함수의 변환과 합성

요약

그래프를 통째로 옮기고, 늘이고, 뒤집는 조작과, 한 함수의 출력을 다른 함수의 입력으로 넣는 합성이다. 출력 쪽을 바꾸면 그래프가 바꾼 대로 움직이지만, 입력 쪽을 바꾸면 거꾸로 움직이는 것처럼 보인다. 합성은 양말과 신발처럼 순서를 바꾸면 결과가 달라진다.

예시로 보기

$f(x) = x^2$의 그래프 위의 점 $(1, 1)$이 각 조작에서 어디로 가는지 본다.

새 함수	그래프의 변화	$(1, 1)$이 가는 곳
$f(x) + 2$	위로 2	$(1, 3)$
$f(x - 3)$	오른쪽으로 3	$(4, 1)$
$2f(x)$	세로로 2배	$(1, 2)$
$f(2x)$	가로로 절반	$(\tfrac12, 1)$
$-f(x)$	$x$축에 대칭	$(1, -1)$
$f(-x)$	$y$축에 대칭	$(-1, 1)$

입력 쪽이 거꾸로인 이유는 이렇다. $g(x) = f(x - 3)$이 원래의 $f(0)$을 내려면 $x - 3 = 0$, 즉 $x = 3$이어야 한다. 원래 $x = 0$에서 일어나던 일이 $x = 3$에서 일어나니 오른쪽 이동이다. 거꾸로 움직이는 것이 아니라, 같은 일이 일어나는 새 위치를 푼 결과다.

$그림$

회색 $x^2$의 점을 모두 오른쪽으로 3 옮기면 파란 $(x - 3)^2$이 된다. 꼭짓점 $(0, 0)$은 $(3, 0)$으로, $(1, 1)$은 $(4, 1)$로 간다¹.

합성은 함수를 이어 붙이는 것이다. $f(x) = x + 1$(1 더하기)과 $g(x) = 2x$(2배 하기)로 두 순서를 비교한다.

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 2(x + 1) = 2x + 2$: 1을 더한 뒤 2배
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 2x + 1$: 2배 한 뒤 1을 더함

기호 $g \circ f$는 오른쪽의 $f$를 먼저 적용한다.

flowchart LR
  A1["x = 3"] -->|"f: 1 더하기"| B1["4"] -->|"g: 2배"| C1["8 = 2x + 2"]
  A2["x = 3"] -->|"g: 2배"| B2["6"] -->|"f: 1 더하기"| C2["7 = 2x + 1"]

위 줄이 $g \circ f$, 아래 줄이 $f \circ g$다. 같은 3을 넣어도 어느 상자를 먼저 지나느냐에 따라 8과 7로 갈린다².

정의

변환. 함수 $f$와 실수 $a, b \ne 0$, $h$, $k$에 대해 $g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$라 하자. $f$의 그래프 위의 점 $(x_0, y_0)$은 $g$의 그래프 위의 점

\[\left(\frac{x_0}{b} + h,\ \ a\,y_0 + k\right)\]

로 간다³. 가로로는 $1/\vert b\vert$배 후 오른쪽으로 $h$, 세로로는 $\vert a\vert$배 후 위로 $k$다. $b < 0$이면 $y$축 대칭이, $a < 0$이면 $x$축 대칭이 더해진다.

합성. $f: X \to Y$, $g: Y' \to Z$일 때 $(g \circ f)(x) = g(f(x))$다. 정의역은 $f(x)$가 $g$의 정의역에 드는 $x$들, 즉 $\{x \in X : f(x) \in Y'\}$($\in$은 “~에 속한다”)이다⁴.

flowchart LR
  X["입력 x"] -->|"h 빼기"| U["x − h"] -->|"b배"| V["b·(x − h)"] -->|"f 적용"| W["f 값"] -->|"a배"| Z["a·f 값"] -->|"k 더하기"| Y["출력 g(x)"]

$g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$를 계산하는 순서다. 왼쪽 두 상자는 $f$에 들어가기 전의 입력 쪽 조작이고, 오른쪽 두 상자는 $f$가 낸 출력 쪽 조작이다².

