교재: OpenStax Calculus Volume 1–3 (공개 교재)

먼저 알아야 할 것

1단원 · 극한과 연속

읽기 전에
  1. (x² − 1)/(x − 1)은 x = 1에서 값이 없다. 그 근처에서는 어떤 값에 가까워질까? → 극한
  2. x³ − x − 2 = 0의 근이 1과 2 사이에 있다는 것을 근을 구하지 않고 어떻게 알 수 있을까? → 연속과 사잇값 정리
  3. 걸음 폭이 점점 작아지면 결국 어딘가에 멈출까? → 수열의 극한과 e
번호 개념 한 줄 개념 코드 연습
01 극한 한없이 다가갈 때 가까워지는 값. ε-δ 정의 (무거움) 그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증 —
02 연속과 사잇값 정리 부호가 바뀌면 그 사이에 근이 있다 그림1 · 그림 코드 · 검증 —
03 수열의 극한과 e 수열의 수렴, 단조 유계 수렴, (1 + 1/n)n → e 그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증 —

떠올려 보기: 노트를 닫고 함수의 극한과 수열의 극한을 ε으로 쓴 두 정의를 나란히 적고, 연속의 세 조건과 이분법이 사잇값 정리에 기대는 이유를 덧붙인다.

2단원 · 미분

읽기 전에
  1. 수치 미분에서 h를 1e-15처럼 아주 작게 하면 더 정확해질까? → 도함수
  2. sin(x²)를 미분하면 cos(2x)일까? → 연쇄 법칙
  3. 도함수가 0인 점은 늘 봉우리나 골짜기일까? → 도함수의 활용과 최적화
번호 개념 한 줄 개념 코드 연습
04 도함수 순간 변화율 = 접선의 기울기 (무거움) 그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증 —
05 미분 법칙 합·곱·몫, ex·ln x·sin x의 도함수 그림1 · 그림 코드 · 검증 —
06 연쇄 법칙 합성함수의 변화율은 변화율들의 곱. 역함수·음함수 미분 (무거움) 그림1 · 그림 코드 · 검증 미분 계산 예제 사다리
07 도함수의 활용과 최적화 증가·감소, 극값, 볼록성으로 최대·최소를 찾는다 (무거움) 그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증 최적화 문제 예제 사다리
08 평균값 정리 평균 변화율과 같은 순간 변화율이 어딘가에 있다 그림1 · 그림 코드 · 검증 —
09 로피탈 정리와 증가 속도 0/0, ∞/∞ 꼴 극한. log ≪ 다항 ≪ 지수 그림1 · 그림 코드 · 검증 —
10 선형 근사와 뉴턴 방법 곡선을 접선으로 근사하고, 접선의 영점으로 근을 빨리 찾는다 그림1 · 그림2 · 구현 · 그림 코드 · 검증 —

떠올려 보기: 미분 법칙표를 빈 종이에 다시 쓰고, 연쇄 법칙으로 시그모이드의 도함수를 유도한 뒤, 최적화 문제의 네 하위목표를 적어 본다.

3단원 · 적분

읽기 전에
  1. 속도계 기록만 있다면 이동 거리를 어떻게 구할까? → 정적분과 리만 합
  2. 배열의 누적합과 미분·적분은 어떻게 닮았을까? → 미적분의 기본정리
  3. ∫₁^∞ 1/x dx와 ∫₁^∞ 1/x² dx 중 넓이가 유한한 것은? → 이상적분
번호 개념 한 줄 개념 코드 연습
11 정적분과 리만 합 잘게 나눈 직사각형 넓이 합의 극한 = 누적량 (무거움) 그림1 · 그림2 · 구현 · 그림 코드 · 검증 —
12 미적분의 기본정리 적분과 미분은 서로를 되돌린다 (무거움) 그림1 · 그림 코드 · 검증 —
13 치환적분 연쇄 법칙을 거꾸로 쓴다 그림1 · 그림 코드 · 검증 —
14 부분적분 곱의 미분을 거꾸로 쓴다 그림1 · 그림 코드 · 검증 적분 계산 예제 사다리
15 이상적분 무한 구간과 무한 값을 극한으로 다룬다 그림1 · 그림 코드 · 검증 —
16 합 ↔ 적분 넓이로 합을 위아래에서 끼운다. Hn ≈ ln n, ln n! ≈ n ln n − n 그림1 · 그림 코드 · 검증 —

떠올려 보기: 노트를 닫고 리만 합의 정의, 기본정리의 두 부분, 치환과 부분적분을 가르는 신호를 적고, 조화수를 적분으로 끼우는 그림을 그려 본다.

