요약

신호 및 시스템의 차분방정식과 이산수학의 선형 점화식은 같은 식을 다른 이름으로 부른 것이다. 둘 다 “다음 값을 앞의 값들에 상수를 곱해 더해 만든다”이고, 둘 다 거듭제곱 \(r^n\)을 넣어 특성방정식을 풀어서 닫힌 꼴을 얻는다. 차이는 관점이다. 점화식은 수열 하나를 계산하고, 차분방정식은 입력이 들어오는 시스템을 다룬다. 그래서 오른쪽의 입력 항, 초기 휴지 조건, 임펄스 응답 같은 말이 시스템 쪽에만 있다.

먼저 비교해 보기

표를 펼치기 전에 두 사례의 공통 구조와 대응 관계를 먼저 적어 본다.

이산수학: 하노이의 탑 \(T_n = 2T_{n-1} + 1\), \(T_0 = 0\) 신호 및 시스템: 계단 응답 \(s[n] = as[n-1] + b\,u[n]\), \(s[-1] = 0\)
닫힌 꼴 \(T_n = 2^n - 1\) 닫힌 꼴 \(s[n] = \frac{b}{1-a}(1 - a^{n+1})\) (\(n \ge 0\))
대응 관계
하노이의 탑 계단 응답 공통 구조
앞 항에 곱하는 2 과거 출력에 곱하는 \(a\) 특성방정식 \(r - 2 = 0\), \(r - a = 0\)의 근
더하는 상수 1 매 칸 들어오는 입력 \(b\) 비동차 항 = 입력. 특수해는 상수
특수해 \(-1\) (\(A = 2A + 1\)) 특수해 \(\frac{b}{1-a}\) (\(A = aA + b\)) 상수를 넣어 계수 맞추기
제차해 \(C \cdot 2^n\) 제차해 \(Ca^n\) 특성근의 거듭제곱
초기값 \(T_0 = 0\)으로 \(C = 1\) 초기 휴지 \(s[-1] = 0\)으로 \(C = -\frac{ab}{1-a}\) 초기 조건으로 상수 정하기
\(a = 2 > 1\)이라 끝없이 커짐 \(\lvert a\rvert < 1\)이면 \(\frac{b}{1-a}\)로 수렴 특성근의 크기가 커지는지(불안정) 줄어드는지(안정)를 정한다

하노이의 탑은 \(a = 2\), \(b = 1\)인 계단 응답에 \(n\)을 하나 밀어 맞춘 것이다: \(s[n-1] = \frac{1}{1-2}(1 - 2^n) = 2^n - 1 = T_n\).

어디까지 같은가

  • 같은 것: 상수계수 선형 식, 거듭제곱 해, 특성방정식, 중근이면 \(n r^n\)을 곱하는 규칙, 일반해 = 제차해 + 특수해, 초기 조건으로 상수 결정.
  • 다른 것: 점화식은 보통 초기값(\(a_0, a_1\))을 직접 주고, 시스템은 초기 휴지(과거 출력이 0)를 기본으로 둔다. 시스템 쪽은 입력을 바꿔 가며 같은 식을 여러 번 쓰므로 임펄스 응답 \(h[n]\) 하나로 모든 입력의 출력을 구한다(컨벌루션). 점화식 쪽에는 이 관점이 없다.
  • 미분방정식과도 같은 구조다. 연속 시간에서는 \(r^n\) 대신 \(e^{st}\)를 넣고, 미분이 곱셈 \(s\)로, 이동이 곱셈 \(\frac1r\)로 바뀐다. 표본화 \(t = nT\)에서 \(r = e^{sT}\)로 이어진다.

이 연결로 얻는 것

  • 이산수학에서 익힌 점화식 풀이(피보나치의 비네 공식 등)를 그대로 디지털 필터의 임펄스 응답 계산에 쓸 수 있다. 예: \(y[n] = y[n-1] + y[n-2] + x[n]\)의 임펄스 응답은 피보나치 수열(한 칸 밀린 것)이다.
  • 거꾸로, 시스템의 안정성 판정(특성근의 크기가 1보다 작은가)은 점화식의 값이 커지는지 줄어드는지를 바로 알려 준다.
  • 선형 점화식 ↔ 행렬 거듭제곱과 이으면, 고차 차분방정식을 상태 벡터와 행렬로 쓰는 상태 공간 표현으로 넘어간다.

전이 문제

컴퓨터 메모리의 캐시 적중률을 매번 \(h[n] = 0.8h[n-1] + 0.2x[n]\)으로 갱신한다(\(x[n]\)은 \(n\)번째 접근이 적중이면 1, 아니면 0). 처음 \(h[-1] = 0\)이고 모든 접근이 적중하면 \(h[n]\)은? 0.9를 넘는 첫 \(n\)은?

계단 응답 꼴이다. \(a = 0.8\), \(b = 0.2\)이므로 \(h[n] = \frac{0.2}{0.2}(1 - 0.8^{n+1}) = 1 - 0.8^{n+1}\). \(0.8^{n+1} < 0.1\)이려면 \(n + 1 > \frac{\ln 0.1}{\ln 0.8} \approx 10.3\), 곧 \(n = 10\)부터다.

출처