시간축을 뒤집어도 그대로인 신호가 짝 신호(\(\cos t\)처럼 세로축에 대해 좌우 대칭), 뒤집으면 부호만 바뀌는 신호가 홀 신호(\(\sin t\)처럼 원점에 대해 대칭)다. 어떤 신호든 짝 부분과 홀 부분의 합으로 꼭 한 가지 방법으로 나눌 수 있다. 홀 신호는 \(t = 0\)에서 값이 반드시 0이다.
예시로 보기
단위 계단 \(u[n]\)(\(n \ge 0\)에서 1, 그 밖은 0)은 짝도 홀도 아니다. 그래도 둘로 나눌 수 있다.
| \(n\) | \(\cdots, -2, -1\) | \(0\) | \(1, 2, \cdots\) |
|---|---|---|---|
| \(u[n]\) | 0 | 1 | 1 |
| 짝 부분 \(\mathcal{E}v\{u[n]\}\) | \(\frac12\) | 1 | \(\frac12\) |
| 홀 부분 \(\mathcal{O}d\{u[n]\}\) | \(-\frac12\) | 0 | \(\frac12\) |
두 줄을 더하면 첫 줄이 된다. 짝 부분은 좌우가 같고, 홀 부분은 좌우 부호가 반대다.
정의
| 연속 시간 | 이산 시간 | |
|---|---|---|
| 짝 신호 | \(x(-t) = x(t)\) | \(x[-n] = x[n]\) |
| 홀 신호 | \(x(-t) = -x(t)\) | \(x[-n] = -x[n]\) |
홀 신호에 \(t = 0\)을 넣으면 \(x(0) = -x(0)\)이므로 \(x(0) = 0\)이다.
신호를 뒤집은 것과 원래 신호를 더하면 짝, 빼면 홀이 된다. 그래서 짝 부분과 홀 부분은 다음과 같다.
\[\mathcal{E}v\{x(t)\} = \tfrac12\bigl[x(t) + x(-t)\bigr], \qquad \mathcal{O}d\{x(t)\} = \tfrac12\bigl[x(t) - x(-t)\bigr]\]두 식을 더하면 \(x(t)\)가 그대로 나온다. 짝 부분에 \(-t\)를 넣으면 식이 그대로이고, 홀 부분에 넣으면 부호만 바뀐다. 문서에서는 짧게 \(x_e(t)\), \(x_o(t)\)로도 쓴다.
예제
예 \(x[n] = 3\cos(6\pi n) + 4\sin(8\pi n)\)의 짝 부분과 홀 부분
- 뒤집기: \(\cos\)는 짝, \(\sin\)은 홀이므로 \(x[-n] = 3\cos(6\pi n) - 4\sin(8\pi n)\).
- 짝 부분: \(\frac12(x[n] + x[-n]) = 3\cos(6\pi n)\).
- 홀 부분: \(\frac12(x[n] - x[-n]) = 4\sin(8\pi n)\).
계산 방법은 맞다. 다만 \(n\)이 정수이므로 \(\sin(8\pi n) = 0\), \(\cos(6\pi n) = 1\)이라 이 신호는 사실 상수 \(x[n] = 3\)이고 홀 부분은 0이다. 같은 식을 연속 시간 \(t\)로 바꾸면 홀 부분이 실제로 \(4\sin(8\pi t)\)가 된다1.
활용
- 3장 푸리에 급수에서, 실수 짝 신호는 코사인 항만, 실수 홀 신호는 사인 항만 가진다. 계산할 항이 절반으로 준다.
- 홀 신호를 대칭 구간 \([-T, T]\)에서 적분하면 0이다. 적분 계산을 줄이는 데 자주 쓴다1.
연결
확인 문제
C1 \(x(t)\)의 짝 부분과 홀 부분을 식으로 쓰라.
답: \(x_e(t) = \frac12[x(t) + x(-t)]\), \(x_o(t) = \frac12[x(t) - x(-t)]\).
C2 홀 신호는 왜 \(t = 0\)에서 반드시 0인가?
답: 정의 \(x(-t) = -x(t)\)에 \(t = 0\)을 넣으면 \(x(0) = -x(0)\), 즉 \(2x(0) = 0\)이다.
C3 \(x(t) = e^{t}\)의 짝 부분과 홀 부분은?
답: \(\frac12(e^t + e^{-t}) = \cosh t\), \(\frac12(e^t - e^{-t}) = \sinh t\).