4단원 · 급수

읽기 전에
  1. 항이 0으로 가면 무한히 더한 값은 늘 유한할까? → 급수의 수렴
  2. 계산기는 e^x나 sin x를 어떻게 계산할까? → 테일러 급수
번호 개념 한 줄 개념 코드 연습
17 급수의 수렴 무한히 더해도 유한한 조건. 비교·비·적분 판정 그림1 · 그림 코드 · 검증 —
18 테일러 급수 한 점의 미분 정보로 함수를 다항식으로 근사. 오차 한계 (무거움) 그림1 · 그림2 · 구현 · 그림 코드 · 검증 —

떠올려 보기: 판정법 다섯 가지를 언제 쓰는지와 함께 적고, e^x·sin x·cos x·ln(1+x)의 급수와 성립 범위, 테일러 나머지 한계를 써 본다.

5단원 · 다변수 미분

읽기 전에
  1. 산 위에서 가장 가파르게 오르는 방향은 어떻게 알 수 있을까? → 그래디언트와 방향도함수
  2. 신경망은 수백만 개 가중치의 기울기를 왜 한 번의 역방향 계산으로 다 얻을까? → 연쇄 법칙 ↔ 역전파
  3. 기울기가 0인 점은 늘 꼭대기나 바닥일까? → 헤세 행렬과 극값 판정
번호 개념 한 줄 개념 코드 연습
19 다변수 함수와 편미분 다른 변수는 고정하고 한 방향으로만 미분 그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증 —
20 그래디언트와 방향도함수 가장 가파르게 오르는 방향과 그 기울기 (무거움) 그림1 · 그림 코드 · 검증 —
21 다변수 연쇄 법칙과 야코비 행렬 변환의 미분은 행렬이고, 합성은 야코비의 곱 (무거움) 그림1 · 그림 코드 · 검증 —
22 연쇄 법칙 ↔ 역전파 계산 그래프를 거꾸로 훑으며 야코비를 곱하는 것이 역전파 구현 · 검증 —
23 헤세 행렬과 극값 판정 2차 도함수 행렬의 부호로 최소·최대·안장점을 가린다 그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증 —
24 행렬 미분 ∇(xᵀAx) = (A + Aᵀ)x 같은 규칙으로 벡터식을 한 번에 미분 그림1 · 그림 코드 · 검증 —
25 중적분과 변수변환 넓이 위의 누적. 좌표를 바꾸면 야코비안만큼 보정. 가우스 적분 그림1 · 그림 코드 · 검증 —

떠올려 보기: 노트를 닫고 편미분·그래디언트·야코비 행렬·헤세 행렬이 각각 무엇의 모음인지 적고, 연쇄 법칙이 행렬 곱이 되는 이유와 극좌표 적분에 r이 붙는 이유를 한 줄씩 붙인다.

6단원 · 최적화

읽기 전에
  1. 학습률을 두 배로 키우면 학습도 두 배 빨라질까? → 경사 하강법
  2. 경사 하강법이 멈춘 곳이 가장 낮은 곳이라고 언제 믿을 수 있을까? → 볼록 함수와 볼록 최적화
  3. 둘레가 정해진 울타리로 가장 넓은 땅을 두르려면, 제약을 어떻게 식에 넣을까? → 라그랑주 승수법
번호 개념 한 줄 개념 코드 연습
26 경사 하강법 기울기 반대로 조금씩 내려간다. 학습률이 성패를 가른다 (무거움) 그림1 · 그림2 · 구현 · 그림 코드 · 검증 경사 하강법 예제 사다리
27 볼록 함수와 볼록 최적화 그릇 모양 함수에서는 지역 최소 = 전역 최소 그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증 —
28 라그랑주 승수법 제약 위 최적점에서는 두 그래디언트가 평행하다 그림1 · 그림 코드 · 검증 —

떠올려 보기: 노트를 닫고 경사 하강법의 갱신 식과 학습률의 안정 조건, 볼록 함수의 정의와 판정법, 라그랑주 조건을 적고, 셋이 ‘기울기가 0인 점’ 이야기로 어떻게 이어지는지 한 문단으로 쓴다.

