사용 개념: 미분방정식 시스템의 주파수 응답, 컨벌루션 성질과 주파수 응답

\(j\omega\)의 유리함수를 시간 함수로 되돌리는 문제다. 하위목표는 다음과 같다1.

  1. 인수분해: 분모를 \((j\omega + a)\) 꼴로 나눈다.
  2. 부분 분수: 서로 다른 근은 \(\frac{A}{j\omega + a}\), 중근은 \(\frac{A}{j\omega+a} + \frac{B}{(j\omega+a)^2}\).
  3. 계수 구하기: 해당 인수를 곱하고 근을 넣거나, 계수 비교.
  4. 표로 되돌리기: \(\frac{1}{a + j\omega} \to e^{-at}u(t)\), \(\frac{1}{(a + j\omega)^2} \to te^{-at}u(t)\).

문제 1 · 완전한 풀이

\(Y = \dfrac{1}{(j\omega + 2)(j\omega + 5)}\)

  1. 인수분해: 이미 되어 있다.
  2. 부분 분수: \(\frac{A}{j\omega + 2} + \frac{B}{j\omega + 5}\).
  3. 계수: \(A = \frac{1}{j\omega + 5}\big\vert _{j\omega = -2} = \frac13\), \(B = \frac{1}{j\omega + 2}\big\vert _{j\omega = -5} = -\frac13\).
  4. 되돌리기: \(y(t) = \frac13(e^{-2t} - e^{-5t})u(t)\).

문제 2 · 마지막 하위목표만 빈칸

\(H = \dfrac{j\omega + 3}{(j\omega + 1)(j\omega + 2)}\)

  1. 인수분해: 되어 있다.
  2. 부분 분수: \(\frac{A}{j\omega + 1} + \frac{B}{j\omega + 2}\).
  3. 계수: \(A = \frac{-1 + 3}{-1 + 2} = 2\), \(B = \frac{-2 + 3}{-2 + 1} = -1\).
  4. 되돌리기: __
답

\(h(t) = (2e^{-t} - e^{-2t})u(t)\).

문제 3 · 하위목표 절반이 빈칸

\(Y = \dfrac{1}{(j\omega + 1)^2(j\omega + 2)}\)

  1. 인수분해: 되어 있다(중근 \(-1\)).
  2. 부분 분수: __
  3. 계수: __
  4. 되돌리기: \(y(t) = (te^{-t} - e^{-t} + e^{-2t})u(t)\).
답
  1. \(\frac{A}{j\omega + 1} + \frac{B}{(j\omega + 1)^2} + \frac{C}{j\omega + 2}\).
  2. \(B = \frac{1}{j\omega + 2}\big\vert _{-1} = 1\), \(C = \frac{1}{(j\omega+1)^2}\big\vert _{-2} = 1\), \(A = \frac{d}{d(j\omega)}\frac{1}{j\omega + 2}\big\vert _{-1} = -1\).

문제 4 · 독립 문제

\(\frac{d^2y}{dt^2} + 5\frac{dy}{dt} + 6y = \frac{dx}{dt} + 4x\)인 시스템에 \(x(t) = e^{-2t}u(t)\)를 넣었을 때 \(y(t)\)를 구하라.

답

\(H = \frac{j\omega + 4}{(j\omega+2)(j\omega+3)}\), \(Y = HX = \frac{j\omega + 4}{(j\omega + 2)^2(j\omega + 3)} = -\frac{1}{j\omega + 2} + \frac{2}{(j\omega+2)^2} + \frac{1}{j\omega + 3}\). 그래서 \(y(t) = (-e^{-2t} + 2te^{-2t} + e^{-3t})u(t)\).

검증: 네 문제의 부분 분수가 원래 유리함수와 같음, 문제 4의 \(y(t)\)가 미분방정식과 \(y(0) = 0\)을 만족 — 44_inverse-transform-ladder_p4.py

  1. 검증 코드로 확인했다. ↩