요약

일정한 시간마다 똑같은 모양이 끝없이 되풀이되는 신호다. 시계 초침처럼, 한 바퀴 시간만큼 밀어도 그림이 그대로다. 되풀이 간격 중 가장 짧은 것을 기본 주기라 한다. 한 구간만 반복처럼 보여서는 안 되고, 모든 시간에서 맞아야 한다. 그래서 한쪽은 \(\cos\), 다른 쪽은 \(\sin\)으로 이어 붙인 신호는 주기 신호가 아니다.

예시로 보기

\(\cos 2t\)의 주기를 구해 보자. \(T\)만큼 밀어도 같아야 하므로 \(\cos 2(t + T) = \cos(2t + 2T) = \cos 2t\)여야 한다. 코사인은 각이 \(2\pi\) 늘 때마다 되풀이되니 \(2T = 2\pi\), 즉 \(T = \pi\)다.

\(\pi\)만큼 밀어도 같다면 \(2\pi\), \(3\pi\)만큼 밀어도 같다. 이 가운데 가장 작은 \(\pi\)가 기본 주기다.

정의

연속 시간 신호 \(x(t)\)는 다음을 만족하는 양수 \(T\)가 있으면 주기가 \(T\)인 주기 신호다.

\[x(t) = x(t + T) \quad \text{모든 } t\text{에 대해}\]

기호로 쓰면 \(\exists T > 0 \;\text{s.t.}\; \forall t,\; x(t) = x(t + T)\)다. 여기서 \(\exists\)는 “있다”, \(\forall\)는 “모든”을 뜻한다.

  • 주기가 \(T\)이면 모든 정수 \(m\)에 대해 \(x(t) = x(t + mT)\)다. 그래서 \(2T, 3T, \dots\)도 주기다.
  • 기본 주기 \(T_0\)은 위 식을 만족하는 가장 작은 양수 \(T\)다.
  • 이산 시간 신호 \(x[n]\)은 \(x[n] = x[n + N]\)인 양의 정수 \(N\)이 있으면 주기 \(N\)인 주기 신호다. 기본 주기 \(N_0\)도 가장 작은 \(N\)이다.

상수 신호 \(x(t) = c\)는 어떤 \(T\)로 밀어도 같다. 가장 작은 양수가 없으므로 기본 주기가 정의되지 않는다.

예제

예제 1.4 (주기 신호가 아닌 예)

\[x(t) = \begin{cases}\cos t & t < 0\\ \sin t & t \ge 0\end{cases}\]
  • 각 조각만 보면 \(\cos(t + 2\pi) = \cos t\), \(\sin(t + 2\pi) = \sin t\)라서 \(2\pi\)마다 되풀이되는 것처럼 보인다.
  • 그런데 \(t = 0\)에서 \(\cos 0 = 1\)이 \(\sin 0 = 0\)으로 갑자기 바뀐다. 이 끊김은 \(t = 0\) 한 곳에만 있고 \(2\pi\)나 \(-2\pi\)에는 없다.
  • 그래서 \(2\pi\)만큼 밀면 끊김의 위치가 달라지고, 신호는 주기적이지 않다.

그림

\(x(t)\)를 \(2\pi\)만큼 왼쪽으로 민 점선은 색칠한 \(-2\pi \le t < 0\)에서만 원래 신호와 어긋난다. 그 구간에서 한쪽은 코사인, 다른 쪽은 사인이다1.

활용

  • 교류 전기, 음의 높이, 시계 신호는 주기 신호다. 3장의 푸리에 급수는 주기 신호를 정현파들의 합으로 나눈다.
  • 주기 신호는 에너지가 무한대이고 평균 전력은 유한한 전력 신호다 → 신호의 에너지와 전력
  • 이산 시간 정현파는 연속 시간과 달리 늘 주기적이지는 않다 → 이산 시간 복소 지수 신호

연결

확인 문제

C1 \(\sin(3t + 1)\)의 기본 주기는?

답: \(3T = 2\pi\)이므로 \(T_0 = \dfrac{2\pi}{3}\). 위상 \(+1\)은 주기와 관계없다.

C2 “어느 구간에서 \(2\pi\)마다 같은 모양이 보이면 주기 신호다”가 틀렸음을 보이는 예를 들라.

답: 예제 1.4처럼 \(t < 0\)에서는 \(\cos t\), \(t \ge 0\)에서는 \(\sin t\)인 신호. 양쪽 구간 안에서는 \(2\pi\)마다 되풀이되지만, \(t = 0\)의 끊김이 한 번만 나타나 전체로는 주기적이지 않다. 다른 예: \(\sin t \cdot u(t)\).

  1. 06_periodic-signals_plot.py로 그렸고, 같은 코드로 다음을 확인했다: \(t = -\frac\pi2\)에서 \(x(t) = 0\), \(x(t + 2\pi) = -1\)로 다르고, \(t = 1\)과 \(t = -7\)에서는 같음. ↩