\(e^{j\omega_0 t}\)는 복소평면에서 반지름 1인 원 위를 일정한 속도로 도는 점이다. 그 그림자를 실수축에 비추면 \(\cos\omega_0 t\), 허수축에 비추면 \(\sin\omega_0 t\)가 된다. 그래서 모든 정현파는 회전하는 화살표로 바꿔 쓸 수 있고, 삼각함수의 복잡한 덧셈정리 대신 지수의 곱셈만으로 계산할 수 있다. 여기에 \(e^{rt}\)를 곱하면 원이 나선이 되어, 진동하면서 커지거나 줄어드는 신호까지 한 식 \(Ce^{at}\)로 적는다. 실제 측정값은 실수이므로, 복소 신호는 계산 도구이고 결과는 실수부를 취해 읽는다.
예시로 보기
자전거 바퀴의 바람 넣는 꼭지를 떠올리자1. 원 위를 도는 점의 그림자를 따라가면 정현파가 그려진다. 바퀴가 초당 \(f_0\)바퀴씩 돌면, 꼭지의 높이는 시간에 따라 사인파를 그린다.
- 진폭 \(A\)는 바퀴의 반지름, 곧 꼭지가 오르내리는 폭이다.
- 주파수 \(f_0\)는 1초에 도는 바퀴 수(Hz)다. 각주파수 \(\omega_0 = 2\pi f_0\)은 1초에 도는 각도(rad/s)다. 0.25Hz면 4초에 한 바퀴, \(2\pi\) rad/s면 1초에 한 바퀴다.
- 위상 \(\phi\)는 \(t = 0\)일 때 꼭지가 어디서 출발했는지다.
마지막 꼴은 위상이 결국 시간 지연과 같다는 뜻이다. 이 바퀴 위 점을 복소평면에 놓으면 \(Ae^{j(\omega_0 t + \phi)}\)이고, 그 실수부가 \(A\cos(\omega_0 t + \phi)\)다.
정의
일반형. 복소 지수 신호는 \(x(t) = Ce^{at}\) 꼴이다. \(C\)와 \(a\)는 복소수일 수 있다.
실수 지수 신호. \(C\)와 \(a\)가 실수면 \(a > 0\)일 때 커지고(세포 분열, 연쇄 반응), \(a < 0\)일 때 줄어든다(방사성 붕괴, RC 회로의 방전).
주기적 복소 지수 신호. \(a\)가 순허수 \(j\omega_0\)이면 \(x(t) = e^{j\omega_0 t}\)다.
- 주기 \(T\)이려면 \(e^{j\omega_0(t+T)} = e^{j\omega_0 t}e^{j\omega_0 T}\)이므로 \(e^{j\omega_0 T} = 1\), 즉 \(\omega_0 T = 2\pi k\) (\(k\)는 정수)여야 한다.
- \(\omega_0 \neq 0\)이면 기본 주기는 \(T_0 = \dfrac{2\pi}{\vert \omega_0\vert }\)다. \(e^{j\omega_0 t}\)와 \(e^{-j\omega_0 t}\)는 도는 방향만 다르고 기본 주기가 같다.
- \(\omega_0 = 0\)이면 \(x(t) = 1\)이고 기본 주기는 정의되지 않는다.
- 모든 \(\omega_0\)에 대해 주기적이다. 이산 시간과 다른 점이다.
오일러 관계와 정현파. 오일러 공식 \(e^{j\omega_0 t} = \cos\omega_0 t + j\sin\omega_0 t\)에서
\[\cos\omega t = \frac{e^{j\omega t} + e^{-j\omega t}}{2}, \qquad \sin\omega t = \frac{e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}}{2j}\] \[A\cos(\omega_0 t + \phi) = \frac A2 e^{j\phi}e^{j\omega_0 t} + \frac A2 e^{-j\phi}e^{-j\omega_0 t} = A\,\mathrm{Re}\{e^{j(\omega_0 t + \phi)}\}\]정현파 하나는 반대로 도는 복소 지수 두 개의 합이다. 또는 복소 지수 하나의 실수부다. \(A\sin(\omega_0 t + \phi) = A\,\mathrm{Im}\{e^{j(\omega_0 t + \phi)}\}\)다. 몇 가지 값은 외워 두면 편하다: \(e^{j\pi/2} = j\), \(e^{j\pi} = -1\), \(e^{j2\pi n} = 1\) (\(n\)은 정수).
