지수함수 \(e^{\lambda x}\)는 미분해도 모양이 그대로이고 앞에 \(\lambda\)만 붙는다. 그래서 \(ay'' + by' + cy = 0\)에 \(e^{\lambda x}\)를 넣으면 미분방정식이 2차방정식 \(a\lambda^2 + b\lambda + c = 0\)으로 바뀌고, 그 두 근이 답의 모양을 정한다. 근이 실수면 늘거나 줄고, 복소수면 진동하며 늘거나 준다. 오른쪽에 입력이 있으면 그 입력과 닮은 해를 하나 더 찾아 더한다. 단, 계수 \(a, b, c\)가 상수일 때만 이 방법이 통한다.
예시로 보기
용수철에 매단 추, 진자, 저항·코일·축전기가 함께 있는 회로는 모두 2계 식이다. 예를 들어 \(y'' - y' - 6y = 0\)을 보자.
- \(y = e^{\lambda x}\)를 넣는다. \(y' = \lambda e^{\lambda x}\), \(y'' = \lambda^2 e^{\lambda x}\)이므로 \(e^{\lambda x}(\lambda^2 - \lambda - 6) = 0\)이다.
- \(e^{\lambda x}\)는 0이 아니므로 \(\lambda^2 - \lambda - 6 = (\lambda - 3)(\lambda + 2) = 0\), 즉 \(\lambda = 3, -2\)다.
- 두 해를 섞은 \(y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{3x}\)가 모든 해다.
미분 문제가 인수분해 문제로 바뀐 것이 핵심이다. 지수함수를 넣는 이유는, 미분해도 상수배만 다른 함수여야 식의 각 항이 같은 모양으로 묶여 상쇄될 수 있기 때문이다.
정의
제차식. 오른쪽이 0인 \(ay'' + by' + cy = 0\) (\(a \neq 0\), \(a, b, c\)는 실수 상수)에 \(y = e^{\lambda x}\)를 넣어 얻는 \(a\lambda^2 + b\lambda + c = 0\)을 특성방정식이라 한다. 근 \(\lambda_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)의 종류에 따라 일반해(모든 해를 담은 식)가 셋으로 갈린다.
| 근 | 일반해 |
|---|---|
| 서로 다른 두 실근 \(\lambda_1 \neq \lambda_2\) (\(b^2 > 4ac\)) | \(y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}\) |
| 중근 \(\lambda\) (\(b^2 = 4ac\)) | \(y = C_1 e^{\lambda x} + C_2 x e^{\lambda x}\) |
| 켤레 복소근 \(\lambda = \alpha \pm j\beta\) (\(b^2 < 4ac\)) | \(y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2 \sin\beta x)\) |
복소근일 때는 오일러 공식 \(e^{j\beta x} = \cos\beta x + j\sin\beta x\)로 \(C_1 e^{(\alpha + j\beta)x} + C_2 e^{(\alpha - j\beta)x}\)를 풀어 쓴 뒤, 계수를 새 상수로 묶는다. \(e^{\alpha x}\)는 크기가 늘거나 줄게 하고, \(\cos\)와 \(\sin\)은 진동하게 한다. 신호 분야에서는 허수 단위를 \(i\) 대신 \(j\)로 쓴다. 전류를 \(i\)로 쓰기 때문이다1.
위 두 칸은 실근(예 1)과 중근(\(y'' - 2y' + y = 0\), \(y(0) = 0\), \(y'(0) = 1\)이면 \(y = xe^x\))의 해이고, 아래 두 칸은 복소근의 해다. 복소근이면 진동하고, 점선이 정하는 진폭은 실수부 \(\alpha\)가 양수면 커지고(예 2) 음수면 줄어든다(\(-0.5 \pm j3\))2.
비제차식. \(ay'' + by' + cy = g(x)\)의 일반해는 “제차식의 일반해 \(y_h\) + 특수해 \(y_p\) 하나”다. \(y_p\)는 미정계수법으로 찾는다. 다항식을 미분하면 다항식, 지수함수는 지수함수, \(\sin\)·\(\cos\)은 \(\sin\)·\(\cos\)이 나오므로 \(g\)와 같은 꼴에 모르는 계수를 붙여 넣고 계수를 맞춘다.
| \(g(x)\) | \(y_p\)의 꼴 |
|---|---|
| 상수 1 | \(A\) |
| \(5x + 7\) | \(Ax + B\) |
| \(3x^2 - 2\) | \(Ax^2 + Bx + C\) |
| \(\sin 4x\) 또는 \(\cos 4x\) | \(A\cos 4x + B\sin 4x\) |
| \(e^{5x}\) | \(Ae^{5x}\) |
이 표는 \(g\)가 다항식, \(\sin\)·\(\cos\), 지수함수와 그 선형결합일 때만 쓸 수 있다. 또 \(g\)의 꼴이 이미 \(y_h\)에 들어 있으면(예: \(g = e^{x}\)인데 특성근에 1이 있으면) 그 꼴을 넣어도 0이 되므로 \(x\)를 한 번 더 곱한 꼴을 넣어야 한다3.
