미분방정식은 “지금 값이 이렇다면 이만큼 변한다”는 규칙으로 함수를 찾는 식이다. 전기 회로나 자동차처럼 시간에 따라 변하는 시스템은 대부분 이런 식으로 적힌다. 미분이 한 번만 들어 있고 \(y\)가 곱셈이나 제곱 없이 1차로만 나오면, 양변에 알맞은 지수함수를 곱해 한 번에 적분할 수 있다. 다만 이 방법은 \(y\)에 대해 1차인 식에서만 통한다.
예시로 보기
저항 \(R\)과 축전기 \(C\)를 전원 \(v_s(t)\)에 이은 회로(RC 회로)가 있다. 축전기 전압 \(v_c(t)\)는 다음 규칙을 따른다.
\[\frac{dv_c(t)}{dt} + \frac{1}{RC}v_c(t) = \frac{1}{RC}v_s(t)\]전원을 \(t = 0\)에 켜서 \(v_s = 1\)로 두면, 축전기는 처음엔 빨리 차다가 점점 느리게 찬다. 풀면 \(v_c(t) = 1 - e^{-t/RC}\)이다1. \(RC\)만큼 시간이 지나면 최종값의 약 63%까지 찬다. 이 식을 왜, 어떻게 이렇게 푸는지가 이 문서의 내용이다.
세 곡선 모두 \(t = RC\)에서 최종값의 63%를 지난다. \(RC\)가 클수록 같은 높이에 늦게 닿는다2.
정의
미분방정식은 독립 변수(\(x\)나 \(t\)), 종속 변수(\(y\)), 그리고 \(y\)의 도함수가 함께 들어간 방정식이다.
| 구분 | 뜻 | 예 |
|---|---|---|
| 상미분방정식(ODE) | 독립 변수가 하나뿐이고 보통의 도함수만 있다 | \(\dfrac{dy}{dx} + 6y = e^{-x}\) |
| 편미분방정식(PDE) | 독립 변수가 둘 이상이고 편도함수가 있다 | \(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\) |
| 계수(order) | 식에 들어 있는 가장 높은 도함수의 차수 | \(y'' + 3xy' + 4y = 1\)은 2계 |
| 차수(degree) | 계수를 정한 그 도함수가 몇 제곱인가 | \((y'')^2 + 4y + 4 = 0\)은 차수 2 |
선형 미분방정식은 \(y\)와 그 도함수들이 모두 1제곱으로만 나오고, 그 계수가 상수이거나 \(x\)만의 함수인 식이다. \(y\)끼리 곱하거나 \(\sin y\)처럼 \(y\)를 함수 안에 넣으면 비선형이다. 진자의 운동 방정식 \(\theta'' + \omega^2 \sin\theta = 0\)은 비선형이지만, 각이 작을 때 \(\sin\theta \approx \theta\)로 바꾸면 선형 식 \(\theta'' + \omega^2\theta = 0\)이 된다.
변수분리형
\(y' = F(x)G(y)\) 꼴이면 \(y\)가 들어간 것은 왼쪽, \(x\)가 들어간 것은 오른쪽으로 모은 뒤 양변을 적분한다.
\[\frac{1}{G(y)}\,dy = F(x)\,dx\]예: \(\dfrac{dy}{dx} = y^2 e^{-x}\)이면 \(\dfrac{1}{y^2}dy = e^{-x}dx\)다. 양변을 적분하면 \(-\dfrac{1}{y} = -e^{-x} + k_1\)이므로 \(y = \dfrac{1}{e^{-x} + k_2}\)다.
1계 선형: 적분인자
\(y' + p(x)y = g(x)\) 꼴이면 양변에 \(u(x) = e^{\int p(x)\,dx}\)(적분인자)를 곱한다.
유도 과정
- \(u(x) = e^{\int p\,dx}\)를 미분하면 \(u'(x) = p(x)u(x)\)다. (지수함수 미분과 연쇄 법칙)
- 원래 식에 \(u\)를 곱하면 \(u y' + p u y = g u\)이고, 1번에 따라 \(p u = u'\)이므로 \(u y' + u' y = g u\)다.
- 왼쪽은 곱의 미분 \((uy)' = u'y + uy'\)와 같다. 그래서 \(\dfrac{d}{dx}\bigl(u(x)y\bigr) = g(x)u(x)\)다.
