푸리에 급수

요약

반복되는 신호는 아무리 모양이 복잡해도, 기본 주파수와 그 정수배 주파수 사인파들을 알맞은 세기로 더해 만들 수 있다. 각 사인파의 세기는 신호가 그 사인파와 “얼마나 닮았는가”로 구하는데, 벡터를 서로 수직인 축들로 분해할 때 축마다 그림자 길이를 재는 것과 똑같은 계산이다. 신호에 뚝 끊기는 점이 있으면 항을 아무리 늘려도 그 근처에서 약 9%만큼 튀어 오르는 흔적(깁스 현상)이 남는다.

예시로 보기

주기가 \(2\pi\)이고, 반 주기는 \(+1\), 반 주기는 \(-1\)인 사각파를 사인파로 만든다.

\[\text{사각파} = \frac{4}{\pi}\left(\sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \cdots\right).\]

더한 항	모양
\(\frac4\pi\sin x\)	둥근 물결, 높이 약 1.27
\(+\frac{4}{3\pi}\sin 3x\)	꼭대기가 눌리며 평평해지기 시작
홀수 항 수십 개	거의 사각형. 모서리 옆에 작은 뿔이 남는다

사인파 \(\sin kx\)가 아래 정의의 기저 함수, 앞의 수 \(\frac{4}{\pi k}\)가 푸리에 계수 \(b_k\)다. 짝수 번째 계수는 모두 0이다. 사각파는 \(x\)를 \(\pi\)만큼 옮기면 부호만 바뀌는데, 짝수 주파수 사인파는 그렇지 않아 닮은 정도가 0이기 때문이다.

파랑(첫 항 하나)은 둥근 물결로 높이 1.27까지 넘친다. 주황(두 항)은 꼭대기가 눌려 두 봉우리로 갈라진다. 초록(26항)은 거의 사각형인데, 뛰는 점 0과 \(\pm\pi\) 바로 옆에 작은 뿔이 남는다¹.

정의

벡터의 내적을 함수로 넓혀, 주기 \(2\pi\)인 두 함수의 내적을 \(\langle f, g\rangle = \int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\,dx\)(\(\int\)는 넓이를 구하는 적분 기호)로 둔다. 그러면 \(1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \dots\)는 서로 수직이다. 서로 다른 둘의 내적은 0이고, \(\langle\sin kx, \sin kx\rangle = \langle\cos kx, \cos kx\rangle = \pi\) (\(k \ge 1\)), \(\langle 1, 1\rangle = 2\pi\)다².

정의

구간 \([-\pi, \pi]\)에서 적분 가능한 주기 \(2\pi\) 함수 \(f\)의 푸리에 계수는

\[a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\,dx,\qquad a_k = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx\,dx,\qquad b_k = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx\,dx\quad(k \ge 1)\]

이고, 푸리에 급수는 \(a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx + b_k\sin kx)\)다. 계수는 사영 공식 \(\frac{\langle f, \sin kx\rangle}{\langle\sin kx, \sin kx\rangle}\) 그대로다. 오일러 공식으로 묶으면 \(f \sim \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k e^{ikx}\)(\(\sim\)는 “\(f\)를 오른쪽 급수로 나타낸다”는 뜻이다. 등호와 달리 모든 점에서 값이 같다는 보장은 없다), \(c_k = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx\)로도 쓴다.

수렴과 파스발 항등식

점별 수렴(디리클레): \(f\)가 조각마다 매끄러우면(유한 개의 점을 빼면 \(f\)와 \(f'\)이 연속이고 그 점들에서 좌우 극한이 있으면), 푸리에 급수는 \(f\)가 연속인 점에서 \(f(x)\)로, 뛰는 점에서 좌우 극한의 평균 \(\frac{f(x^-) + f(x^+)}{2}\)로 수렴한다.
파스발 항등식: \(\int_{-\pi}^{\pi}f^2\)이 유한하면 \(\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2\,dx = 2a_0^2 + \sum_{k=1}^{\infty}(a_k^2 + b_k^2)\).
최선 근사: 차수 \(N\) 이하 삼각다항식 가운데 \(\int_{-\pi}^{\pi}(f - p)^2\)을 가장 작게 하는 \(p\)는 급수를 \(N\)에서 자른 것이다.

