사용 개념: 이산 시간 복소 지수 신호

이 방법을 떠올리는 신호는 “\(\cos(\omega_0 n)\)이나 \(e^{j\omega_0 n}\) 여러 개의 합이 주기적인가, 주기는 얼마인가”라는 질문이다. 하위목표는 ① 항마다 \(\omega_0/2\pi\)를 기약분수 \(m/N\)으로 ② 무리수가 하나라도 있으면 비주기 ③ 항별 \(N\)의 최소공배수1.

문제 1 · 완전한 풀이

\(x[n] = e^{j(2\pi/3)n} + e^{j(3\pi/4)n}\) (예제 1.6)

  1. 기약분수: \(\frac{2\pi/3}{2\pi} = \frac13\) → \(N_1 = 3\). \(\frac{3\pi/4}{2\pi} = \frac38\) → \(N_2 = 8\).
  2. 유리수 확인: 둘 다 유리수라 주기적이다.
  3. 최소공배수: \(\mathrm{lcm}(3, 8) = 24\).

문제 2 · 마지막 하위목표만 빈칸

\(x[n] = \cos(\pi n/4) + \sin(\pi n/6)\)

  1. 기약분수: \(\frac18\) → \(N_1 = 8\). \(\frac{1}{12}\) → \(N_2 = 12\).
  2. 유리수 확인: 주기적이다.
  3. 최소공배수: __
답

\(\mathrm{lcm}(8, 12) = 24\).

문제 3 · 하위목표 절반이 빈칸

\(x[n] = \cos(30\pi n/8) + e^{j(300\pi/8)n}\)

  1. 기약분수: __
  2. 유리수 확인: 둘 다 유리수다.
  3. 최소공배수: __
답
  1. \(\frac{30/8}{2} = \frac{15}{8}\) → \(N_1 = 8\) (\(m = 15\)). \(\frac{300/8}{2} = \frac{75}{4}\) → \(N_2 = 4\) (\(m = 75\)).
  2. \(\mathrm{lcm}(8, 4) = 8\).

문제 4 · 독립 문제

다음 각각의 기본 주기를 구하거나 비주기임을 보이라. (가) \(\cos(8\pi n/31) + \cos(\pi n/2)\) (나) \(\cos(n/6) + \cos(\pi n)\)

답

(가) \(\frac{4}{31}\) → 31, \(\frac14\) → 4. 최소공배수 124.
(나) \(\frac{1}{12\pi}\)가 무리수라 첫 항이 주기적이지 않으므로 합도 비주기다.

검증: 각 항의 \(N\), \(m\)과 문제 1의 주기 24 — 09_dt-complex-exponential_verify.py, 문제 2~4의 주기는 09_dt-period-ladder_p4.py

  1. 검증 코드로 확인했다. ↩