요약

주기 신호는 에너지가 무한대라 보통의 적분으로는 변환이 나오지 않는다. 대신 임펄스를 쓰면 된다. 주기 신호는 고조파 주파수에만 성분이 있으므로, 그 변환은 고조파 자리에 세운 임펄스들의 줄이다. \(k\)번째 임펄스의 넓이는 푸리에 급수 계수의 \(2\pi\)배다. 그래서 주기 신호와 비주기 신호를 하나의 푸리에 변환 틀로 함께 다룰 수 있다.

예시로 보기

\(x(t) = 1\)(모든 시간에 1)을 그대로 변환하면 \(\omega = 0\)에서 \(\int1\,dt = \infty\)다. 이 신호는 주파수 0 성분만 있다. 그래서 \(\omega = 0\)에 넓이 \(2\pi\)인 임펄스를 세운 \(X(j\omega) = 2\pi\delta(\omega)\)로 쓴다. 역변환해 보면 \(\frac{1}{2\pi}\int2\pi\delta(\omega)e^{j\omega t}d\omega = e^{j0t} = 1\)로 맞다.

정의

같은 방법으로 \(X(j\omega) = 2\pi\delta(\omega - \omega_0)\)를 역변환하면 \(e^{j\omega_0t}\)다. 선형성으로 묶으면

정리

푸리에 급수 계수가 \(\{a_k\}\)인 주기 신호 \(x(t) = \sum_ka_ke^{jk\omega_0t}\)의 푸리에 변환은

\[X(j\omega) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}2\pi a_k\,\delta(\omega - k\omega_0)\]

이다. \(k\)번째 고조파 주파수 \(k\omega_0\)에 넓이 \(2\pi a_k\)인 임펄스가 선다.

flowchart LR
  A["CTFS: 주기 연속 신호, 계수 a_k, 무한합"]
  B["DTFS: 주기 N 수열, 계수 a_k, N개 유한합"]
  C["CTFT: 비주기 연속 신호, X(jω), 적분"]
  D["주기 신호의 푸리에 변환: kω₀ 자리의 임펄스 줄"]
  A -->|"주기 T → ∞"| C
  C -->|"한 주기의 변환을 찍으면 a_k = X(jkω₀)/T"| A
  A -->|"a_k를 넓이 2πa_k 임펄스로"| D
  D -->|"CTFT의 틀 안에 들어감"| C
  A -->|"이산 시간판, 고조파가 N개뿐"| B

급수 두 개와 변환 하나가 화살표로 이어진다. 주기를 무한히 늘리면 급수가 변환이 되고, 거꾸로 임펄스를 쓰면 주기 신호도 변환의 틀 안으로 들어온다.

예제

예제 4.6 주기 사각파. 계수 \(a_k = \frac{2\sin(k\omega_0T_1)}{k\omega_0T}\)(예제 3.5)이므로 \(X(j\omega) = \sum_k\frac{2\sin(k\omega_0T_1)}{k}\delta(\omega - k\omega_0)\). \(T = 4T_1\)이면 \(k\omega_0T_1 = \frac{k\pi}{2}\)라 넓이는 \(\pi\,\mathrm{sinc}(\frac k2)\): \(k = 0\)에서 \(\pi\), \(k = \pm1\)에서 2, \(k = \pm2\)에서 0, \(k = \pm3\)에서 \(-\frac23\)(그림 4.12). 계수 막대그래프를 \(2\pi\)배 한 모양이다.

그림

화살표 길이가 임펄스의 넓이 \(\pi, 2, 0, -\frac23, \dots\)이다. 화살표 끝은 모두 펄스 하나의 변환 \(\frac{2\sin\omega T_1}{\omega}\)에 \(\omega_0\)를 곱한 점선 위에 있다1.

예제 4.7 정현파

  • \(\sin\omega_0t = \frac{1}{2j}(e^{j\omega_0t} - e^{-j\omega_0t})\)이므로 \(X(j\omega) = \frac\pi j\delta(\omega - \omega_0) - \frac\pi j\delta(\omega + \omega_0) = -j\pi\delta(\omega - \omega_0) + j\pi\delta(\omega + \omega_0)\). 계수 \(a_{\pm1} = \pm\frac{1}{2j}\)에 \(2\pi\)를 곱한 것과 같다.
  • \(\cos\omega_0t\)는 \(a_{\pm1} = \frac12\)이므로 \(X(j\omega) = \pi\delta(\omega - \omega_0) + \pi\delta(\omega + \omega_0)\)(그림 4.13).

예제 4.8 임펄스 열 \(x(t) = \sum_k\delta(t - kT)\). 예제 3.8에서 \(a_k = \frac1T\)이므로

\[X(j\omega) = \frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta\left(\omega - \frac{2\pi k}{T}\right)\]

시간의 임펄스 열은 주파수에서도 임펄스 열이다. 시간 간격 \(T\)가 길어지면 주파수 간격 \(\frac{2\pi}{T}\)는 좁아진다(그림 4.14). 4장 뒤의 표본화가 이 성질 위에 서 있다.

검증: 예제 4.6의 넓이(\(\pi\), 2, 0, \(-\frac23\))와 합성식으로 사각파 복원, 예제 4.7의 \(\sin\)·\(\cos\) 복원, \(1 \leftrightarrow 2\pi\delta\), 예제 4.8의 간격 — 39_periodic-fourier-transform_verify.py

활용

  • 스펙트럼 분석기에서 주기 신호는 선이 띄엄띄엄 선 선 스펙트럼으로 보인다. 각 선의 높이가 고조파 성분이다2.
  • 진폭 변조에서 반송파 \(\cos\omega_0t\)의 변환이 두 임펄스라서, 곱하면 스펙트럼이 \(\pm\omega_0\)로 옮겨진다 → 곱셈 성질과 진폭 변조

연결

확인 문제

C1 \(x(t) = 3 + 2\cos 5t\)의 푸리에 변환을 쓰라.

답: \(6\pi\delta(\omega) + 2\pi\delta(\omega - 5) + 2\pi\delta(\omega + 5)\).

C2 주기 신호의 푸리에 변환에 임펄스가 필요한 이유는?

답: 주기 신호는 에너지가 무한대이고 고조파 주파수에만 성분이 몰려 있다. 그 몇 개 주파수에 유한한 크기(\(a_k\))가 있으려면 넓이가 유한한 임펄스로 나타내야 한다. 보통 함수로는 한 점의 넓이가 0이기 때문이다.

C3 주기 \(T = 1\)인 임펄스 열의 스펙트럼에서 임펄스 간격과 넓이는?

답: 간격 \(2\pi\), 넓이 \(2\pi\).

  1. 39_periodic-fourier-transform_plot.py로 그렸고, 같은 코드로 다음을 확인했다: \(T_1 = 1\), \(T = 4\)에서 넓이 \(\pi, 2, 0, -\frac23\)이 \(2\pi a_k\)와 같고, 합성식으로 사각파 값 1과 0이 되돌아옴. ↩

  2. 계산은 검증 코드로 확인했다. ↩