선형 시스템은 “따로 넣고 더한 것”과 “더해서 넣은 것”이 같은 시스템이다. 입력을 두 배로 하면 출력도 정확히 두 배가 되고, 두 입력을 섞어 넣으면 각자의 출력을 섞은 것이 나온다(중첩). 그래서 복잡한 입력을 쉬운 조각으로 나눠 따로 계산한 뒤 더하면 된다. 이 성질은 아주 엄격해서 \(y = 2x + 3\)처럼 직선 그래프로 보이는 시스템도 선형이 아니다. 입력이 0이면 출력도 0이어야 하기 때문이다.
예시로 보기
\(y[n] = 2x[n] + 3\)을 시험해 보자(예제 1.20).
| 입력 | 출력 |
|---|---|
| \(x_1[n] = 2\) | \(y_1 = 2 \cdot 2 + 3 = 7\) |
| \(x_2[n] = 3\) | \(y_2 = 2 \cdot 3 + 3 = 9\) |
| \(x_3 = x_1 + x_2 = 5\) | \(y_3 = 2 \cdot 5 + 3 = 13\) |
선형이라면 \(y_3 = y_1 + y_2 = 16\)이어야 하는데 13이다. 상수 3이 두 번 더해지느냐 한 번 더해지느냐의 차이다. 또 입력이 0이어도 출력이 3이다. 선형 시스템은 입력 0에 출력 0이어야 하므로 여기서 바로 탈락한다.
정의
입력 \(x_1, x_2\)의 출력을 \(y_1, y_2\)라 하자. 다음 두 성질을 모두 만족하면 선형 시스템이다.
- 덧셈성: \(x_1 + x_2 \to y_1 + y_2\)
- 동차성(크기 조절): \(ax_1 \to ay_1\), 여기서 \(a\)는 임의의 복소수
둘을 한 문장으로 합치면 다음과 같다.
\[ax_1(t) + bx_2(t) \to ay_1(t) + by_2(t), \qquad ax_1[n] + bx_2[n] \to ay_1[n] + by_2[n] \quad (\text{모든 } a, b)\]더 일반적으로, 입력이 여러 신호의 가중합 \(x[n] = \sum_k a_kx_k[n]\)이면 출력은 각 응답의 가중합 \(y[n] = \sum_k a_ky_k[n]\)이다. 이것이 중첩 성질이다. 동차성에 \(a = 0\)을 넣으면 \(0 \to 0\), 즉 모든 시각에 0인 입력은 모든 시각에 0인 출력을 낸다.
| 선형 | 비선형 |
|---|---|
| \(y(t) = Rx(t)\), \(y(t) = \frac1C\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau\), \(y[n] = \sum_{k=-\infty}^{n}x[k]\), \(y[n] = x[n-1]\) | \(y(t) = x^2(t)\), \(y(t) = \sin[x(t)]\) |
선형성과 시불변성은 서로 다른 성질이다. \(y[n] = nx[n]\)은 시변이면서 선형이고, \(y(t) = \sin[x(t)]\)는 시불변이면서 비선형이다.
증분 선형 시스템. 선형 시스템의 출력에 “입력 0일 때의 응답” \(y_0\)을 더한 구조다(그림 1.48). 두 입력에 대한 출력의 차이는 입력 차이의 선형 함수다. 예제 1.20은 선형 시스템 \(x \to 2x\)에 \(y_0 = 3\)을 더한 것이라 \(y_1 - y_2 = 2(x_1 - x_2)\)다. 적분 회로 \(y(t) = y(t_0) + \int_{t_0}^{t}f(\tau)d\tau\)의 출력도 입력 0 응답 \(y(t_0)\)과 영상태 응답(초기값 0에서 입력만으로 생기는 응답)의 합이다.
flowchart LR
X["x(t)"] --> L["선형 시스템"] --> P(("+")) --> Y["y(t)"]
Z["입력 0일 때의 응답 y₀(t)"] --> P
입력은 선형 시스템만 지나고, \(y_0\)는 입력과 상관없이 늘 더해진다. 그래서 두 출력을 빼면 \(y_0\)가 지워지고 선형 부분만 남는다.
스스로 설명해 보기
1. \(\dot y + \alpha(t)y = \beta(t)x\)는 선형이다.
\(x_1\)의 식에 \(a\), \(x_2\)의 식에 \(b\)를 곱해 더하면 \((ay_1 + by_2)' + \alpha(ay_1 + by_2) = \beta(ax_1 + bx_2)\)다. 미분과 곱셈이 덧셈과 상수배를 그대로 통과시키기 때문이다. 그래서 \(ay_1 + by_2\)가 \(ax_1 + bx_2\)의 출력이다.
2. 선형 시스템은 입력 0에 출력 0을 낸다.
동차성 \(ax \to ay\)에 \(a = 0\)을 넣으면 \(0 \to 0 \cdot y = 0\)이다.
이 정의의 핵심 아이디어는?
