사용 개념: 컨벌루션 합, 컨벌루션 적분

신호 두 개와 “\(y = x * h\)를 구하라”가 주어지면 이 방법을 쓴다. 하위목표는 늘 같다1.

  1. 뒤집고 밀기: 둘 중 단순한 쪽을 뒤집어 \(h(t - \tau)\)를 그린다.
  2. 구간 나누기: 겹침의 끝점이 바뀌는 \(t\)들을 찾아 구간을 나눈다.
  3. 구간별 적분(합): 각 구간에서 겹치는 범위로 적분한다.
  4. 확인: 경계에서 값이 이어지는지, 결과의 길이(폭)가 두 신호 폭의 합인지 본다.

문제 1 · 완전한 풀이

\(x(t) = u(t) - u(t-1)\), \(h(t) = e^{-t}u(t)\). \(y = x * h\)를 구하라.

  1. 뒤집고 밀기: \(x\)가 단순하므로 교환법칙으로 \(y(t) = \int h(\tau)x(t - \tau)d\tau\). \(x(t - \tau)\)는 \(\tau \in [t - 1, t]\)에서 1이다.
  2. 구간 나누기: \(h(\tau)\)는 \(\tau > 0\)에서만 0이 아니다. 끝점 \(t\)와 \(t - 1\)이 0을 지나는 시각은 \(t = 0\), \(t = 1\).
  3. 구간별 적분:
    • \(t < 0\): 겹침 없음, 0.
    • \(0 \le t < 1\): \(\int_0^t e^{-\tau}d\tau = 1 - e^{-t}\).
    • \(t \ge 1\): \(\int_{t-1}^{t}e^{-\tau}d\tau = e^{-(t-1)} - e^{-t} = (e - 1)e^{-t}\).
  4. 확인: \(t = 1\)에서 \(1 - e^{-1}\)과 \((e - 1)e^{-1} = 1 - e^{-1}\)이 같다.

문제 2 · 마지막 하위목표만 빈칸

\(x[n] = u[n] - u[n-3]\) (0, 1, 2에서 1), \(h[n] = (0.5)^n u[n]\).

  1. 뒤집고 밀기: \(y[n] = \sum_k x[k]h[n-k]\), \(h[n-k]\)는 \(k \le n\)에서 0이 아니다.
  2. 구간 나누기: \(n < 0\), \(0 \le n \le 2\), \(n \ge 3\).
  3. 구간별 합: \(0 \le n \le 2\): \(\sum_{k=0}^{n}0.5^{n-k} = 2 - 0.5^n\). \(n \ge 3\): \(\sum_{k=0}^{2}0.5^{n-k} = 0.5^n(1 + 2 + 4) = 7 \cdot 0.5^n\).
  4. 확인: __
답

\(n = 2\): \(2 - 0.25 = 1.75\). \(n = 3\): \(7 \times 0.125 = 0.875\)이고 재귀로 보면 \(y[3] = 0.5 \cdot y[2] + x[3] = 0.875\). 이산 신호라 경계에서 같은 값일 필요는 없지만, \(y[n] = 0.5y[n-1] + x[n]\)로 확인하면 맞다.

문제 3 · 하위목표 절반이 빈칸

\(x(t) = u(t) - u(t-2)\), \(h(t) = u(t) - u(t-3)\).

  1. 뒤집고 밀기: \(x(\tau)\)와 \(h(t - \tau)\) (\(\tau \in [t-3, t]\)에서 1).
  2. 구간 나누기: __
  3. 구간별 적분: __
  4. 확인: 폭 2와 3의 사각 펄스라 결과의 폭은 5, 꼭대기 높이는 짧은 쪽 폭인 2.
답
  1. 끝점이 0과 2를 지나는 시각: \(t = 0, 2, 3, 5\).
  2. \(t < 0\): 0. \(0 \le t < 2\): \(t\). \(2 \le t < 3\): 2. \(3 \le t < 5\): \(5 - t\). \(t \ge 5\): 0. (사다리꼴, \(a = 2\), \(b = 3\))

문제 4 · 독립 문제

\(x[n] = 2^n u[-n]\), \(h[n] = u[n - 2]\). \(y[n]\)을 구하라.

답

\(h[n-k] = u[n-2-k]\)는 \(k \le n - 2\)에서 1. \(x[k]\)는 \(k \le 0\)에서 0이 아니다.

  • \(n - 2 \ge 0\) (\(n \ge 2\)): \(\sum_{k=-\infty}^{0}2^k = 2\).
  • \(n < 2\): \(\sum_{k=-\infty}^{n-2}2^k = 2^{n-2} \cdot 2 = 2^{n-1}\).
    예제 2.5의 결과를 2칸 늦춘 것과 같다(시불변).
검증: 네 문제의 결과를 정의대로의 합·수치 적분과 비교 — 19_convolution-ladder_p4.py

  1. 검증 코드로 확인했다. ↩