요약

푸리에 급수에서 본 성질표(표 3.1)가 푸리에 변환에도 거의 그대로 있다(표 4.1). 늦추면 위상만 돌고, 빨리 감으면 스펙트럼이 넓어지고, 미분하면 \(j\omega\)가 곱해지고, 실수 신호의 스펙트럼은 좌우 켤레 대칭이다. 이 표를 쓰면 적분을 직접 하지 않고 아는 변환 몇 개에서 새 변환을 얻는다. 단, 적분 성질에는 직류 성분 때문에 임펄스 항 \(\pi X(0)\delta(\omega)\)가 붙는다.

예시로 보기

예제 4.9의 신호는 높이 1.5와 1의 계단 모양이다(그림 4.15). 직접 적분하지 않고 사각 펄스 둘로 나눈다.

  1. \(x(t) = \frac12x_1(t - 2.5) + x_2(t - 2.5)\). \(x_1\)은 폭 \(\frac12\)(\(T_1 = \frac12\)), \(x_2\)는 폭 \(\frac32\)(\(T_1 = \frac32\))인 대칭 사각 펄스.
  2. 예제 4.4로 \(X_1 = \frac{2\sin(\omega/2)}{\omega}\), \(X_2 = \frac{2\sin(3\omega/2)}{\omega}\).
  3. 선형성과 시간 이동: \(X(j\omega) = e^{-j5\omega/2}\dfrac{\sin(\omega/2) + 2\sin(3\omega/2)}{\omega}\).

정의

\(x(t) \leftrightarrow X(j\omega)\), \(y(t) \leftrightarrow Y(j\omega)\).

표 4.1 (주요 성질)
성질 신호 변환
선형성 \(ax(t) + by(t)\) \(aX(j\omega) + bY(j\omega)\)
시간 이동 \(x(t - t_0)\) \(e^{-j\omega t_0}X(j\omega)\)
주파수 이동 \(e^{j\omega_0t}x(t)\) \(X(j(\omega - \omega_0))\)
켤레 \(x^*(t)\) \(X^*(-j\omega)\)
시간 반전 \(x(-t)\) \(X(-j\omega)\)
척도 \(x(at)\) \(\frac{1}{\lvert a\rvert}X\left(\frac{j\omega}{a}\right)\)
컨벌루션 \(x(t) * y(t)\) \(X(j\omega)Y(j\omega)\)
곱셈 \(x(t)y(t)\) \(\frac{1}{2\pi}\int X(j\theta)Y(j(\omega - \theta))d\theta\)
시간 미분 \(\frac{dx}{dt}\) \(j\omega X(j\omega)\)
적분 \(\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau\) \(\frac{1}{j\omega}X(j\omega) + \pi X(0)\delta(\omega)\)
주파수 미분 \(tx(t)\) \(j\frac{d}{d\omega}X(j\omega)\)
실수 신호 \(x\) 실수 \(X(j\omega) = X^*(-j\omega)\): \(\mathrm{Re}\) 짝, \(\mathrm{Im}\) 홀, \(\lvert X\rvert\) 짝, \(\angle X\) 홀
실수·짝 / 실수·홀   \(X\) 실수·짝 / 순허수·홀
짝·홀 분해 \(\mathcal{E}v\{x\}\), \(\mathcal{O}d\{x\}\) (\(x\) 실수) \(\mathrm{Re}\{X\}\), \(j\mathrm{Im}\{X\}\)
파스발 관계 \(\int\lvert x(t)\rvert^2dt\) \(\frac{1}{2\pi}\int\lvert X(j\omega)\rvert^2d\omega\)

시간 이동. 합성식의 \(t\)를 \(t - t_0\)로 바꾸면 \(x(t - t_0) = \frac{1}{2\pi}\int(e^{-j\omega t_0}X)e^{j\omega t}d\omega\)다. 크기 \(\vert X\vert\)는 그대로이고 위상만 \(-\omega t_0\) 바뀐다: \(\mathcal{F}\{x(t - t_0)\} = \vert X\vert e^{j[\angle X - \omega t_0]}\).

켤레 대칭. \(X^*(j\omega) = \int x^*(t)e^{j\omega t}dt\)에서 \(\omega\)를 \(-\omega\)로 바꾸면 \(x^* \leftrightarrow X^*(-j\omega)\). \(x\)가 실수면 \(X(-j\omega) = X^*(j\omega)\)다. 그래서 양의 주파수만 계산하면 음의 주파수 값은 저절로 정해진다. 예제 4.1에서 \(\mathrm{Re}\{X\} = \frac{a}{a^2+\omega^2}\)는 짝, \(\mathrm{Im}\{X\} = \frac{-\omega}{a^2+\omega^2}\)는 홀이다.