flowchart TD
A["ay″ + by′ + cy = g(x)"] --> B["특성방정식 aλ² + bλ + c = 0"]
B --> C{"판별식 b² − 4ac의 부호"}
C -->|"양수"| D["서로 다른 두 실근"]
C -->|"0"| E["중근"]
C -->|"음수"| F["켤레 복소근"]
D --> H["제차해 y_h"]
E --> H
F --> H
H --> I{"g(x) = 0인가?"}
I -->|"예"| J["답: y = y_h"]
I -->|"아니오"| K["미정계수법으로 y_p를 찾는다. g의 꼴이 y_h에 있으면 x를 곱한다"]
K --> L["답: y = y_h + y_p"]
근의 종류는 판별식의 부호 하나로 갈리고, 어느 경우든 제차해를 먼저 구한다. 오른쪽 \(g(x)\)가 0이 아닐 때만 특수해를 더 찾는다.
스스로 설명해 보기
1. 특성방정식의 근이 \(\alpha \pm j\beta\)이면 \(y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2\sin\beta x)\)로 쓸 수 있다.
\(e^{(\alpha \pm j\beta)x} = e^{\alpha x}e^{\pm j\beta x}\)이고 오일러 공식으로 \(e^{\pm j\beta x} = \cos\beta x \pm j\sin\beta x\)다. \(C_1e^{j\beta x} + C_2 e^{-j\beta x} = (C_1 + C_2)\cos\beta x + j(C_1 - C_2)\sin\beta x\)이므로 앞의 두 괄호를 새 상수로 바꾼다.
2. 비제차식의 일반해는 \(y_h + y_p\)다.
식이 선형이라 \(y\)에 대해 덧셈이 그대로 통한다. \(y_p\)를 넣으면 \(g\), \(y_h\)를 넣으면 0이 나오므로 둘의 합을 넣으면 \(g + 0 = g\)다. 반대로 해 두 개의 차이는 제차식을 만족하므로 모든 해가 이 꼴이다.
이 방법의 핵심 아이디어는?
미분해도 꼴이 변하지 않는 함수(지수함수)를 넣어, 미분 연산을 곱셈(\(\lambda\))으로 바꾼다.
같은 생각을 쓸 수 있는 다른 상황은?
상수계수 선형 점화식 \(a_n = c_1 a_{n-1} + c_2 a_{n-2}\)에 \(r^n\)을 넣는 것. 2장의 차분방정식, 3장에서 \(e^{st}\)를 LTI 시스템에 넣는 것도 같은 생각이다.
예제
문제를 알아보는 신호: 계수가 모두 상수이고, \(y\)와 도함수가 1차로만 나온다.
예 1 (초기 조건이 있는 실근) \(y'' + 11y' + 24y = 0\), \(y(0) = 0\), \(y'(0) = -7\)
- 특성근: \(\lambda^2 + 11\lambda + 24 = (\lambda + 8)(\lambda + 3) = 0\)이므로 \(\lambda = -8, -3\).
- 일반해: \(y = C_1 e^{-8x} + C_2 e^{-3x}\).
- 초기 조건: \(C_1 + C_2 = 0\), \(-8C_1 - 3C_2 = -7\)을 풀면 \(C_1 = 1.4\), \(C_2 = -1.4\).
- 답: \(y = 1.4e^{-8x} - 1.4e^{-3x}\).
예 2 (복소근) \(y'' - 4y' + 9y = 0\), \(y(0) = 0\), \(y'(0) = -8\)
- 특성근: \(\lambda = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 - 36}}{2} = 2 \pm j\sqrt5\).
- 일반해: \(y = e^{2x}(C_3\cos\sqrt5 x + C_4 \sin\sqrt5 x)\).
- 초기 조건: \(y(0) = C_3 = 0\). 그러면 \(y' = 2e^{2x}C_4\sin\sqrt5x + \sqrt5 e^{2x}C_4\cos\sqrt5 x\)이고 \(y'(0) = \sqrt5 C_4 = -8\)이므로 \(C_4 = -\dfrac{8\sqrt5}{5}\).
- 답: \(y = -\dfrac{8\sqrt5}{5}e^{2x}\sin(\sqrt5 x)\).
예 3 (미정계수법) \(x'' - x' + x = 2\sin 3t\)
- 특수해 꼴: \(\sin 3t\)를 미분하면 \(\sin\)과 \(\cos\)이 번갈아 나오므로 \(x_p = A\cos 3t + B\sin 3t\).
