곱셈 성질과 진폭 변조

요약

컨벌루션 성질의 쌍대로, 시간 영역에서 두 신호를 곱하면 주파수 영역에서는 두 스펙트럼을 컨벌루션한 것(\(\frac{1}{2\pi}\)배)이 된다. 특히 신호에 정현파 \(\cos\omega_0t\)를 곱하면 스펙트럼이 통째로 \(\pm\omega_0\)로 옮겨진다. 라디오는 이렇게 목소리를 높은 주파수(반송파)에 실어 보내고(진폭 변조), 받는 쪽에서 다시 곱하고 저역 통과 필터로 걸러 되살린다(복조). 옮긴 두 스펙트럼이 겹치지 않으려면 반송 주파수가 신호의 최고 주파수보다 커야 한다.

예시로 보기

메시지 \(s(t)\)(예: 음성)의 스펙트럼 \(S(j\omega)\)는 \(\vert \omega\vert < \omega_1\)에만 있다. 반송파 \(p(t) = \cos\omega_0t\)를 곱한다(예제 4.21).

반송파의 변환: \(P(j\omega) = \pi\delta(\omega - \omega_0) + \pi\delta(\omega + \omega_0)\)(예제 4.7).
곱셈 성질과 \(X * \delta(\omega - \omega_0) = X(\omega - \omega_0)\)로 \(R(j\omega) = \frac12S(j(\omega - \omega_0)) + \frac12S(j(\omega + \omega_0))\).
\(\omega_0 > \omega_1\)이면 옮겨진 두 덩어리가 겹치지 않는다(그림 4.23). 메시지의 정보가 그대로 높은 주파수로 옮겨졌다.

같은 메시지를 시간에서 본 모습이다. \(r(t)\)는 \(\cos\omega_0 t\)로 빠르게 진동하고, 그 진폭이 메시지 \(s(t)\)(파란 선)를 따라 오르내린다¹.

정의

곱셈 성질

\[r(t) = s(t)p(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} R(j\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}S(j\theta)P(j(\omega - \theta))d\theta = \frac{1}{2\pi}S(j\omega) * P(j\omega)\]

시간 영역 컨벌루션이 주파수 영역 곱이었으므로, 쌍대성으로 시간 영역 곱은 주파수 영역 컨벌루션이다. 한 신호에 다른 신호를 곱해 크기를 조절하는 것을 변조라 하고, 정현파를 곱하는 것을 진폭 변조라 한다. 진폭 변조를 쓰면 반송 주파수를 달리해 한 공간에서 여러 채널을 보낼 수 있고, 높은 주파수가 전송에 유리하다².

예제

예제 4.22 복조. 받은 \(r(t)\)에 다시 \(\cos\omega_0t\)를 곱한다: \(g(t) = r(t)\cos\omega_0t\).

\(G(j\omega) = \frac12[R(j(\omega - \omega_0)) + R(j(\omega + \omega_0))] = \frac14S(j(\omega - 2\omega_0)) + \frac12S(j\omega) + \frac14S(j(\omega + 2\omega_0))\)(그림 4.24).
가운데 \(\frac12S(j\omega)\)가 원래 메시지이고, \(\pm2\omega_0\) 근처에 고주파 성분이 붙었다.
\(\vert \omega\vert < \omega_1\)을 통과시키는 저역 통과 필터로 거르면 \(\frac12s(t)\), 곧 크기만 바뀐 메시지가 복원된다.

flowchart LR
  S["메시지 s(t)"] --> M1(("×"))
  C1["cos ω₀t"] --> M1
  M1 --> R["r(t), 전송"]
  R --> M2(("×"))
  C2["cos ω₀t"] --> M2
  M2 --> G["g(t)"]
  G --> L["저역 통과 필터, |ω| < ω₁"]
  L --> O["½ s(t)"]

보내는 쪽과 받는 쪽이 같은 반송파를 한 번씩 곱한다. 두 번 곱해서 생긴 \(\pm2\omega_0\) 근처 성분은 마지막 필터가 걸러 낸다.

삼각형 메시지 스펙트럼(\(\omega_1 = 1\))과 \(\omega_0 = 5\)로 그린 예다. 반송파를 곱하면 높이 \(\frac12\)인 두 덩어리가 \(\pm\omega_0\)로 옮겨지고, 한 번 더 곱하면 가운데 \(\frac12S\)와 \(\pm2\omega_0\)의 \(\frac14\) 덩어리가 생긴다. 점선 필터가 가운데만 남긴다¹.

예제 4.23 sinc 두 개의 곱. \(x(t) = \frac{\sin t\sin(t/2)}{\pi t^2} = \pi\left(\frac{\sin t}{\pi t}\right)\left(\frac{\sin(t/2)}{\pi t}\right)\).

