사용 개념: 연속 시간 푸리에 급수, 연속 시간 푸리에 급수의 성질

주기 신호와 “푸리에 계수를 구하라”가 주어지면 쓴다. 하위목표는 다음과 같다1.

  1. 기본 주파수: 주기 \(T\)에서 \(\omega_0 = \frac{2\pi}{T}\).
  2. 빠른 길 찾기: 정현파의 합이면 오일러 관계로 바로 읽는다. 아는 신호를 옮기거나 미분한 것이면 성질 표를 쓴다.
  3. 적분: 둘 다 아니면 분석식 \(a_k = \frac1T\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt\)를 계산한다. \(k = 0\)은 따로 한다.
  4. 확인: 실수 신호면 \(a_{-k} = a_k^*\)인지, 짝·홀 대칭과 계수의 실수·허수가 맞는지 본다.

문제 1 · 완전한 풀이

\(x(t) = 2 + \cos(3t) - 4\sin(6t)\)의 계수를 구하라.

  1. 기본 주파수: \(\cos 3t\)와 \(\sin 6t\)의 공통 주기는 \(\frac{2\pi}{3}\)이므로 \(\omega_0 = 3\).
  2. 빠른 길: 오일러 관계로 \(\cos3t = \frac12(e^{j3t} + e^{-j3t})\), \(\sin6t = \frac{1}{2j}(e^{j6t} - e^{-j6t})\).
  3. 읽기: \(a_0 = 2\), \(a_{\pm1} = \frac12\), \(a_2 = -\frac{4}{2j} = 2j\), \(a_{-2} = -2j\), 나머지 0.
  4. 확인: 실수 신호라 \(a_{-2} = a_2^* = -2j\). 맞다.

문제 2 · 마지막 하위목표만 빈칸

주기 2, 한 주기에서 \(0 < t < 1\)이면 1, \(1 < t < 2\)이면 \(-1\)인 사각파.

  1. 기본 주파수: \(\omega_0 = \pi\).
  2. 빠른 길: 없음. 적분한다.
  3. 적분: \(a_0 = 0\) (넓이가 상쇄). \(k \ne 0\)이면 \(a_k = \frac12\left[\int_0^1e^{-jk\pi t}dt - \int_1^2e^{-jk\pi t}dt\right] = \frac{1 - (-1)^k}{jk\pi}\). 짝수 \(k\)는 0, 홀수 \(k\)는 \(\frac{2}{jk\pi}\).
  4. 확인: __
답

실수 신호라 \(a_{-k} = a_k^*\): \(\frac{2}{j(-k)\pi} = -\frac{2}{jk\pi} = \left(\frac{2}{jk\pi}\right)^*\). 맞다. 또 \(x(-t) = -x(t)\)(홀 신호)이므로 계수가 순허수이고 홀이어야 하는데, \(a_k = -\frac{2j}{k\pi}\)로 순허수·홀이다.

문제 3 · 하위목표 절반이 빈칸

예제 3.5의 대칭 사각파(\(T = 4\), \(\vert t\vert < 1\)에서 1)의 계수가 \(a_k = \frac{\sin(\pi k/2)}{k\pi}\), \(a_0 = \frac12\)이다. \(y(t) = x(t - 1)\)의 계수를 구하라.

  1. 기본 주파수: \(\omega_0 = \frac\pi2\).
  2. 빠른 길: __
  3. 적분: 필요 없다.
  4. 확인: __
답
  1. 시간 이동 성질: \(b_k = a_ke^{-jk(\pi/2)\cdot1} = \frac{\sin(\pi k/2)}{k\pi}e^{-jk\pi/2}\), \(b_0 = \frac12\).
  2. \(\vert b_k\vert = \vert a_k\vert\) (이동은 크기를 바꾸지 않음). 실수 신호라 \(b_{-k} = b_k^*\)인지 보면 \(a_{-k} = a_k\), \(e^{jk\pi/2} = (e^{-jk\pi/2})^*\)이므로 맞다.

문제 4 · 독립 문제

주기 4, 한 주기에서 \(x(t) = \vert t\vert\) (\(-2 \le t \le 2\))인 삼각파의 계수를 구하라. (힌트 없이)

답

예제 3.7의 삼각파는 \(\vert t\vert /2\)(\(x(\pm2) = 1\))이므로 이 신호는 그 두 배다. 선형성으로 계수도 두 배다. 그래서 \(a_0 = 1\), \(k \ne 0\)이면 \(a_k = 2 \cdot \frac{2\sin(\pi k/2)}{j(k\pi)^2}e^{-jk\pi/2}\). 정리하면 홀수 \(k\)에서 \(-\frac{4}{(k\pi)^2}\), 짝수 \(k \ne 0\)에서 0이다. 실수·짝 신호라 계수가 실수·짝인 것과 맞다.

검증: 네 문제의 계수를 분석식 수치 적분과 비교 — 30_fourier-coefficient-ladder_p4.py

  1. 검증 코드로 확인했다. ↩