연속 시간 푸리에 급수

요약

주기 신호는 “기본 진동과 그 2배, 3배, … 빠른 진동들”을 알맞은 비율로 섞어 만들 수 있다. 화음이 기본음과 배음으로 이루어진 것과 같다. 섞는 비율(푸리에 계수)은 신호에 각 진동을 곱해 한 주기 동안 평균 내면 구해진다. 이 진동들은 서로 겹치지 않아서(직교), 하나의 비율을 구할 때 다른 것이 끼어들지 않기 때문이다. 다만 계수는 보통 복소수라 크기와 위상을 함께 봐야 하고, 끊긴 신호는 끝없이 많은 진동이 필요하다.

예시로 보기

기본 주파수가 \(2\pi\)인 신호를 네 조각으로 만든다(예제 3.2).

\[x(t) = \sum_{k=-3}^{3}a_ke^{jk2\pi t}, \quad a_0 = 1,\ a_{\pm1} = \tfrac14,\ a_{\pm2} = \tfrac12,\ a_{\pm3} = \tfrac13\]

짝이 되는 두 항을 오일러 관계로 묶으면 \(\frac14(e^{j2\pi t} + e^{-j2\pi t}) = \frac12\cos2\pi t\)처럼 코사인이 된다.

\[x(t) = 1 + \tfrac12\cos2\pi t + \cos4\pi t + \tfrac23\cos6\pi t\]

그림 3.4는 상수 1에 \(\frac12\cos2\pi t\), \(\cos4\pi t\), \(\frac23\cos6\pi t\)를 차례로 더해 가며 모양이 쌓이는 것을 보여 준다. 반대로 이 모양만 받았을 때 1, \(\frac14\), \(\frac12\), \(\frac13\)을 되찾는 방법이 분석식이다.

칸마다 점선이 앞 칸까지의 합, 색 선이 한 항을 더 더한 합이다. 항을 더할수록 \(t = 0, \pm1\)에 뾰족한 봉우리가 생긴다¹.

정의

주기 \(T\)인 신호 \(x(t)\)의 기본 주파수는 \(\omega_0 = \frac{2\pi}{T}\)이다. 같은 주기 \(T\)를 공유하는 고조파 \(\phi_k(t) = e^{jk\omega_0 t}\) (\(k = 0, \pm1, \pm2, \dots\))로 신호를 나타낸다.

푸리에 급수

\[x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jk\omega_0t} = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jk(2\pi/T)t} \qquad \text{(합성식)}\] \[a_k = \frac1T\int_T x(t)e^{-jk\omega_0t}dt = \frac1T\int_T x(t)e^{-jk(2\pi/T)t}dt \qquad \text{(분석식)}\]

\(\int_T\)는 길이 \(T\)인 아무 구간에서의 적분이다.

기호 읽기

\(a_k\): 푸리에 계수(스펙트럼 계수). \(k\)번째 고조파가 신호에 얼마나, 어떤 위상으로 들어 있는가.
\(a_0 = \frac1T\int_T x(t)dt\): 한 주기의 평균값, 곧 직류(dc) 성분.
\(k = \pm1\): 기본파(제1고조파). \(k = \pm2\): 주파수가 2배인 제2고조파. \(k = \pm N\): 제\(N\)고조파.

계수 공식이 나오는 이유: 직교성. 서로 다른 고조파를 곱해 한 주기 적분하면 0이다.

\[\int_T e^{j(k-n)\omega_0t}dt = \begin{cases}T & k = n\\ 0 & k \ne n\end{cases}\]

\(k \ne n\)이면 \(\cos(k-n)\omega_0t\)와 \(\sin(k-n)\omega_0t\)는 주기가 \(\frac{T}{\vert k-n\vert }\)인 정현파라, 길이 \(T\)에 정확히 \(\vert k-n\vert\)바퀴가 들어가고 넓이가 0이 된다.

분석식 유도

합성식 양변에 \(e^{-jn\omega_0t}\)를 곱한다: \(x(t)e^{-jn\omega_0t} = \sum_ka_ke^{j(k-n)\omega_0t}\)
양변을 한 주기 적분하고, 적분과 합의 순서를 바꾼다(수렴한다고 가정): \(\int_Tx(t)e^{-jn\omega_0t}dt = \sum_ka_k\int_Te^{j(k-n)\omega_0t}dt\)
직교성으로 \(k = n\)인 항만 \(T\)가 남고 나머지는 0: 오른쪽 \(= Ta_n\)
그래서 \(a_n = \frac1T\int_Tx(t)e^{-jn\omega_0t}dt\)

벡터로 보면 \(\phi_k\)가 직교 기저이고, \(a_k\)는 \(x\)와 \(\phi_k\)의 내적을 \(\phi_k\)의 길이 제곱 \(T\)로 나눈 것이다. 복소 벡터의 내적은 한쪽에 켤레를 씌워 \(\sum u_n^*v_n\)으로 정의한다. 그래야 자기 자신과의 내적이 늘 0 이상의 실수(길이의 제곱)가 된다.