미분과 적분. 합성식을 \(t\)로 미분하면 \(\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2\pi}\int j\omega X e^{j\omega t}d\omega\), 곧 시간 미분은 주파수에서 \(j\omega\) 곱셈이다. 미분방정식 시스템을 해석할 때 미분이 곱셈으로 바뀐다. 적분은 \(\frac{1}{j\omega}\) 곱셈에, 직류 성분(평균값) 때문에 \(\omega = 0\)에 임펄스 \(\pi X(0)\delta(\omega)\)가 더해진다.

척도. \(\tau = at\)로 바꾸면 \(a > 0\)이면 \(\frac1aX(\frac{j\omega}{a})\), \(a < 0\)이면 적분 범위가 뒤집혀 \(-\frac1aX(\frac{j\omega}{a})\)다. 합쳐서 \(\frac{1}{\vert a\vert }X(\frac{j\omega}{a})\). 시간에서 \(a\)배 압축하면 주파수에서 \(\frac1a\)배 압축, 곧 \(a\)배 넓어진다. 녹음을 빨리 틀면(\(\vert a\vert > 1\)) 소리가 높아지고(스펙트럼 확장), 느리게 틀면 낮아진다. \(a = -1\)이면 시간 반전 \(x(-t) \leftrightarrow X(-j\omega)\)다.

그림

\(\vert t\vert < 1\)인 펄스 \(x(t)\)와 두 배 빨리 감은 \(x(2t)\)다. 시간 폭이 절반이 되면 스펙트럼은 첫 영점이 \(\pi\)에서 \(2\pi\)로 옮겨 가 두 배 넓어지고, 높이는 2에서 1로 절반이 된다1.

파스발 관계. \(\int\vert x\vert ^2dt = \int x\left[\frac{1}{2\pi}\int X^*e^{-j\omega t}d\omega\right]dt\)에서 적분 순서를 바꾸면 \(\frac{1}{2\pi}\int X^*\left[\int xe^{-j\omega t}dt\right]d\omega = \frac{1}{2\pi}\int\vert X\vert ^2d\omega\). 전체 에너지는 시간에서 \(\vert x\vert ^2\)를 적분해도, 주파수에서 \(\frac{\vert X\vert ^2}{2\pi}\)를 적분해도 같다. 그래서 \(\vert X(j\omega)\vert ^2\)를 에너지 밀도 스펙트럼이라 한다. 주기 신호의 파스발 관계 \(\frac1T\int_T\vert x\vert ^2dt = \sum\vert a_k\vert ^2\)와 짝이다.

예제

예제 4.10 대칭 성질로 구하기. \(e^{-a\vert t\vert } = e^{-at}u(t) + e^{at}u(-t) = 2\mathcal{E}v\{e^{-at}u(t)\}\). 실수 신호의 짝 부분은 \(\mathrm{Re}\{X\}\)에 대응하므로 \(X = 2\mathrm{Re}\left\{\frac{1}{a + j\omega}\right\} = \frac{2a}{a^2 + \omega^2}\). 예제 4.2와 같다.

예제 4.11 단위 계단. \(u(t) = \int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)d\tau\)이고 \(\delta \leftrightarrow 1\)이라 적분 성질로 \(U(j\omega) = \frac{1}{j\omega} + \pi\delta(\omega)\). 거꾸로 미분하면 \(j\omega\left[\frac{1}{j\omega} + \pi\delta(\omega)\right] = 1\)(\(\omega\delta(\omega) = 0\))로 \(\delta\)의 변환이 나온다.

예제 4.12 미분해서 구하기. \(x(t) = t\) (\(-1 \le t < 1\)), 그 밖 0.

  1. 미분하면 \(g(t) = \frac{dx}{dt}\)는 높이 1, 폭 2인 사각 펄스에서 \(t = \pm1\)의 임펄스(넓이 \(-1\)) 둘을 뺀 것이다(그림 4.16).
  2. \(G(j\omega) = \frac{2\sin\omega}{\omega} - e^{j\omega} - e^{-j\omega}\). \(G(0) = 2 - 1 - 1 = 0\).
  3. 적분 성질: \(X = \frac{G}{j\omega} + \pi G(0)\delta(\omega) = \frac{2\sin\omega}{j\omega^2} - \frac{2\cos\omega}{j\omega}\).
  4. 확인: \(x\)는 실수·홀이고 \(X\)는 순허수·홀이다.

예제 4.14 스펙트럼만으로 계산. 그림 4.18의 \(X(j\omega)\)로 에너지 \(E = \int\vert x\vert ^2dt\)와 \(D = \frac{dx}{dt}\big\vert _{t=0}\)을 구한다.