[증명 생략: Stein·Shakarchi 2~3장.] 3은 직교 사영이 가장 가까운 점이라는 사실을 함수 공간에서 쓴 것이다³.

flowchart LR
    F["주기 2π 신호 f"] -- "기저 함수와 내적, 사영 공식" --> C["계수 a_k, b_k"]
    C -- "N에서 자른다" --> S["부분합 S_N"]
    S -- "N → ∞, 조각마다 매끄러우면" --> P["연속점에서 f(x), 뛰는 점에서 좌우 평균"]
    C -- "계수의 제곱합" --> E["파스발: 신호 제곱의 적분과 같다"]
    S -- "같은 차수 중에서" --> B["제곱 오차가 가장 작은 근사"]

왼쪽에서 오른쪽으로 가며 신호를 계수로 나누고, 계수로 다시 쌓는다. 정리의 세 항목이 각각 화살표 하나에 붙어 있다⁴.

예제

톱니파와 바젤 문제. \(f(x) = x\) (\(-\pi < x < \pi\))를 주기적으로 이은 톱니파.

계수: \(f\)가 홀함수라 \(a_k = 0\). 부분적분으로 \(\int_{-\pi}^{\pi}x\sin kx\,dx = \frac{2\pi(-1)^{k+1}}{k}\)이니 \(b_k = \frac{2(-1)^{k+1}}{k}\).
급수: \(x = 2\left(\sin x - \frac{\sin 2x}{2} + \frac{\sin 3x}{3} - \cdots\right)\) (\(-\pi < x < \pi\)).
파스발: 좌변 \(\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx = \frac{2\pi^2}{3}\), 우변 \(\sum_k\frac{4}{k^2}\).
결론: \(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}\). 급수의 수렴에서 값만 소개한 바젤 문제의 답이다.

깁스 현상. 사각파의 부분합은 뛰는 점 바로 옆에서 최댓값이 약 \(1.179\)다. \(\sin kx\)를 \(k = 51, 201, 801\)까지(0이 아닌 항 26개, 101개, 401개) 더해도 봉우리 높이는 그대로이고 폭만 좁아진다. 뛰는 폭 2의 약 9%를 넘어서는 셈이다⁵. 점별로는 수렴하지만(각 점을 고정하면 봉우리가 결국 지나간다), 모든 점에서 한꺼번에 가까워지지는 않는다.

뛰는 점 0의 오른쪽을 크게 확대했다. \(k\)를 51, 201, 801까지 더한 세 부분합의 첫 봉우리가 모두 점선 1.179에 닿는다. 차수를 올리면 봉우리가 0 쪽으로 좁게 밀려날 뿐 낮아지지 않는다¹.

검증: 삼각함수의 직교성(\(m, n \le 6\)), 사각파와 톱니파의 계수, 연속점과 뛰는 점에서의 부분합, 깁스 봉우리 \(\approx 1.179\)(항 51·201·801개), 파스발에서 바젤 값, 라이프니츠 급수, 잘라낸 급수가 최선 제곱 근사임(계수를 흔들면 오차 증가) — 30_fourier-series_verify.py

활용

음향. 악기 소리의 음색은 기본음 위에 얹힌 배음(정수배 주파수)의 세기 분포다. 신시사이저는 사인파를 더해 소리를 만들고, 이퀄라이저는 대역별 세기를 바꾼다.
압축. JPEG는 \(8 \times 8\) 블록마다 코사인만 쓰는 변형(이산 코사인 변환)으로 계수를 구하고 높은 주파수 계수를 거칠게 저장한다. MP3도 비슷한 코사인 변환(MDCT)을 쓴다. 대부분의 에너지가 낮은 주파수 몇 개에 몰린다는 것이 파스발 항등식으로 본 압축의 근거다⁵.
계산. 실제 데이터는 표본이 유한하므로 적분 대신 합을 쓰는 이산 푸리에 변환을 FFT로 계산한다.
흔한 실수. 주기가 \(2\pi\)가 아닌 신호에 공식을 그대로 쓰는 것. 주기 \(T\)면 \(\sin\frac{2\pi k x}{T}\)로 바꾸고 계수 앞의 \(\frac1\pi\)도 \(\frac2T\)로 바꾼다.