시스템이 “섞기”(가중합)와 순서를 바꿔도 된다. 섞고 통과시키나, 통과시키고 섞으나 같다.
예제
예제 1.17 \(y(t) = tx(t)\)
- \(x_3 = ax_1 + bx_2\)를 넣으면 \(y_3 = t(ax_1 + bx_2) = atx_1 + btx_2 = ay_1 + by_2\). 선형이다.
- \(t\)가 곱해져 있어도 그 \(t\)는 입력에 따라 바뀌지 않는 수라서 선형성을 해치지 않는다. 대신 시변이다.
예제 1.18 \(y(t) = x^2(t)\)
- \(y_3 = (ax_1 + bx_2)^2 = a^2y_1 + b^2y_2 + 2abx_1x_2\). 선형이라면 \(ay_1 + by_2\)여야 한다.
- 구체적으로 \(x_1 = 1\), \(x_2 = 0\), \(a = 2\), \(b = 0\)이면 \(y_3 = (2 \cdot 1)^2 = 4\)인데 \(2y_1 = 2\)다. 비선형이다.
예제 1.19 \(y[n] = \mathrm{Re}\{x[n]\}\)
- 덧셈성은 만족한다. 실수부끼리 더해지기 때문이다.
- 동차성을 복소수 \(a = j\)로 시험한다. \(x_1 = r + js\)(\(r\), \(s\)는 실수 신호)이면 \(y_1 = r\)이다.
- \(x_2 = jx_1 = -s + jr\)이면 \(y_2 = -s\)인데, \(jy_1 = jr\)이다. 둘이 다르므로 비선형이다.
- 동차성의 \(a\)가 “임의의 복소수”라는 조건이 결론을 바꾼다. 입력과 \(a\)를 실수로만 제한하면 이 시스템은 선형으로 판정된다1.
단계별 연습: 시스템 성질 판별 예제 사다리
활용
- 선형이고 시불변이면(LTI) 입력을 임펄스 조각들로 나눠 각 조각의 응답을 더하는 컨벌루션으로 출력을 구한다. 2장의 출발점이다.
- 회로 이론의 중첩 원리(전원이 여럿이면 하나씩 켜고 결과를 더한다)가 이 성질이다1.
- 진자처럼 원래 비선형인 시스템도 작은 움직임에서는 \(\sin\theta \approx \theta\)로 선형화해 다룬다 → 1계 선형 미분방정식
연결
- 선수: 시스템과 시스템 연결
- 같은 구조: 선형변환 (선형변환의 정의 \(T(a\mathbf{u} + b\mathbf{v}) = aT(\mathbf{u}) + bT(\mathbf{v})\)와 같다)
- 짝: 시불변성
자주 하는 오해
틀렸다. 고등학교에서 “1차 함수 = 직선 = 선형”이라 배워서 그럴듯하다. 시스템의 선형성은 중첩을 뜻하고, 상수항 3이 중첩을 깨뜨린다. 확인: 입력 2와 3의 출력 합은 16, 입력 5의 출력은 13이다. 이런 시스템은 증분 선형이라 부른다.
틀렸다. \(y = tx(t)\)는 선형이다. 선형성은 입력 \(x\)에 대해 1차인지를 본다. \(t\)는 시간에 따라 정해진 계수일 뿐이다. 시각이 식에 들어간 것은 시불변성을 깨는 문제다.
확인 문제
C1 선형 시스템의 정의를 덧셈성과 동차성으로 쓰고, 한 식으로 합쳐 쓰라.
답: \(x_1 + x_2 \to y_1 + y_2\), \(ax_1 \to ay_1\) (임의의 복소수 \(a\)). 합치면 \(ax_1 + bx_2 \to ay_1 + by_2\).
C2 선형인가? ① \(y[n] = x[n] + x[n-1]\) ② \(y(t) = x(t) + 1\) ③ \(y(t) = x(t)\cos t\) ④ \(y[n] = \vert x[n]\vert\)
답: ① 선형 ② 비선형 (입력 0에 출력 1) ③ 선형 ④ 비선형 (\(a = -1\)이면 \(\vert -x\vert \ne -\vert x\vert\))
C3 덧셈성은 만족하지만 동차성을 깨는 시스템의 예와 깨지는 입력을 들라.
답: \(y[n] = \mathrm{Re}\{x[n]\}\). \(x = 1\), \(a = j\)면 \(ax = j\)의 출력은 0인데 \(ay = j\)다. (또는 \(y = x^*\)(켤레): \(a = j\)에서 \((jx)^* = -jx^* \ne jx^*\).)
C4 선형 시스템이 반드시 “입력 0 → 출력 0”이어야 하는 이유는? 이것으로 무엇을 빨리 판정할 수 있는가?
답: 동차성에 \(a = 0\)을 넣으면 나온다. 그래서 0을 넣어 출력이 0이 아니면(예: \(2x + 3\), \(x + 1\)) 계산 없이 바로 비선형이다. 단, 0에 0이 나온다고 선형인 것은 아니다(\(x^2\)).