요약

수열이 뒤로 갈수록 어떤 값에 한없이 가까워지면 그 값에 수렴한다고 한다. “커지기만 하는데 넘을 수 없는 벽이 있으면 반드시 어떤 값에 수렴한다”는 사실로 (1 + 1/n)ⁿ이 한 값에 다가감을 알 수 있고, 그 값이 e다. 반복 알고리즘이 끝나는지, 오차가 얼마나 빨리 주는지를 이 언어로 말한다. 다만 이웃한 항의 차이가 0으로 줄어든다고 해서 수렴하는 것은 아니다.

예시로 보기

\(a_n = 1/n\)은 \(1, 0.5, 0.333, \dots\)로 0에 다가간다. “0에서 0.001 안으로 들어오는 것은 몇 번째부터인가?”에는 1001번째부터라고 답할 수 있다. 허용 오차를 0.000001로 줄여도 1,000,001번째부터라는 답이 있다. 어떤 허용 오차를 불러도 “그 뒤로는 늘 그 안”인 시점이 있다는 것이 수렴이다. 허용 오차가 아래 정의의 \(\varepsilon\), 그 시점이 \(N\)이다.

\((1 + 1/n)^n\)은 \(2, 2.25, 2.37, 2.44, \dots\)로 늘어나지만 3을 넘지 못한다. 계속 커지기만 하는데 넘지 못하는 벽이 있으니 어떤 값에 멈춰 다가가야 한다. 그 값이 \(e \approx 2.71828\)이다.

그림

점은 오른쪽으로 갈수록 오르기만 하고, 오르는 폭은 점점 줄어든다. 주황 선 3에는 닿지 못하고 초록 점선 \(e\) 아래에 붙는다1.

정의

정의

수열 \((a_n)\)이 \(L\)에 수렴한다는 것은

\[\forall \varepsilon > 0\ \exists N\ \forall n \ge N\ \ \vert a_n - L\vert < \varepsilon\]

이라는 뜻이고 \(\lim_{n \to \infty} a_n = L\)로 쓴다. 수렴하지 않으면 발산한다고 한다. 한없이 커지거나(\(\to \infty\)), 진동한다2.

극한 법칙(합·곱·몫)과 조임 정리는 함수의 극한과 같이 맞는다.

정리
  1. \(\vert r\vert < 1\)이면 \(r^n \to 0\). \(r = 1\)이면 1, \(\vert r\vert > 1\)이거나 \(r = -1\)이면 발산한다.
  2. 단조 수렴 정리: 늘 증가(또는 늘 감소)하고 위(아래)로 유계인 수열은 수렴한다. [증명 생략: 실수의 완비성과 동치인 성질이다]
  3. \(a_n = (1 + 1/n)^n\)은 증가하고 \(a_n < 3\)이다. 따라서 수렴하고, 그 극한을 \(e\)로 정한다.
증명
  1. \(0 < \vert r\vert < 1\)이면 \(1/\vert r\vert = 1 + h\)(\(h > 0\))로 쓸 수 있다. 베르누이 부등식(이산수학 귀납법 사다리)으로 \((1 + h)^n \ge 1 + nh\)이므로 \(\vert r\vert ^n \le \frac{1}{1 + nh} \to 0\).
  2. [증명 스케치] 이항정리로 전개하면 \(a_n = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\left(1 - \frac1n\right)\cdots\left(1 - \frac{k-1}{n}\right)\)이다. \(n\)이 커지면 각 괄호가 커지고 항도 하나 늘어서 \(a_n\)이 증가한다. 또 각 항은 \(\frac{1}{k!} \le \frac{1}{2^{k-1}}\) 이하라서 \(a_n < 1 + (1 + \frac12 + \frac14 + \cdots) = 3\)이다. ∎

예제

\(\lim_{n \to \infty}\frac{3n^2 + n}{n^2 + 5}\)를 구한다.

