지금의 출력이 지금의 입력만 보고 정해지면 기억 없는 시스템이다. 저항에 걸린 전압처럼, 과거에 무슨 일이 있었는지는 상관없다. 출력을 정하는 데 과거(또는 미래)의 입력이 필요하면 기억이 있는 시스템이다. 축전기는 그동안 들어온 전류를 쌓아 두므로 기억이 있다. 가역성은 출력만 보고 입력을 정확히 되찾을 수 있느냐다. 서로 다른 두 입력이 같은 출력을 내는 순간 되찾을 수 없다.
예시로 보기
| 시스템 | 기억 | 가역 | 이유 |
|---|---|---|---|
| \(y(t) = 2x(t)\) | 없음 | 예 | 역시스템 \(w = \frac12 y\) (그림 1.45(b)) |
| \(y[n] = \sum_{k=-\infty}^{n}x[k]\) (누산기) | 있음 | 예 | 역시스템 \(w[n] = y[n] - y[n-1]\) (그림 1.45(c)) |
| \(y[n] = x[n-1]\) (지연기) | 있음 | 예 | 한 칸 앞당기면 된다 |
| \(y[n] = 0\) | 없음 | 아니오 | 어떤 입력에도 출력이 0 |
| \(y(t) = x^2(t)\) | 없음 | 아니오 | 출력으로는 입력의 부호를 알 수 없다 |
누산기의 역시스템을 확인해 보자. \(y[n] - y[n-1]\)은 \(n\)까지의 합에서 \(n-1\)까지의 합을 뺀 것이라 마지막 항 \(x[n]\)만 남는다.
정의
기억 없는 시스템. 독립 변수의 각 값에서 출력이 같은 시각의 입력에만 의존한다. 예: \(y[n] = (2x[n] - x^2[n])^2\), 저항 \(y(t) = Rx(t)\) (입력 전류, 출력 전압), 항등 시스템 \(y(t) = x(t)\).
기억 있는 시스템. 지금 이외의 시각의 입력을 저장해 두고 쓴다. 예:
- 누산기 \(y[n] = \sum_{k=-\infty}^{n}x[k] = y[n-1] + x[n]\)
- 지연기 \(y[n] = x[n-1]\)
- 축전기 \(y(t) = \dfrac1C\displaystyle\int_{-\infty}^{t}x(\tau)\,d\tau\) (입력 전류, 출력 전압). 축전기는 전하를 쌓아 에너지를 저장한다.
가역성. 서로 다른 입력이 늘 서로 다른 출력을 내면 가역 시스템이다. 그러면 출력 \(y\)를 넣었을 때 원래 입력을 돌려주는 역시스템이 있다.
\[x \to y \text{ 가 가역} \iff y \to w \text{이고 } w = x \text{인 역시스템이 있다}\]flowchart LR
X["x(t)"] --> S["시스템: y = 2x"] --> Y["y(t)"] --> I["역시스템: w = y/2"] --> W["w(t) = x(t)"]
가역 시스템 뒤에 역시스템을 이으면, 둘을 합친 전체는 입력을 그대로 돌려준다. 예시 표 첫 줄의 2배 시스템으로 그렸다(그림 1.45(b)).
활용
- 가역성은 암호화와 복호화, 손실 없는 압축(zip, PNG)의 조건이다. MP3, JPEG 같은 손실 압축은 일부러 비가역 시스템을 쓴다.
- 기억 없는 시스템은 언제나 인과적이다 → 인과성
연결
- 선수: 시스템과 시스템 연결
- 같은 구조: 역함수 (일대일일 때만 역함수가 있다)
확인 문제
C1 다음 시스템은 기억이 있는가? ① \(y[n] = x[n]^3\) ② \(y(t) = x(t - 1)\) ③ \(y[n] = x[n] + x[n+1]\)
답: ① 없음 ② 있음 (1초 전 입력) ③ 있음 (다음 시각 입력; 미래도 “지금 이외”다).
C2 \(y(t) = x^2(t)\)가 가역이 아님을 보이는 두 입력을 들라.
답: \(x_1(t) = 1\)과 \(x_2(t) = -1\). 둘 다 출력이 1이라 출력만으로 어느 쪽이었는지 알 수 없다.
C3 \(y[n] = x[n] - x[n-1]\)의 역시스템을 쓰라.
답: 누산기 \(w[n] = \sum_{k=-\infty}^{n}y[k]\). 합이 차례로 상쇄되어 \(x[n]\)이 남는다(\(x[-\infty] = 0\)이라고 둘 때).