7단원 · 미분방정식과 푸리에

읽기 전에
  1. 게임은 매 프레임 물체 위치를 어떻게 계산할까? 프레임 간격이 커지면 무슨 일이 생길까? → 미분방정식과 오일러 방법
  2. 뚝 끊기는 사각파를 매끄러운 사인파만으로 만들 수 있을까? → 푸리에 급수
  3. 여러 통화를 전선 하나로 동시에 보내도 섞이지 않는 이유는? → 푸리에 변환과 합성곱
번호 개념 한 줄 개념 코드 연습
29 미분방정식과 오일러 방법 변화의 규칙에서 미래를 계산한다. 작은 걸음으로 시뮬레이션 그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증 —
30 푸리에 급수 주기 신호 = 사인파들의 합. 계수는 내적(사영)으로 구한다 그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증 —
31 푸리에 변환과 합성곱 신호를 주파수별 세기로. 합성곱은 곱이 된다 그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증 —

떠올려 보기: 오일러 방법의 한 걸음과 안정 조건, 푸리에 계수 공식과 그것이 사영인 이유, 합성곱 정리와 변조 성질을 빈 종이에 쓰고, 경사 하강법과 오일러 방법이 같은 식인 이유를 덧붙인다.

다른 과목과의 연결

흐름

점선 테두리는 아직 작성하지 않은 개념이다.

graph TD
  n01["01 극한"]
  n02["02 연속과 사잇값 정리"]
  n03["03 수열의 극한과 e"]
  n04["04 도함수"]
  n05["05 미분 법칙"]
  n06["06 연쇄 법칙"]
  n07["07 도함수의 활용과 최적화"]
  n08["08 평균값 정리"]
  n09["09 로피탈 정리와 증가 속도"]
  n10["10 선형 근사와 뉴턴 방법"]
  n11["11 정적분과 리만 합"]
  n12["12 미적분의 기본정리"]
  n13["13 치환적분"]
  n14["14 부분적분"]
  n15["15 이상적분"]
  n16["16 합 ↔ 적분"]
  n17["17 급수의 수렴"]
  n18["18 테일러 급수"]
  n19["19 다변수 함수와 편미분"]
  n20["20 그래디언트와 방향도함수"]
  n21["21 다변수 연쇄 법칙과 야코비 행렬"]
  n22["22 연쇄 법칙 ↔ 역전파"]
  n23["23 헤세 행렬과 극값 판정"]
  n24["24 행렬 미분"]
  n25["25 중적분과 변수변환"]
  n26["26 경사 하강법"]
  n27["27 볼록 함수와 볼록 최적화"]
  n28["28 라그랑주 승수법"]
  n29["29 미분방정식과 오일러 방법"]
  n30["30 푸리에 급수"]
  n31["31 푸리에 변환과 합성곱"]
  n01 --> n02
  n01 --> n03
  n01 --> n04
  n04 --> n05
  n05 --> n06
  n06 --> n07
  n02 --> n07
  n07 --> n08
  n08 --> n09
  n07 --> n10
  n01 --> n11
  n11 --> n12
  n08 --> n12
  n12 --> n13
  n06 --> n13
  n12 --> n14
  n13 --> n15
  n14 --> n15
  n09 --> n15
  n12 --> n16
  n03 --> n17
  n15 --> n17
  n17 --> n18
  n05 --> n18
  n04 --> n19
  n19 --> n20
  n20 --> n21
  n06 --> n21
  n21 --> n22
  n20 --> n23
  n21 --> n24
  n12 --> n25
  n23 --> n26
  n23 --> n27
  n20 --> n28
  n10 --> n29
  n14 --> n30
  n30 --> n31
  n15 --> n31
  classDef todo stroke-dasharray: 4 3