실수 신호의 성질과 삼각함수 꼴. \(x(t)\)가 실수면 \(x^* = x\)에서 \(a_{-k} = a_k^*\)이다. 그래서 짝 항을 묶으면

\[x(t) = a_0 + 2\sum_{k=1}^{\infty}\mathrm{Re}\{a_ke^{jk\omega_0t}\} = a_0 + 2\sum_{k=1}^{\infty}A_k\cos(k\omega_0t + \theta_k) = a_0 + 2\sum_{k=1}^{\infty}\left[B_k\cos k\omega_0t - C_k\sin k\omega_0t\right]\]

여기서 \(a_k = A_ke^{j\theta_k} = B_k + jC_k\)이다. 세 꼴은 같은 신호이고, 계산이 편한 복소수 꼴을 주로 쓴다.

스스로 설명해 보기

1. 유도 3단계에서 합 전체가 \(Ta_n\) 하나로 줄어드는 이유는?

직교성 때문에 \(\int_Te^{j(k-n)\omega_0t}dt\)는 \(k = n\)일 때만 \(T\)이고 나머지는 모두 0이다. 그래서 무한히 많은 항 중 \(a_n \cdot T\)만 남는다.

2. 실수 신호에서 \(a_{-k} = a_k^*\)인 이유는?

합성식의 켤레를 취하면 \(x^* = \sum a_k^*e^{-jk\omega_0t}\)이고, \(k\)를 \(-k\)로 바꾸면 \(\sum a_{-k}^*e^{jk\omega_0t}\)다. \(x\)가 실수라 \(x = x^*\)이므로 두 급수의 계수를 비교하면 \(a_k = a_{-k}^*\)다.

핵심 아이디어는?

서로 직교하는 진동들을 기준 자로 삼아, 신호를 각 자에 대어(내적) 그 성분만 읽어 낸다.

예제

예제 3.3 \(x(t) = \sin\omega_0t\)

오일러 관계로 바로 쓴다: \(\sin\omega_0t = \frac{1}{2j}e^{j\omega_0t} - \frac{1}{2j}e^{-j\omega_0t}\).
합성식과 비교: \(a_1 = \frac{1}{2j}\), \(a_{-1} = -\frac{1}{2j}\), 나머지 \(a_k = 0\). 분석식으로 적분해도 같다.

예제 3.4 \(x(t) = 1 + \sin\omega_0t + 2\cos\omega_0t + \cos(2\omega_0t + \frac\pi4)\)

모두 복소 지수로 풀고 같은 주파수끼리 모은다.
\(a_0 = 1\), \(a_1 = 1 + \frac{1}{2j} = 1 - \frac12j\), \(a_{-1} = 1 + \frac12j\), \(a_2 = \frac12e^{j\pi/4} = \frac{\sqrt2}{4}(1 + j)\), \(a_{-2} = \frac{\sqrt2}{4}(1 - j)\), \(\vert k\vert > 2\)이면 0.
크기와 위상(그림 3.5): \(\vert a_0\vert = 1\), \(\vert a_{\pm1}\vert = \sqrt{1 + 0.25} \approx 1.118\), \(\vert a_{\pm2}\vert = 0.5\). 1.25는 크기의 제곱이니 제곱근을 빼먹고 1.25로 적지 않는다. 위상 \(\angle a_1 \approx -26.57°\), \(\angle a_2 = 45°\).

예제 3.5 주기 사각파 한 주기에서 \(\vert t\vert < T_1\)이면 1, \(T_1 < \vert t\vert < \frac T2\)이면 0

대칭 구간 선택: \(t = 0\)에 대칭이므로 \(-\frac T2 \sim \frac T2\)에서 적분한다.
\(k = 0\): \(a_0 = \frac1T\int_{-T_1}^{T_1}dt = \frac{2T_1}{T}\). 한 주기 중 1인 부분의 비율이다.
\(k \ne 0\): \(a_k = \frac1T\int_{-T_1}^{T_1}e^{-jk\omega_0t}dt = \frac{2\sin(k\omega_0T_1)}{k\omega_0T} = \frac{\sin(k\omega_0T_1)}{k\pi}\) (마지막 등호는 \(\omega_0T = 2\pi\)).
\(T = 4T_1\)일 때: \(\omega_0T_1 = \frac\pi2\)이므로 \(a_k = \frac{\sin(k\pi/2)}{k\pi}\). \(a_0 = \frac12\), \(a_{\pm1} = \frac1\pi\), \(a_{\pm3} = -\frac{1}{3\pi}\), \(a_{\pm5} = \frac{1}{5\pi}\), 짝수 \(k\)(0 제외)는 0.
\(T = 8T_1\)일 때: \(a_0 = \frac14\), \(a_1 = \frac{\sqrt2}{2\pi}\), \(a_2 = \frac{1}{2\pi}\), \(a_3 = \frac{\sqrt2}{6\pi}\).