페이저. 같은 주파수의 정현파만 다룰 때는 \(e^{j\omega_0 t}\)를 떼고 크기와 위상만 남긴 복소수 \(X = Ae^{j\phi}\)로 적는다. 이것을 페이저라 한다. 직교 형식 \(A\cos\phi + jA\sin\phi\), 지수 형식 \(Ae^{j\phi}\), 극형식 \(A\angle\phi\)로 쓴다. 예: \(z = 1 + j0.5\)는 \(r = \sqrt{1^2 + 0.5^2} \approx 1.118\), \(\theta = \tan^{-1}(0.5) \approx 0.4636\) rad(\(26.56°\))이므로 \(1.118\angle 26.56° = 1.118e^{j0.4636}\)이다.
에너지와 전력. 복소수에 그 켤레를 곱하면 크기가 아니라 크기의 제곱이 나온다. \(\vert e^{j\omega_0 t}\vert ^2 = e^{j\omega_0 t}e^{-j\omega_0 t} = 1\)이므로 \(\vert e^{j\omega_0 t}\vert = 1\)이다. 그래서 한 주기의 에너지는 \(\int_0^{T_0}1\,dt = T_0\), 평균 전력은 1이다. 시간이 끝없이 이어지니 전체 에너지는 무한대인 전력 신호다.
고조파. \(\omega_0\)의 정수배 주파수를 갖는 복소 지수들의 모임이다.
\[\phi_k(t) = e^{jk\omega_0 t}, \qquad k = 0, \pm1, \pm2, \dots\]\(k = 0\)이면 상수다. \(k \neq 0\)이면 기본 주파수 \(\vert k\vert \omega_0\), 기본 주기 \(\dfrac{2\pi}{\vert k\vert \omega_0} = \dfrac{T_0}{\vert k\vert }\)인 주기 신호다. 모두 공통으로 \(T_0\)마다 되풀이된다. 3장 푸리에 급수의 재료가 이 모임이다.
일반 복소 지수 신호. \(C = \vert C\vert e^{j\theta}\)(극형식), \(a = r + j\omega_0\)(직교 형식)로 쓰면
\[Ce^{at} = \vert C\vert e^{rt}e^{j(\omega_0 t + \theta)} = \vert C\vert e^{rt}\cos(\omega_0 t + \theta) + j\vert C\vert e^{rt}\sin(\omega_0 t + \theta)\]| \(r\) | 실수부·허수부의 모양 |
|---|---|
| \(r = 0\) | 정현파 |
| \(r > 0\) | 진폭이 지수적으로 커지는 정현파 (그림 1.23(a)) |
| \(r < 0\) | 진폭이 지수적으로 줄어드는 정현파, 감쇠 정현파 (그림 1.23(b)) |
\(e^{st}\)로 쓰면 \(s\) 하나가 성장·감쇠(\(s\)의 실수부)와 진동(\(s\)의 허수부)을 함께 담는다.
두 그래프 모두 \(\omega_0 = 3\)이라 진동의 빠르기는 같다. 점선 \(\pm e^{rt}\)가 정하는 폭만 \(r\)의 부호에 따라 커지거나 줄어든다2.
스스로 설명해 보기
1. \(e^{j\omega_0 t}\)의 기본 주기는 \(2\pi/\vert \omega_0\vert\)다.
\(e^{j\omega_0 T} = 1\)이려면 \(\omega_0 T\)가 \(2\pi\)의 정수배여야 하고(오일러 공식에서 \(\cos = 1\), \(\sin = 0\)), 그중 가장 작은 양수는 \(\omega_0 T = \pm 2\pi\)일 때다.
2. \(A\cos(\omega_0 t + \phi) = \frac A2 e^{j\phi}e^{j\omega_0 t} + \frac A2e^{-j\phi}e^{-j\omega_0 t}\)다.
\(\cos\theta = \frac12(e^{j\theta} + e^{-j\theta})\)에 \(\theta = \omega_0 t + \phi\)를 넣고 지수법칙 \(e^{j(\omega_0 t + \phi)} = e^{j\phi}e^{j\omega_0 t}\)로 나눈다.
이 표현의 핵심 아이디어는?
진동을 원 위의 회전으로 보면, 곱셈은 각의 덧셈이 되어 삼각함수 계산이 지수 계산으로 바뀐다.