  • \(E\)는 파스발로: (a) \(\frac{1}{2\pi}[\pi \cdot 0.5 + \frac\pi4 \cdot 1 + \pi \cdot 0.5] = \frac58\), (b) \(\vert {\pm j\sqrt\pi}\vert ^2 = \pi\)라 \(\frac{1}{2\pi}[\pi + \pi] = 1\).
  • \(D\)는 미분 성질과 역변환식 \(t = 0\)으로: \(D = \frac{1}{2\pi}\int j\omega X(j\omega)d\omega\). (a) \(X\)가 짝이라 \(\omega X\)는 홀, 적분이 0. (b) \(\frac{1}{2\pi}\left[\int_{-1}^{0}\sqrt\pi\omega d\omega - \int_0^1\sqrt\pi\omega d\omega\right] = -\frac{1}{2\sqrt\pi}\).
검증: 시간 이동·주파수 이동·반전·켤레 대칭·척도(\(a = 2, 0.5, -3\))·미분·주파수 미분을 가우스 꼴 시험 신호로 수치 적분해 확인, 실수 짝·홀 대칭, 예제 4.10의 파스발, 예제 4.9·4.12의 식, 예제 4.14의 \(\frac58\), 1, 0, \(-\frac{1}{2\sqrt\pi}\) — 40_fourier-transform-properties_verify.py

스스로 설명해 보기

1. 척도 성질에서 \(a < 0\)일 때 부호가 바뀌어 \(\frac{1}{\vert a\vert }\)이 되는 이유는?

\(\tau = at\)로 바꾸면 \(dt = \frac{d\tau}{a}\)이고, \(a < 0\)이면 \(t\)가 \(-\infty \to \infty\)일 때 \(\tau\)는 \(\infty \to -\infty\)로 간다. 적분 범위를 바로잡으며 부호가 한 번 더 바뀌어 \(-\frac1a = \frac{1}{\vert a\vert }\)이 된다.

2. 예제 4.14 (a)에서 \(D = 0\)인 이유를 대칭으로 설명하라.

\(X\)가 실수·짝이라 \(x\)도 실수·짝이다. 짝함수의 도함수는 홀함수이고 홀함수는 \(t = 0\)에서 0이다. 식으로도 \(\omega X(j\omega)\)가 홀이라 적분이 0이다.

핵심 아이디어는?

변환을 직접 적분하지 말고, 아는 쌍에 시간 영역 조작을 하고 그 조작의 주파수 쪽 짝(표 4.1)을 적용한다.

활용

  • 미분방정식 → 다항식: 미분이 \(j\omega\) 곱셈이라 회로·기계 시스템을 대수식으로 푼다 → 미분방정식 시스템의 주파수 응답
  • 척도 성질은 “빠르게 변하는 신호일수록 넓은 대역폭이 필요하다”는 통신의 기본 원리다.
  • 흔한 실수: 적분 성질에서 \(\pi X(0)\delta(\omega)\)를 빠뜨리는 것, 척도에서 \(\frac{1}{\vert a\vert }\)을 빠뜨리는 것.

연결

자주 하는 오해

“신호를 두 배 빨리 재생하면 스펙트럼도 두 배 좁아진다.”

틀렸다. 시간이 압축되니 스펙트럼도 압축될 것 같아 그럴듯하다. 실제로는 \(x(2t) \leftrightarrow \frac12X(\frac{j\omega}{2})\)라서 스펙트럼은 두 배 넓어진다(높은 주파수로 퍼진다). 확인: 테이프를 빨리 틀면 목소리가 높아진다2.

확인 문제

C1 시간 이동, 척도, 시간 미분, 적분 성질을 변환 쪽 식으로 쓰라.

답: \(e^{-j\omega t_0}X\), \(\frac{1}{\vert a\vert }X(\frac{j\omega}{a})\), \(j\omega X\), \(\frac{1}{j\omega}X + \pi X(0)\delta(\omega)\).

C2 \(x(t) = e^{-a(t-2)}u(t-2)\)의 변환은?

답: 시간 이동으로 \(\frac{e^{-j2\omega}}{a + j\omega}\).

C3 실수 신호 \(x(t)\)의 스펙트럼에서 ① \(\vert X(j\omega)\vert\) ② \(\angle X(j\omega)\) ③ \(\mathrm{Re}\{X\}\) ④ \(\mathrm{Im}\{X\}\)는 각각 짝인가 홀인가?

답: ① 짝 ② 홀 ③ 짝 ④ 홀.

C4 파스발 관계 증명에서 \(\int x\left[\frac{1}{2\pi}\int X^*e^{-j\omega t}d\omega\right]dt\)가 나오는 근거는?

답: \(\vert x\vert ^2 = x\,x^*\)이고, \(x^*\)를 역변환식의 켤레 \(x^*(t) = \frac{1}{2\pi}\int X^*(j\omega)e^{-j\omega t}d\omega\)로 바꿨다.

  1. 40_fourier-transform-properties_plot.py로 그렸고, 같은 코드로 다음을 확인했다: \(x(2t)\)의 변환을 수치 적분해 \(\frac12X(\frac{j\omega}{2})\)와 비교, 첫 영점 \(\pi\)와 \(2\pi\). ↩

  2. 계산은 검증 코드로 확인했다. ↩