  1. 가장 빨리 자라는 항으로 나누기: 분자와 분모를 \(n^2\)으로 나누면 \(\frac{3 + 1/n}{1 + 5/n^2}\).
  2. 아는 극한 쓰기: \(1/n \to 0\), \(5/n^2 \to 0\).
  3. 극한 법칙: \(\frac{3 + 0}{1 + 0} = 3\).
검증: \((1+1/n)^n\)이 증가하고 3 미만(유리수로 정확히 \(n \le 60\), 실수로 \(n \le 2000\)), \(N = 1001\), 예제와 \(0.9^n\), 조화수가 한없이 커짐, 뉴턴 반복의 자릿수 두 배 — 03_sequence-limits_verify.py

활용

  • 반복 알고리즘의 수렴. 반복할 때마다 오차가 일정한 비율로 주면(선형 수렴) 한 번에 자릿수가 일정하게 늘고, 오차가 제곱으로 주면(이차 수렴) 맞는 자릿수가 두 배씩 는다. \(\sqrt2\)를 \(x \mapsto \frac12(x + 2/x)\)로 구하면 오차가 0.086, 0.0025, 2.1e−6, 1.6e−12로 이차 수렴한다(뉴턴 방법).
  • 멈춤 조건. 반복 알고리즘은 “이웃 값의 차가 충분히 작으면 멈춘다”를 흔히 쓴다. 아래 오해처럼 이것만으로 수렴이 보장되지는 않아서, 최대 반복 횟수를 함께 둔다.
  • \(e\)가 나오는 곳. 연속 복리, 지수적 감쇠, 확률의 \(\left(1 - \frac1n\right)^n \to \frac1e\)(해시에서 한 칸이 끝까지 비어 있을 확률 등)가 모두 이 극한이다.

연결

자주 하는 오해

“이웃한 항의 차가 0으로 가면 수열은 수렴한다”

틀렸다. 걸음이 점점 작아지니 어딘가에 멈출 것 같다. 하지만 조화수 \(H_n = 1 + \frac12 + \cdots + \frac1n\)은 이웃 차 \(\frac{1}{n+1}\)이 0으로 가는데도 한없이 커진다. \(H_{2^k} \ge 1 + k/2\)라서 \(H_{65536} \ge 9\)이고, 걸음이 작아도 끝없이 쌓인다. 반복 알고리즘의 멈춤 조건으로 “변화량이 작다”만 쓰면 이런 수열에서 틀린 답에 멈출 수 있다.

그림

가로축이 로그 눈금이라, \(n\)을 10배 할 때마다 \(H_n\)이 비슷한 폭으로 계속 오른다. 주황 점은 \(n = 2^k\)일 때의 아래 한계 \(1 + k/2\)이고, 파란 선은 늘 그 위에 있다1.

확인 문제

C1 수열 aₙ이 L에 수렴한다는 것을 ε과 N으로 쓰라.

답: 모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해 어떤 \(N\)이 있어, \(n \ge N\)인 모든 \(n\)에서 \(\vert a_n - L\vert < \varepsilon\).

C2 (a) lim (3n² + n)/(n² + 5) (b) 0.9ⁿ < 0.001이 처음 맞는 n을 구하라.

답: (a) 3. (b) \(n > \frac{\ln 0.001}{\ln 0.9} \approx 65.6\)이므로 \(n = 66\).

C3 이웃한 항의 차가 0으로 가는데 수렴하지 않는 수열을 들고, 왜 수렴하지 않는지 보여라.

답: 조화수 \(H_n\). \(\frac13 + \frac14 \ge \frac12\), \(\frac15 + \cdots + \frac18 \ge \frac12\)처럼 \(2^{k-1}\)개씩 묶으면 각 묶음이 \(\frac12\) 이상이라 \(H_{2^k} \ge 1 + \frac{k}{2}\)이고, 한없이 커진다.

  1. 03_sequence-limits_plot.py로 그렸고, \((1 + 1/n)^n\)이 \(n \le 40\)에서 증가하고 3 미만임(유리수로 정확히), \(H_{2^k} \ge 1 + k/2\)(\(k \le 16\)), \(H_{65536} \ge 9\)를 같은 코드로 확인했다. ↩ ↩2

  2. OpenStax, Calculus Volume 2, 5.1절 “Sequences”(수열의 극한, 단조 수렴 정리) ↩