

예제 3.9 조건으로 신호 찾기. 실수, 주기 4, \(\vert k\vert > 1\)이면 \(a_k = 0\), \(b_k = e^{-j\pi k/2}a_{-k}\)인 신호가 홀함수, \(\frac14\int_4\vert x\vert ^2dt = \frac12\).

  1. 남은 계수: \(a_0, a_1, a_{-1}\)만 있고 실수라 \(a_{-1} = a_1^*\). \(x = a_0 + 2\mathrm{Re}\{a_1e^{j\pi t/2}\}\).
  2. \(b_k\)의 신호: 반전(\(a_{-k}\))과 1만큼 늦춤(\(e^{-jk\omega_0}\))이므로 \(x(-(t-1)) = x(-t+1)\). 실수이고 홀이라 \(b_k\)는 순허수이고 홀: \(b_0 = 0\), \(b_{-1} = -b_1\).
  3. 파스발: 반전·이동은 평균 전력을 바꾸지 않으므로 \(\vert b_1\vert ^2 + \vert b_{-1}\vert ^2 = \frac12\), \(\vert b_1\vert = \frac12\). 순허수라 \(b_1 = \pm\frac j2\).
  4. 되돌리기: \(a_0 = b_0 = 0\), \(a_1 = e^{-j\pi/2}b_{-1} = -jb_{-1} = jb_1\). \(b_1 = \frac j2\)이면 \(a_1 = -\frac12\), \(x = -\cos\frac{\pi t}{2}\). \(b_1 = -\frac j2\)이면 \(a_1 = \frac12\), \(x = \cos\frac{\pi t}{2}\).
검증: 표 3.1의 선형성·시간 이동·반전·척도·곱셈·미분·켤레 대칭·주기 컨벌루션·파스발을 분석식 수치 적분으로 확인, 예제 3.6·3.7·3.8과 사각파 도함수의 계수, 예제 3.9의 답 확인 — 32_ctfs-properties_verify.py

활용

  • 계산 시간을 아낀다: 사각파, 삼각파, 임펄스 열 몇 개의 계수만 외워 두면 이동·미분·적분으로 많은 신호의 계수를 얻는다.
  • 미분 성질은 “미분하면 고주파가 커진다”는 뜻이다. 영상 경계 검출(미분 필터)이 잡음에 약한 이유다 → 영상의 경계 검출과 평활화
  • 파스발 관계로 신호 전력이 어느 주파수에 몰려 있는지(전력 스펙트럼)를 본다.

연결

자주 하는 오해

“신호를 늦추면 푸리에 계수의 크기가 바뀐다.”

틀렸다. 그림이 옆으로 움직이니 무언가 달라질 것 같아 그럴듯하다. 실제로는 각 고조파가 똑같은 시간만큼 늦을 뿐이라 크기 \(\vert a_k\vert\)는 그대로이고 위상만 \(-k\omega_0t_0\) 바뀐다. 확인: 예제 3.6에서 \(\vert d_k\vert = \vert a_k\vert\) (\(k \ne 0\))2.

확인 문제

C1 시간 이동, 시간 반전, 미분, 파스발 관계를 계수 쪽 식으로 쓰라.

답: \(x(t - t_0) \to a_ke^{-jk\omega_0t_0}\), \(x(-t) \to a_{-k}\), \(\frac{dx}{dt} \to jk\omega_0a_k\), \(\frac1T\int_T\vert x\vert ^2dt = \sum\vert a_k\vert ^2\).

C2 \(x(t)\)의 계수가 \(a_k\)이다. \(y(t) = 3x(t + 2) + x(-t)\)의 계수는?

답: \(3a_ke^{jk\omega_0 \cdot 2} + a_{-k}\).

C3 예제 3.7에서 미분 성질로 \(e_0\)를 구할 수 없는 이유와, 대신 어떻게 구하는가?

답: \(d_0 = j \cdot 0 \cdot \omega_0e_0 = 0\)이라 \(e_0\)에 대한 정보가 사라진다(상수는 미분하면 0). 대신 한 주기 평균 \(e_0 = \frac1T\int_Tx\,dt = \frac12\)를 직접 계산한다.

C4 실수 신호의 계수가 ① 모두 실수 ② 모두 순허수 ③ 일반 복소수일 때, 신호는 각각 짝·홀·둘 다 아님 중 무엇인가?

답: ① 짝 ② 홀 ③ 둘 다 아님(짝 부분과 홀 부분이 모두 있다).

C5 파스발 증명의 “\(\frac1T\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt = a_k\)“는 어디서 나오는가?

답: 푸리에 급수의 분석식 그 자체다.

  1. 32_ctfs-properties_plot.py로 그렸고, 같은 코드로 다음을 확인했다: \(jk\omega_0e_k = d_k\)(미분 성질), 삼각파 계수 \(e_1\), \(e_3\)과 \(e_0 = \frac12\)를 분석식 수치 적분과 비교. ↩

  2. 계산은 검증 코드로 확인했다. ↩