포락선. \(Ta_k = \frac{2\sin(\omega T_1)}{\omega}\Big\vert _{\omega = k\omega_0}\)이다. 즉 \(Ta_k\)는 매끄러운 곡선 \(\frac{2\sin\omega T_1}{\omega}\)(포락선)을 \(\omega_0\) 간격으로 찍은 값이다. \(T\)를 키우면(\(4T_1 \to 8T_1 \to 16T_1\)) 같은 곡선을 더 촘촘히 찍는다(그림 3.7). 이 곡선은 정규화된 sinc 함수 \(\mathrm{sinc}\,x = \frac{\sin\pi x}{\pi x}\) 꼴이다. 4장의 푸리에 변환이 이 “촘촘해지는 극한”에서 나온다.

\(T_1 = 1\)일 때다. 세 줄의 막대는 모두 같은 점선 곡선 위에 있고, \(T\)가 두 배가 될 때마다 막대 간격 \(\omega_0\)가 절반으로 좁아진다¹.

검증: 직교성, 예제 3.2·3.3·3.4·3.5의 계수를 분석식 수치 적분으로 재계산해 일치, \(a_{-k} = a_k^*\) 확인 — 30_ct-fourier-series_verify.py

단계별 연습: 푸리에 계수 계산 예제 사다리

활용

음악의 음색은 배음 계수 \(\vert a_k\vert\)의 비율로 정해진다. 같은 음높이(기본 주파수)라도 피아노와 바이올린 소리가 다른 이유다².
전력 공학의 고조파 분석, 오디오 이퀄라이저, JPEG·MP3의 압축(코사인 성분 중 작은 것을 버림)이 이 생각을 쓴다².
흔한 실수: 계수를 실수로만 생각해 위상을 빼먹는 것, \(\omega_0T = 2\pi\)를 써서 정리하지 않아 식이 길어지는 것, \(a_0\)를 \(k \ne 0\) 공식에 넣어 0으로 나누는 것.

연결

선수: LTI 시스템의 고유함수 (왜 복소 지수로 나누는가)
수학 쪽: 푸리에 급수 (삼각급수 꼴과 파스발 항등식)
같은 구조: LTI 고유함수 ↔ 행렬 고유벡터
다음: 푸리에 급수의 수렴

자주 하는 오해

”\(a_k\)는 \(k\)번째 코사인의 진폭이다.”

틀렸다. 실수 삼각함수 꼴에 익숙해서 그럴듯하다. 복소수 꼴에서는 \(a_k\)와 \(a_{-k}\) 두 개가 합쳐져 코사인 하나를 만들고, 그 진폭은 \(2\vert a_k\vert\)다. 확인: 예제 3.2에서 \(a_1 = \frac14\)이지만 코사인 진폭은 \(\frac12\)다.

확인 문제

C1 푸리에 급수의 합성식과 분석식을 쓰라.

답: \(x(t) = \sum_k a_ke^{jk\omega_0t}\), \(a_k = \frac1T\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt\) (\(\omega_0 = 2\pi/T\)).

C2 \(x(t) = 3\cos(2t) + \sin(4t)\)의 0이 아닌 푸리에 계수를 모두 구하라. (\(\omega_0 = 2\))

답: \(a_{\pm1} = \frac32\), \(a_2 = \frac{1}{2j} = -\frac j2\), \(a_{-2} = \frac j2\).

C3 분석식 유도에서 “\(\sum_k a_k\int_Te^{j(k-n)\omega_0t}dt = Ta_n\)“인 근거는?

답: 고조파의 직교성. \(k \ne n\)이면 \(e^{j(k-n)\omega_0t}\)는 한 주기에 정수 바퀴 돌아 적분이 0이고, \(k = n\)이면 피적분 함수가 1이라 \(T\)다.

C4 예제 3.5에서 \(T = 4T_1\)일 때 \(a_k\)를 \(k = -3 \dots 3\)으로 막대그래프로 그린다면 높이는? 그래프가 어떤 곡선을 따라가는가?

답: \(a_0 = 0.5\), \(a_{\pm1} = \frac1\pi \approx 0.318\), \(a_{\pm2} = 0\), \(a_{\pm3} = -\frac{1}{3\pi} \approx -0.106\). 막대 끝이 sinc 모양 포락선 \(\frac{\sin(\omega T_1)}{\omega T/2}\)를 따라간다.

30_ct-fourier-series_plot.py로 그렸고, 같은 코드로 다음을 확인했다: 예제 3.2의 \(x(0) = 1 + \frac12 + 1 + \frac23\), 예제 3.5(\(T = 4T_1\))의 \(a_0 = \frac12\), \(a_1 = \frac1\pi\), \(a_3 = -\frac{1}{3\pi}\)를 분석식 수치 적분과 비교, \(T = 8T_1\)의 \(a_1 = \frac{\sqrt2}{2\pi}\). ↩ ↩²
계산은 검증 코드로 확인했다. ↩ ↩²