곱의 미분 법칙을 거꾸로 쓰는 기법이다. 두 함수의 곱을 적분할 때, 한쪽은 미분하고 다른 쪽은 적분해 더 쉬운 적분으로 바꾼다. 다항식 × 지수함수, 다항식 × 삼각함수, 로그처럼 치환이 통하지 않는 곱에 쓴다. 어느 쪽을 미분할지 잘못 고르면 식이 오히려 복잡해지므로, 미분할수록 단순해지는 쪽을 고르는 것이 요령이다.
예시로 보기
\(\int x e^x\,dx\)에서 \(x\)는 미분하면 1로 단순해지고, \(e^x\)는 적분해도 그대로다. 그래서 \(x\)를 미분할 쪽(\(u\)), \(e^x\,dx\)를 적분할 쪽(\(dv\))으로 나눈다.
\[\int x e^x dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x dx = x e^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C\]미분해 보면 \(\big((x - 1)e^x\big)' = e^x + (x - 1)e^x = x e^x\)로 맞다. \(x\)가 아래 공식의 \(u\), \(e^x\)가 \(v\)의 도함수다. 반대로 \(u = e^x\), \(dv = x\,dx\)로 고르면 \(\frac{x^2}{2}e^x - \int\frac{x^2}{2}e^x dx\)가 되어 차수가 오히려 올라간다.
정의
\(u\), \(v\)가 연속인 도함수를 가지면
\[\int u\,dv = uv - \int v\,du, \qquad \int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b v(x)u'(x)\,dx.\]증명
곱의 법칙 \((uv)' = u'v + uv'\)의 양변을 \([a, b]\)에서 적분한다. 기본정리 2부로 좌변은 \(\big[uv\big]_a^b\)이다. \(\int_a^b uv'\)을 남기고 나머지를 넘기면 된다. ∎
\(u = \ln x\), \(v = x\)로 두고 \(x\)가 1에서 \(e\)까지 가면 점 \((v, u)\)가 회색 곡선을 그린다. 파란 넓이가 \(\int u\,dv\), 주황 넓이가 \(\int v\,du\)이고, 둘을 합치면 점선 직사각형 \(\big[uv\big] = e \cdot 1 - 1 \cdot 0 = e\)가 된다. 그래서 \(\int_1^e \ln x\,dx = e - (e - 1) = 1\)이다2.
\(u\) 고르는 요령. 미분하면 단순해지는 쪽을 \(u\)로 둔다. 흔히 로그 → 역삼각 → 다항식 → 삼각 → 지수 순서로 앞쪽을 \(u\)로 고른다(머리글자로 LIATE라 부르는 경험칙)3. 규칙이 아니라 요령이라 예외가 있다.
반복과 표. \(\int x^n e^x dx\)처럼 여러 번 해야 하면, \(u\)를 계속 미분한 열과 \(dv\)를 계속 적분한 열을 나란히 쓰고 대각선으로 곱해 부호를 \(+, -, +, \dots\)로 번갈아 더한다(표 방법).
| 부호 | \(u\)와 도함수 | \(dv\)와 적분 |
|---|---|---|
| \(+\) | \(x^2\) | \(e^x\) |
| \(-\) | \(2x\) | \(e^x\) |
| \(+\) | \(2\) | \(e^x\) |
| \(0\) | \(e^x\) |
그래서 \(\int x^2 e^x dx = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C\).
예제
로그 하나만 있을 때. \(\int \ln x\,dx\).
- 나누기: 곱이 안 보이면 \(dv = dx\)로 둔다. \(u = \ln x\), \(v = x\).
- 공식: \(x\ln x - \int x\cdot\frac1x dx = x\ln x - x + C\).
원래 적분이 되돌아올 때. \(I = \int e^x\sin x\,dx\).
- 한 번: \(u = \sin x\), \(dv = e^x dx\)로 \(I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx\).
