요약
행렬을 곱해도 방향이 그대로인 벡터가 고유벡터이고, LTI 시스템을 지나도 모양이 그대로인 신호가 고유함수다. 둘 다 “입력을 이런 특별한 것들의 합으로 나누면, 복잡한 연산이 성분별 곱셈이 된다”는 같은 생각이다. 그래서 푸리에 이론을 선형대수의 고윳값 분해 \(A = C\Lambda C^{-1}\)에 빗대어 이해할 수 있다. 차이는 크기다. 행렬은 고유벡터가 유한 개이고, 연속 시간 신호에는 고유함수 \(e^{j\omega t}\)가 무한히 많다.
먼저 비교해 보기
표를 펼치기 전에 두 사례의 공통 구조와 대응 관계를 먼저 적어 본다.
| 선형대수학: \(A = \begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\)에 벡터 \(\mathbf{x}\) 곱하기 | 신호 및 시스템: 지연 시스템 \(y(t) = x(t-3)\)에 \(x(t) = \cos4t + \cos7t\) 넣기 |
|---|---|
| 고유벡터 \((1,-1)\), \((1,1)\), 고윳값 1, 3 | 고유함수 \(e^{\pm j4t}\), \(e^{\pm j7t}\), 고유값 \(e^{\mp j12}\), \(e^{\mp j21}\) |
대응 관계
| 행렬 | LTI 시스템 | 공통 구조 |
|---|---|---|
| 행렬 \(A\) | 시스템 (임펄스 응답 \(h\)) | 선형 연산 |
| 고유벡터 \(\mathbf{v}_k\) | 고유함수 \(e^{j\omega t}\) | 연산을 지나도 모양(방향)이 그대로 |
| 고윳값 \(\lambda_k\) | \(H(j\omega)\) | 그 성분에 곱해지는 수 |
| \(\mathbf{x} = \sum c_k\mathbf{v}_k\) (고유벡터로 분해) | \(x(t) = \sum a_ke^{jk\omega_0t}\) (푸리에 급수) | 입력을 특별한 것들의 합으로 |
| \(A\mathbf{x} = \sum c_k\lambda_k\mathbf{v}_k\) | \(y(t) = \sum a_kH(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}\) | 출력 = 성분별 곱셈의 합 |
| \(A = C\Lambda C^{-1}\) (대각화) | 시간 영역 컨벌루션 = 주파수 영역 곱셈 | 좌표를 바꾸면 연산이 대각(곱셈)이 된다 |
| 고유벡터가 서로 수직(대칭 행렬)이면 내적으로 \(c_k\)를 구함 | \(e^{jk\omega_0t}\)가 서로 직교해 내적(적분)으로 \(a_k\)를 구함 | 직교 기저로 계수 구하기 |
어디까지 같은가
- 같은 것: 선형성, 고유한 성분으로 나누는 것, 성분별 곱셈, 직교하면 내적으로 계수를 구한다는 것.
- 다른 것: 행렬은 아무 행렬이나 고유벡터가 다르다. LTI 시스템은 어떤 시스템이든 고유함수가 똑같이 \(e^{st}\)다. 시불변성 덕분이다. 그래서 신호를 미리 한 번 푸리에 성분으로 나눠 두면 모든 LTI 시스템에 쓸 수 있다.
- 행렬은 \(n \times n\)이면 고유벡터가 많아야 \(n\)개다. 주기 신호는 무한히 많은 고조파가 필요하고, 그 무한합이 언제 원래 신호로 수렴하는지가 따로 문제가 된다 → 푸리에 급수의 수렴
- 순환 행렬(한 칸씩 돌린 행으로 만든 행렬)은 정확히 이산 시간 주기 컨벌루션이고, 그 고유벡터가 DFT 기저 \(e^{j2\pi kn/N}\)이다. 두 세계가 완전히 겹치는 지점이다1.
이 연결로 얻는 것
- 선형대수의 “대각화하면 거듭제곱이 쉽다”를 시스템에 쓰면, LTI 시스템을 \(m\)번 직렬로 이은 것의 주파수 응답은 \(H(j\omega)^m\)이다.
- 반대로 푸리에 해석의 직관(주파수별로 키우고 줄인다)이 고유벡터 방향별로 늘이고 줄이는 행렬의 기하학적 그림을 이해시켜 준다.
전이 문제
그래프의 라플라시안 행렬 \(L\)로 그래프 위의 신호(노드마다의 값)를 다듬는 그래프 신호 처리가 있다. \(L\)의 고유벡터를 “그래프 주파수”라 부르는 이유를 이 문서의 대응표로 설명하라.
\(L\)은 대칭 행렬이라 서로 수직인 고유벡터로 신호를 나눌 수 있다. 이웃 노드끼리 값이 비슷한 고유벡터는 고윳값이 작고(천천히 변함, 저주파), 이웃끼리 값이 크게 다른 고유벡터는 고윳값이 크다(빠르게 변함, 고주파). 그래서 고유벡터로 나눈 뒤 고윳값이 큰 성분을 줄이면 저역 통과 필터가 된다. 행렬 쪽의 고유벡터가 신호 쪽의 \(e^{j\omega t}\) 자리, 고윳값이 주파수 자리를 차지한다.
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Strang, Introduction to Linear Algebra 5판 9.3절과 그래프 신호 처리의 표준 정의를 바탕으로 썼고, 행렬 예의 고윳값은 28_lti-eigenfunction_verify.py로 확인했다. ↩