점 대응은 대입 한 번으로 확인된다.

\[g\!\left(\frac{x_0}{b} + h\right) = a\,f\!\left(b \cdot \frac{x_0}{b}\right) + k = a\,f(x_0) + k = a\,y_0 + k\]

합성은 결합법칙 $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$가 늘 맞는다. 교환법칙 $g \circ f = f \circ g$는 위의 예처럼 일반적으로 맞지 않는다.

예제

$y = -2(x - 1)^2 + 3$의 그래프를 $y = x^2$에서 얻는다.

틀에 맞추기: $a = -2$, $b = 1$, $h = 1$, $k = 3$.
기준점 옮기기: 꼭짓점 $(0, 0)$은 $(0/1 + 1,\ -2 \cdot 0 + 3) = (1, 3)$으로 간다.
모양 읽기: $a < 0$이라 아래로 열리고, $\vert a\vert = 2$라 원래보다 세로로 2배 가파르다.
확인: $x = 0$과 $x = 2$에서 모두 $y = 1$이다. 꼭짓점 $x = 1$에 대해 대칭이다.

$그림$

꼭짓점이 $(0, 0)$에서 $(1, 3)$으로 옮겨 가고, 그래프는 아래로 열리며 더 가파르다. 속이 빈 두 점 $(0, 1)$과 $(2, 1)$이 꼭짓점을 사이에 두고 같은 높이에 있다¹.

합성의 정의역은 안쪽 함수의 출력이 바깥 함수의 정의역에 들어야 한다. $u(x) = x - 1$, $v(x) = \sqrt{x}$이면 $v \circ u$는 $x - 1 \ge 0$, 즉 $x \ge 1$에서만 정의된다.

검증: 점 대응을 함수 3개 × 무작위 계수 2,000세트에 대해 유리수로 정확히 확인, 예제와 카드 C1·C3의 값 — 02_function-transformation_verify.py

활용

신호 $s(t)$를 $t_0$초 늦추면 $s(t - t_0)$, 세기를 $A$배 키우면 $A\,s(t)$다. 사인파 $A\sin(\omega(t - t_0))$가 이 두 변환을 합친 것이다⁵.
화면 좌표는 $y$가 아래로 커진다. 높이가 $H$인 화면에서 수학 좌표 $y$를 화면 좌표로 바꾸면 $H - y$다. $a = -1$(뒤집기)과 $k = H$(올리기)를 합친 변환이다.
셸의 cmd1 | cmd2는 cmd1을 먼저 실행한다. 함수로 쓰면 $\text{cmd2} \circ \text{cmd1}$이다. 적는 순서와 합성 기호의 순서가 반대라서 헷갈리기 쉽다.
흔한 실수는 변환을 여러 번 할 때 순서를 바꾸는 것이다. 세로로 늘이기와 위아래로 옮기기는 순서에 따라 결과가 다르다(카드 C1).
알고리즘에서: 격자를 시계 방향으로 90도 돌리는 zip(*a[::-1])은 위아래 뒤집기를 먼저 하고 행과 열 바꾸기(전치)를 나중에 하는 합성이다. 순서를 바꿔 전치부터 하면 반시계 방향으로 돈다(구현과 시뮬레이션). 신규 아이디 추천도 문자열 규칙 일곱 개를 차례로 합성하는 문제라서, a.!.b에서 “허용 문자만 남기기”를 먼저 하면 a.b, “연속 마침표 줄이기”를 먼저 하면 a..b가 나온다.

연결

선수: 함수
이어지는 개념: 역함수(합성해서 제자리로 돌아오는 함수), 지수함수의 $a \cdot b^x$, 사인파의 진폭·주기·위상
미분적분학의 연쇄 법칙은 합성함수의 변화율을 다룬다.