- 한 번 더: \(\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \int e^x \sin x\,dx = e^x\cos x + I\).
- 방정식으로 풀기: \(I = e^x\sin x - e^x\cos x - I\)에서 \(I = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C\).
flowchart TD
A["곱의 적분"] --> B["미분하면 단순해지는 쪽을 u, 나머지를 dv로 나눈다"]
B --> C["uv − ∫ v du로 바꾼다"]
C --> D{"남은 적분 ∫ v du는 어떤가"}
D -- "바로 풀린다" --> E["끝"]
D -- "같은 꼴, 차수만 낮아졌다" --> F["다시 부분적분한다. 여러 번이면 표 방법"]
F --> C
D -- "원래 적분이 돌아왔다" --> G["원래 적분을 I로 두고 방정식으로 푼다"]
D -- "더 복잡해졌다" --> H["u와 dv를 바꿔 고른다"]
H --> B
예시의 \(xe^x\)는 한 바퀴 만에 끝나고, 표 방법의 \(x^2e^x\)는 고리를 여러 번 돈다. \(e^x\sin x\)는 두 바퀴 뒤 원래 적분이 돌아오는 갈래로 빠진다4.
활용
- 기댓값. 평균 대기 시간이 1인 지수분포에서 대기 시간의 기댓값은 \(\int_0^\infty x e^{-x}dx\)이고, 부분적분으로 1이다. 같은 방법을 되풀이하면 \(\int_0^\infty x^n e^{-x}dx = n!\)이다. 이것이 계승을 실수로 넓힌 감마 함수 \(\Gamma(n + 1) = n!\)의 출발점이다.
- 푸리에 계수. 톱니파 같은 신호를 사인파로 나눌 때 \(\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(kx)\,dx = \frac{2\pi(-1)^{k+1}}{k}\) 같은 적분이 나온다. \(u = x\)로 둔 부분적분 한 번이다(푸리에 급수).
- 연습: 적분 계산 예제 사다리
연결
- 선수: 미적분의 기본정리, 미분 법칙(곱의 법칙)
- 짝을 이루는 기법: 치환적분
- 이산판: 합에서는 아벨의 부분합(summation by parts)이 같은 역할을 한다. 교란법도 비슷하게 원래 합을 다시 만들어 방정식으로 푼다3.
확인 문제
C1 ∫ x cos x dx를 구하라.
답: \(u = x\), \(dv = \cos x\,dx\), \(v = \sin x\). \(x\sin x - \int\sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C\).
C2 ∫₁^e ln x dx를 구하라.
답: \(\big[x\ln x - x\big]_1^e = (e - e) - (0 - 1) = 1\).
C3 \(\int x e^{x^2}\,dx\)와 \(\int x e^{x}\,dx\) 중 부분적분이 필요한 쪽은? 다른 쪽은 무엇으로 푸는가?
답: 둘째다. \((x - 1)e^x + C\). 첫째는 안쪽 \(x^2\)의 도함수 \(2x\)(의 절반)가 곱해져 있어 치환적분으로 \(\frac12 e^{x^2} + C\)다. 곱이 보인다고 늘 부분적분은 아니다. “안쪽의 도함수가 있나”를 먼저 본다.
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OpenStax, Calculus Volume 2, 3.1절 “Integration by Parts”(공식, \(u\) 고르기, 반복 적용, 정적분). ↩
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14_integration-by-parts_plot.py로 그렸고, 두 넓이 1과 \(e - 1\), 그 합 \(e\), 원시함수 \(x\ln x - x\)로 계산한 값 1을 같은 코드로 확인했다. ↩
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아벨의 부분합은 Graham·Knuth·Patashnik, Concrete Mathematics 2.6절의 “summation by parts”로 확인할 수 있다. ↩ ↩2
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예시로 보기(잘못 고르면 차수가 오름), \(u\) 고르는 요령, 반복과 표, 예제의 두 경우를 근거로 그렸다. ↩