- 넣기: \(x_p'' - x_p' + x_p = -(8A + 3B)\cos 3t + (3A - 8B)\sin 3t\).
- 계수 맞추기: \(8A + 3B = 0\), \(3A - 8B = 2\)에서 \(A = \dfrac{6}{73}\), \(B = -\dfrac{16}{73}\).
경계 사례: 중근 \(y'' - 2y' + y = 0\)이면 \(\lambda = 1\) 하나뿐이라 \(e^x\)만으로는 상수가 하나 모자란다. 두 번째 해 \(xe^x\)를 넣어야 초기 조건 두 개를 맞출 수 있다3.
예제를 단계별로 연습하려면 미분방정식 풀이 예제 사다리를 본다.
활용
- 2장에서 시스템을 미분방정식으로 적고 출력을 구할 때 이 방법을 그대로 쓴다. 제차해는 시스템이 스스로 움직이는 부분(고유 응답), 특수해는 입력을 따라가는 부분(강제 응답)이 된다3.
- 특성근의 실수부가 음수면 제차해가 시간이 지나며 사라진다. 이것이 15번 문서의 안정성과 이어진다.
- 흔한 실수: 복소근인데 \(e^{\alpha x}\)를 빼먹고 \(\cos\)·\(\sin\)만 쓰는 것, 초기 조건을 넣기 전에 일반해를 실수 꼴로 정리하지 않아 계산이 길어지는 것.
연결
- 선수: 1계 선형 미분방정식, 복소수의 극형식과 오일러 공식
- 같은 구조: 선형 점화식 (특성방정식의 근으로 일반항을 쓰는 방법이 똑같다)
자주 하는 오해
틀렸다. 특수해는 해 가운데 하나일 뿐이다. 특수해만 맞춰도 식은 만족하니 그럴듯해 보인다. 하지만 초기 조건을 맞추려면 \(y_h + y_p\)에서 \(C_1, C_2\)를 정해야 한다. 확인: \(y'' - 4y' + 3y = x\)에서 \(y_p = \frac x3 + \frac49\)는 \(y(0) = 0\)을 만족하지 못한다. \(C_1e^x + C_2e^{3x}\)를 더해야 맞출 수 있다.
확인 문제
C1 특성근이 ① 서로 다른 실근 ② 중근 ③ \(\alpha \pm j\beta\)일 때 일반해를 쓰라.
답: ① \(C_1e^{\lambda_1x} + C_2 e^{\lambda_2 x}\) ② \((C_1 + C_2 x)e^{\lambda x}\) ③ \(e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)\).
흔한 오답: 중근에서 \(x\)를 곱한 해를 빠뜨리는 것.
C2 \(y'' + 2y' + 3y = 0\)의 일반해를 구하라.
답: \(\lambda = -1 \pm j\sqrt2\)이므로 \(y = e^{-x}(C_1\cos\sqrt2x + C_2\sin\sqrt2x)\).
C3 왜 하필 \(e^{\lambda x}\)를 넣어 보는가?
답: 지수함수는 미분해도 \(\lambda\)배만 될 뿐 꼴이 같다. 그래서 \(y, y', y''\)가 모두 \(e^{\lambda x}\)의 상수배가 되어 하나로 묶이고, 미분방정식이 \(\lambda\)에 대한 대수방정식으로 바뀐다.
C4 미정계수법에서 \(g(x) = \sin 3t\)인데 \(x_p = B\sin 3t\)만 넣으면 왜 안 되는가?
답: 식에 \(x'\) 항이 있어서 \(\sin 3t\)를 한 번 미분한 \(\cos 3t\)가 생긴다. \(B\sin 3t\)만으로는 이 \(\cos\) 항을 없앨 계수가 없다. 그래서 \(A\cos 3t + B\sin 3t\)를 넣는다.
-
전류를 \(i\)로 쓰기 때문에 허수 단위를 \(j\)로 쓰는 것은 전기공학의 관례다. ↩
-
02_second-order-linear-ode_plot.py로 그렸고, 같은 코드로 다음을 확인했다: 예 1의 \(1.4e^{-8x} - 1.4e^{-3x}\), 예 2의 \(-\frac{8\sqrt5}{5}e^{2x}\sin\sqrt5x\), 중근의 \(xe^x\), 감쇠 예 \(e^{-0.5x}\cos 3x\)(\(y'' + y' + 9.25y = 0\), \(y(0) = 1\), \(y'(0) = -0.5\))가 각자의 식과 초기 조건을 만족함. ↩
-
표준 미분방정식 교재(Zill, Differential Equations 4장)의 내용이며 해는 식에 넣어 확인했다. ↩ ↩2 ↩3