사용 개념: 상수계수 2계 선형 미분방정식

이 방법을 떠올리는 신호는 “계수가 모두 상수이고 \(y\)와 도함수가 1차로만 나오는 식”이다. 풀이는 늘 같은 하위목표로 나뉜다. ① 특성방정식 풀기 ② 제차해 쓰기 ③ (오른쪽이 있으면) 특수해 찾기 ④ 초기 조건으로 상수 정하기1.

문제 1 · 완전한 풀이

\(y'' - 4y' + 3y = x\), \(y(0) = 0\), \(y'(0) = 0\)

  1. 특성방정식: \(\lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0\)이므로 \(\lambda = 1, 3\).
  2. 제차해: \(y_h = C_1e^x + C_2e^{3x}\).
  3. 특수해: 오른쪽이 1차식이므로 \(y_p = Ax + B\). 넣으면 \(-4A + 3(Ax + B) = x\), 즉 \(3A = 1\), \(-4A + 3B = 0\)에서 \(A = \frac13\), \(B = \frac49\).
  4. 초기 조건: \(y = C_1e^x + C_2e^{3x} + \frac x3 + \frac49\). \(y(0) = C_1 + C_2 + \frac49 = 0\), \(y'(0) = C_1 + 3C_2 + \frac13 = 0\)을 풀면 \(C_2 = \frac{1}{18}\), \(C_1 = -\frac12\).

문제 2 · 마지막 하위목표만 빈칸

\(y'' + 11y' + 24y = 0\), \(y(0) = 0\), \(y'(0) = -7\)

  1. 특성방정식: \((\lambda + 8)(\lambda + 3) = 0\)이므로 \(\lambda = -8, -3\).
  2. 제차해: \(y = C_1e^{-8x} + C_2e^{-3x}\).
  3. 특수해: 오른쪽이 0이라 필요 없다.
  4. 초기 조건: __
답

\(C_1 + C_2 = 0\), \(-8C_1 - 3C_2 = -7\)에서 \(C_1 = 1.4\), \(C_2 = -1.4\). \(y = 1.4e^{-8x} - 1.4e^{-3x}\).

문제 3 · 하위목표 절반이 빈칸

\(y'' - 4y' + 9y = 0\), \(y(0) = 0\), \(y'(0) = -8\)

  1. 특성방정식: __
  2. 제차해 (실수 꼴): __
  3. 특수해: 필요 없다.
  4. 초기 조건: \(y(0) = 0\)에서 코사인 계수가 0, \(y'(0) = -8\)에서 사인 계수가 정해진다.
답
  1. \(\lambda = 2 \pm j\sqrt5\).
  2. \(y = e^{2x}(C_3\cos\sqrt5x + C_4\sin\sqrt5x)\).
  3. \(C_3 = 0\), \(\sqrt5C_4 = -8\)이므로 \(y = -\frac{8\sqrt5}{5}e^{2x}\sin\sqrt5x\).

문제 4 · 독립 문제

\(x'' - x' + x = 2\sin 3t\)의 특수해를 구하라.

답

\(x_p = A\cos3t + B\sin3t\)를 넣으면 \(-(8A + 3B)\cos3t + (3A - 8B)\sin3t = 2\sin3t\). \(8A + 3B = 0\), \(3A - 8B = 2\)에서 \(A = \frac{6}{73}\), \(B = -\frac{16}{73}\).

검증: 네 문제의 해를 식에 넣어 양변이 같음 — 02_second-order-linear-ode_verify.py, 문제 1의 상수는 02_ode-ladder_p1.py

  1. 검증 코드로 확인했다. ↩