연결

선수: 직교 사영(계수 = 사영), 사인파, 부분적분(계수 계산)
이산판: 이산 푸리에 변환과 FFT
이어지는 개념: 주기가 없는 신호로 넓힌 푸리에 변환과 합성곱

확인 문제

C1 \(0 < x < \pi\)에서 1, \(-\pi < x < 0\)에서 \(-1\)인 사각파의 푸리에 계수 \(a_k\), \(b_k\)를 구하라.

답: 홀함수라 \(a_k = 0\). \(b_k = \frac2\pi\int_0^\pi\sin kx\,dx = \frac{2(1 - \cos k\pi)}{\pi k}\). \(k\)가 홀수면 \(\frac{4}{\pi k}\), 짝수면 0.

C2 계수 \(b_k\)를 구할 때 다른 모든 항이 사라지고 \(\sin kx\)의 계수만 남는 이유를 설명하라.

답: 급수 전체에 \(\sin kx\)를 곱해 \([-\pi, \pi]\)에서 적분하면, 직교성 때문에 \(\sin kx\)와 다른 모든 항의 적분은 0이고 \(\sin kx \cdot \sin kx\)만 \(\pi\)로 남는다. 그래서 \(\int f\sin kx = \pi b_k\)다. 직교 기저에서 한 축의 좌표를 내적 한 번으로 읽는 것과 같다.

C3 톱니파 급수 \(x = 2\left(\sin x - \frac{\sin 2x}{2} + \frac{\sin 3x}{3} - \cdots\right)\)에 \(x = \frac\pi2\)를 넣어 \(1 - \frac13 + \frac15 - \cdots\)의 값을 구하라.

답: \(\sin\frac{k\pi}{2}\)는 \(k = 1, 3, 5, 7, \dots\)에서 \(1, -1, 1, -1, \dots\)이고 짝수 \(k\)에서 0이다. 그래서 \(\frac\pi2 = 2\left(1 - \frac13 + \frac15 - \cdots\right)\), 곧 \(1 - \frac13 + \frac15 - \cdots = \frac\pi4\)(라이프니츠 급수). \(\frac\pi2\)는 연속점이라 급수가 함숫값으로 수렴한다.

30_fourier-series_plot.py로 그렸고, 첫 항의 높이 \(\frac4\pi \approx 1.27\), 깁스 상수 1.17898, \(k \le 51, 201, 801\)인 부분합의 봉우리가 모두 그 값에서 0.005 안인 것, \(x = \frac\pi2\)에서 부분합이 1로 가는 것을 같은 코드로 확인했다. ↩ ↩²
Strang, Introduction to Linear Algebra 5판, 10.5절 “Fourier Series: Linear Algebra for Functions”(함수의 내적, 직교성, 계수 = 사영). ↩
Stein, Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, 2장 “Basic Properties of Fourier Series”, 3장 “Convergence of Fourier Series”(평균제곱 수렴, 파스발 항등식, 최선 근사). ↩
정의 절의 계수 공식(사영 공식)과 정리의 세 항목(점별 수렴, 파스발 항등식, 최선 근사)을 근거로 그렸다. ↩
깁스 봉우리의 극한은 \(\frac2\pi\int_0^\pi\frac{\sin t}{t}dt \approx 1.17898\)이고, 30_fourier-series_verify.py로 부분합의 최댓값과 함께 계산했다. JPEG의 \(8 \times 8\) 이산 코사인 변환은 JPEG 표준(ITU-T T.81)에, MP3의 MDCT는 MPEG-1 Audio Layer III 표준에 정의되어 있다. ↩ ↩²