예제
예제 1.5 두 복소 지수의 합 \(x(t) = e^{j2t} + e^{j3t}\)를 복소 지수와 정현파의 곱으로 쓰라.
- 평균 주파수를 빼낸다: \(\frac{2 + 3}{2} = 2.5\)이므로 \(x(t) = e^{j2.5t}(e^{-j0.5t} + e^{j0.5t})\).
- 괄호를 오일러 관계로: \(e^{-j0.5t} + e^{j0.5t} = 2\cos(0.5t)\). 그래서 \(x(t) = 2e^{j2.5t}\cos(0.5t)\).
- 크기: \(\vert e^{j2.5t}\vert = 1\)이므로 \(\vert x(t)\vert = 2\vert \cos(0.5t)\vert\). 크기가 전파 정류된 정현파 모양이다. \(2\cos(0.5t)\)의 주기는 \(4\pi \approx 12.566\)이고, 절댓값을 씌운 \(\vert x(t)\vert\)는 그 절반인 \(2\pi\)마다 되풀이된다1.
가는 선이 실수부, 굵은 선이 크기 \(\vert x(t)\vert\)다. 점선 \(2\cos 0.5t\)는 \(4\pi\)마다 되풀이되지만, 음수 쪽이 뒤집힌 크기는 \(2\pi\)마다 되풀이된다2.
페이저 덧셈 같은 주파수의 두 정현파 \(2\cos(3t + 0.4) + \cos(3t - 1.1)\)은 페이저 \(2e^{j0.4} + e^{-j1.1}\)의 크기와 위상을 가진 정현파 하나다1.
활용
- 교류 회로 해석은 페이저로 미분방정식을 복소수 대수로 바꿔 푼다1.
- 3장에서 \(e^{st}\)가 모든 LTI 시스템을 통과해도 모양이 바뀌지 않는(상수배만 되는) 신호라는 것을 배운다. 그래서 신호를 복소 지수들로 나누는 것이 푸리에 급수와 푸리에 변환의 중심 생각이다.
- 감쇠 정현파는 종소리, 충격을 받은 구조물, 2계 미분방정식의 복소근 해 \(e^{\alpha t}\cos\beta t\)에서 나온다 → 상수계수 2계 선형 미분방정식
연결
- 선수: 복소수의 극형식과 오일러 공식, 주기 신호
- 같은 구조: 덧셈정리 ↔ 복소수 곱 ↔ 회전 행렬
- 이산 시간 버전: 이산 시간 복소 지수 신호
자주 하는 오해
틀렸다. \(\omega_0\)는 1초에 도는 각도라서 클수록 빨리 돌고 주기 \(2\pi/\vert \omega_0\vert\)는 짧아진다. “숫자가 크면 길다”는 느낌 때문에 헷갈린다. 확인: \(\omega_0 = 2\pi\)면 주기가 1초, \(\omega_0 = 4\pi\)면 0.5초다.
확인 문제
C1 \(\cos\omega t\)와 \(\sin\omega t\)를 복소 지수로 쓰라.
답: \(\cos\omega t = \frac{e^{j\omega t} + e^{-j\omega t}}{2}\), \(\sin\omega t = \frac{e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}}{2j}\).
흔한 오답: \(\sin\)의 분모에 \(j\)를 빠뜨리는 것.
C2 \(x(t) = e^{j4t} + e^{j6t}\)를 \((\text{복소 지수})\times(\text{실수 정현파})\) 꼴로 쓰고 \(\vert x(t)\vert\)를 구하라.
답: \(x(t) = e^{j5t}(e^{-jt} + e^{jt}) = 2e^{j5t}\cos t\), \(\vert x(t)\vert = 2\vert \cos t\vert\).
C3 \(s = -0.5 + j3\)일 때 \(\mathrm{Re}\{e^{st}\}\)의 모양을 말로 설명하고 식으로 쓰라.
답: 각주파수 3 rad/s로 진동하면서 진폭이 \(e^{-0.5t}\)를 따라 줄어드는 감쇠 정현파. \(e^{-0.5t}\cos 3t\).
C4 \(e^{j\omega_0 t}\)와 \(e^{-j\omega_0 t}\)의 기본 주기가 같은 이유는?
답: 둘 다 원을 같은 속도로 돌고 방향만 반대다. 식으로는 둘 다 \(\vert \omega_0\vert T = 2\pi\)일 때 처음 제자리로 온다.