자주 하는 오해

“f(x − 3)은 그래프를 왼쪽으로 3 옮긴다”

틀렸다. 빼기가 수직선에서 왼쪽을 떠올리게 해서 그럴듯하다. 실제로는 오른쪽으로 3 옮긴다. $f(x - 3)$은 $x = 3$에서 원래의 $f(0)$ 값을 낸다. $f(x) = x^2$이면 꼭짓점이 $x = 0$에서 $x = 3$으로 간다. $x = 3$을 대입해 $0$이 나오는지 보면 확인된다.

확인 문제

C1 y = x²의 그래프를 (1) 왼쪽으로 2 (2) 세로로 3배 (3) 아래로 1 순서로 바꾼 함수식을 쓰라. (2)와 (3)의 순서를 바꾸면 어떻게 되는가?

답: $y = 3(x + 2)^2 - 1$. 순서를 바꾸면 먼저 내린 1까지 3배가 되어 $y = 3\big((x + 2)^2 - 1\big) = 3(x + 2)^2 - 3$이다.

흔한 오답: 왼쪽 이동을 $(x - 2)^2$로 쓰는 것. 입력 쪽은 반대 부호가 된다.

C2 왜 f(x − 3)의 그래프는 f(x)의 그래프를 오른쪽으로 3 옮긴 것인가? 점이 어디로 가는지로 설명하라.

답: $f$ 위의 점 $(x_0, y_0)$과 같은 출력 $y_0$을 새 함수에서 얻으려면 입력 $x - 3$이 $x_0$이어야 하므로 $x = x_0 + 3$이다. 모든 점이 $(x_0 + 3, y_0)$으로 가니 오른쪽으로 3 이동이다.

C3 f(x) = x + 1, g(x) = x²일 때 f∘g와 g∘f를 각각 식으로 쓰고 x = 2에서의 값을 구하라. 두 값이 다른 이유는?

답: $(f \circ g)(x) = x^2 + 1$이고 값은 $5$. $(g \circ f)(x) = (x + 1)^2$이고 값은 $9$. 먼저 제곱하느냐, 먼저 1을 더하느냐가 달라서다. 합성은 교환법칙이 맞지 않는다.

흔한 오답: $f \circ g$를 “$f$를 먼저”로 읽는 것. 오른쪽의 $g$가 먼저다.

02_function-transformation_plot.py로 그렸고, 그림에 쓴 값(점 대응 $(1, 1) \to (4, 1)$, 예제의 $g(1) = 3$, $g(0) = g(2) = 1$)을 같은 코드로 확인했다. ↩ ↩²
예시로 보기의 두 합성 $g \circ f$, $f \circ g$($x = 3$을 넣은 값 8과 7은 두 식에서 계산)와 정의의 식 $a\,f\big(b(x - h)\big) + k$의 계산 순서를 근거로 그렸다(OpenStax, Precalculus 2e, 1.4~1.5절). ↩ ↩²
OpenStax, Precalculus 2e, 1.5절 “Transformation of Functions”. 교재는 이동·대칭·확대를 하나씩 다룬다. 한 식으로 묶은 점 대응은 그 결과를 합친 것이다. ↩
OpenStax, Precalculus 2e, 1.4절 “Composition of Functions” ↩
신호 지연·화면 좌표·셸 파이프라인은 컴퓨터공학에서 변환과 합성이 쓰이는 곳을 보이려고 넣었다. ↩

새 함수	그래프의 변화	\((1, 1)\)이 가는 곳
\(f(x) + 2\)	위로 2	\((1, 3)\)
\(f(x - 3)\)	오른쪽으로 3	\((4, 1)\)
\(2f(x)\)	세로로 2배	\((1, 2)\)
\(f(2x)\)	가로로 절반	\((\tfrac12, 1)\)
\(-f(x)\)	\(x\)축에 대칭	\((1, -1)\)
\(f(-x)\)	\(y\)축에 대칭	\((-1, 1)\)