- 양변을 적분하면 \(u(x)y = \int g(x)u(x)\,dx\), 즉
적분인자는 왼쪽을 “무엇의 미분” 한 덩어리로 바꿔 주는 장치다. 한 덩어리가 되면 그대로 적분할 수 있다.
flowchart TD
A["1계 상미분방정식"] --> B{"y′ = F(x)G(y) 꼴인가?"}
B -->|"예"| C["변수분리: y는 왼쪽, x는 오른쪽에 모아 양변 적분"]
B -->|"아니오"| D{"y′ + p(x)y = g(x) 꼴인가?"}
D -->|"예"| E["적분인자 u = e^∫p dx를 양변에 곱한다"]
E --> F["(uy)′ = gu를 적분해 y를 구한다"]
D -->|"아니오"| G["두 방법 모두 바로 쓸 수 없다"]
식의 꼴을 위에서부터 차례로 맞춰 보고, 처음 맞는 칸의 방법을 쓴다. \(g(x) = 0\)이면 두 꼴에 모두 맞아서 어느 방법으로 풀어도 된다.
예제
예 1 \(y' + y = x\)
- 적분인자: \(p = 1\)이므로 \(u = e^{x}\).
- 곱하기: \(e^x y' + e^x y = x e^x\), 즉 \((e^x y)' = x e^x\).
- 적분(부분적분): \(e^x y = x e^x - e^x + C\).
- 답: \(y = x - 1 + C e^{-x}\).
예 2 \(y' + 2y = 5\)
- \(u = e^{2x}\), \((e^{2x}y)' = 5e^{2x}\), \(e^{2x}y = \tfrac52 e^{2x} + C\)이므로 \(y = \tfrac52 + Ce^{-2x}\).
예 3 \(y' + y = x^2\)
- \(u = e^{x}\), \(e^x y = \int x^2 e^x dx = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C\) (부분적분 두 번)이므로 \(y = x^2 - 2x + 2 + Ce^{-x}\).
활용
- 이 과목에서 시스템을 식으로 적을 때 가장 먼저 나오는 꼴이다. RC 회로, 마찰이 있는 자동차(\(\dfrac{dv}{dt} + \dfrac{\rho}{m}v = \dfrac1m f\))가 모두 \(\dfrac{dy}{dt} + ay = bx\)다.
- 2장에서는 같은 식을 “입력이 들어가기 전에는 조용했다”는 조건과 함께 시스템으로 다룬다.
- 흔한 실수: 적분인자를 곱한 뒤 오른쪽 \(g(x)\)에도 곱하는 것을 잊는다. 또 \(\int p\,dx\)의 적분상수는 넣지 않아도 된다(어느 상수든 양변에 같이 곱해져 없어진다)1.
연결
- 선수: 미분방정식과 오일러 방법 (같은 식을 수치로 푸는 방법), 부분적분
- 다음: 상수계수 2계 선형 미분방정식
확인 문제
C1 \(y' + 3y = 6\)을 적분인자로 풀라.
답: \(u = e^{3x}\), \((e^{3x}y)' = 6e^{3x}\), \(e^{3x}y = 2e^{3x} + C\)이므로 \(y = 2 + Ce^{-3x}\).
흔한 오답: \(u\)를 오른쪽 6에 곱하지 않아 \(e^{3x}y = 6x + C\)로 적는 것.
C2 적분인자 \(u = e^{\int p\,dx}\)를 곱하면 왼쪽이 왜 \((uy)'\) 하나로 묶이는가?
답: \(u' = pu\)이기 때문이다. 곱하면 왼쪽은 \(uy' + puy = uy' + u'y\)이고, 이것은 곱의 미분 \((uy)'\) 그대로다.
C3 다음 중 선형인 것은? ① \(y' + xy^2 = 4\) ② \(y'' + 3xy' + 4y = 1\) ③ \(\theta'' + \omega^2\sin\theta = 0\)
답: ②. ①은 \(y^2\), ③은 \(\sin\theta\) 때문에 비선형이다. ②의 \(3x\)처럼 계수가 \(x\)의 함수인 것은 괜찮다.
-
01_first-order-linear-ode_plot.py로 그렸고, 같은 코드로 다음을 확인했다: \(RC = 0.5, 1, 2\)에서 \(v_c(RC) = 1 - e^{-1} \approx 0.632\)이고 오일러 방법으로 푼 값과 같음. ↩