각 sinc의 변환은 폭 1, 폭 \(\frac12\)인 사각형(높이 1).
곱셈 성질: \(X = \frac{1}{2\pi}\cdot\pi\cdot(\text{두 사각형의 컨벌루션}) = \frac12(\text{사각형} * \text{사각형})\).
결과는 사다리꼴: \(\vert \omega\vert \le \frac12\)에서 \(\frac12\), \(\frac12 \le \vert \omega\vert \le \frac32\)에서 0까지 곧게 줄어듦(그림 4.25).

가변 중심 주파수 대역 통과 필터. 저항·축전기로 만든 대역 통과 필터는 중심 주파수를 정확히 바꾸기 어렵다. 대신 필터는 고정하고 신호의 스펙트럼을 옮긴다(그림 4.26).

입력에 \(e^{j\omega_ct}\)를 곱한다: \(Y(j\omega) = X(j(\omega - \omega_c))\), 스펙트럼이 \(\omega_c\)만큼 오른쪽으로.
고정된 이상적 저역 통과 필터(\(\vert \omega\vert < \omega_0\))를 지난다: 원래 \(-\omega_c\) 근처 성분만 남는다.
\(e^{-j\omega_ct}\)를 곱한다: \(F(j\omega) = W(j(\omega + \omega_c))\), 왼쪽으로 되돌린다.
전체는 중심 \(-\omega_c\), 대역폭 \(2\omega_0\)인 이상적 대역 통과 필터와 같다(그림 4.28). 실수 부분을 취하면 \(\pm\omega_c\) 대칭 필터가 된다(그림 4.29~4.30). 발진기 주파수 \(\omega_c\)를 다이얼로 바꾸면 중심 주파수가 바뀐다.

flowchart LR
  X["x(t)"] --> A(("×"))
  E1["e^jω_c t"] --> A
  A --> L["고정된 저역 통과 필터, |ω| < ω₀"]
  L --> B(("×"))
  E2["e^−jω_c t"] --> B
  B --> F["f(t)"]

필터는 고정되어 있고, 앞뒤의 두 곱셈이 스펙트럼을 옮겼다가 되돌린다. 발진기 주파수 \(\omega_c\)만 바꾸면 통과 대역이 옮겨 간다.

검증: 가우스 꼴 메시지로 예제 4.21의 \(R\), 예제 4.22의 \(G\)와 복원값, 예제 4.23의 사다리꼴, \(e^{j\omega_ct}\) 곱셈의 스펙트럼 이동을 수치 적분으로 확인 — 43_multiplication-modulation_verify.py

활용

AM 라디오, 무선 통신의 주파수 분할 다중화가 이 원리다 → 신호와 변조
4장의 요약대로, 곱셈 성질(임펄스 열과의 곱)은 표본화 시스템의 주파수 해석의 기반이다. 신호에 임펄스 열을 곱하면 스펙트럼이 \(\frac{2\pi}{T}\) 간격으로 복사된다 → 표본화와 양자화

연결

선수: 푸리에 변환의 쌍대성, 주기 신호의 푸리에 변환 (\(\cos\omega_0t\)의 변환)

확인 문제

C1 \(s(t)\)의 스펙트럼이 \(\vert \omega\vert < 100\)에만 있다. \(s(t)\cos(1000t)\)의 스펙트럼은 어디에 있는가?

답: \(900 < \vert \omega\vert < 1100\), 곧 \(\pm1000\)을 중심으로 폭 200인 두 덩어리(각 높이 \(\frac12\)배).

C2 진폭 변조에서 반송 주파수 \(\omega_0\)가 메시지의 최고 주파수 \(\omega_1\)보다 커야 하는 이유는?

답: 스펙트럼이 \(\pm\omega_0\)로 옮겨질 때 각 덩어리의 폭이 \(\pm\omega_1\)이다. \(\omega_0 < \omega_1\)이면 두 덩어리가 \(\omega = 0\) 근처에서 겹쳐 섞이고, 복조로 원래 메시지를 되살릴 수 없다.

C3 시간 영역에서 ① 곱하기 ② 컨벌루션은 주파수 영역에서 각각 무엇이 되는가?

답: ① \(\frac{1}{2\pi}\)배 컨벌루션 ② 곱하기.

43_multiplication-modulation_plot.py로 그렸고, 같은 코드로 다음을 확인했다: 메시지 \(s(t) = \mathrm{sinc}^2(\frac{t}{2\pi})\)의 변환이 삼각형 꼴임(수치 적분), \(R\)의 두 덩어리가 겹치지 않음, \(G\)의 가운데가 \(\frac12S\). 메시지 모양과 \(\omega_0 = 5\)는 설명을 위해 고른 값이다. ↩ ↩²
계산은 검증 코드로 확인했다. ↩