삼각함수 항등식

요약

삼각함수 공식은 외울 것이 많아 보이지만, 사실은 덧셈정리 두 개에서 배각·반각·곱을 합으로 바꾸는 공식이 모두 나온다. 덧셈정리는 “두 번 돌린 것 = 두 각을 더해 한 번 돌린 것”을 좌표로 적은 것이다. 이 공식들 덕분에 신호를 곱해 주파수를 옮기는 변조, 사인파의 합성, 회전의 합성을 계산할 수 있다. 다만 항등식은 모든 각에서 맞아야 하므로, 값 몇 개를 넣어 맞는 것만으로는 증명이 되지 않는다.

예시로 보기

$\cos 75°$는 특수각이 아니지만 $75° = 45° + 30°$로 쪼개면 계산된다.

\[\cos 75° = \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30° = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} - \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4} \approx 0.2588\]

그림으로는 이렇다. 단위원에서 $(1, 0)$을 $45°$ 돌리고 다시 $30°$ 돌린 점은 한 번에 $75°$ 돌린 점과 같다. 두 번째 회전은 첫 번째 회전의 결과 $(\cos 45°, \sin 45°)$를 통째로 돌린다. 그 좌표를 계산하면 덧셈정리가 나온다. 선형대수학에서 이 계산을 회전 행렬의 곱으로 다시 만난다.

정의

삼각함수 항등식

모든 실수 $\alpha$, $\beta$, $\theta$, $x$에 대해(탄젠트는 분모가 0이 아닐 때)¹

덧셈정리: $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$, $\ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$, $\ \tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$
배각: $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$, $\ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$
차수 내림(반각): $\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2}$, $\ \cos^2\theta = \dfrac{1 + \cos 2\theta}{2}$
곱 → 합: $\sin\alpha\sin\beta = \tfrac12[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$, $\ \cos\alpha\cos\beta = \tfrac12[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)]$, $\ \sin\alpha\cos\beta = \tfrac12[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$
합 → 곱: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\dfrac{\alpha + \beta}{2}\cos\dfrac{\alpha - \beta}{2}$
합성: $a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \varphi)$. 여기서 $R = \sqrt{a^2 + b^2}$이고 $\varphi$는 $\cos\varphi = a/R$, $\sin\varphi = b/R$인 각이다.

가정은 “모든 각에서”라는 것 하나다. 항등식은 방정식과 다르다. $\sin x = \frac12$은 특정한 $x$에서만 참인 방정식이고, $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$은 모든 $x$에서 참인 항등식이다.

증명

$\cos(\alpha - \beta)$ 하나를 거리 계산으로 증명하고, 나머지는 모두 거기서 대수로 끌어낸다.

flowchart TD
  A["cos(α − β): 거리를 두 번 재서 증명"] -->|"β 대신 −β"| B["cos(α + β)"]
  A -->|"sin x = cos(π/2 − x)"| C["sin(α ± β)"]
  B --> D["배각"]
  C --> D
  D --> E["차수 내림"]
  A --> F["곱 → 합"]
  B --> F
  C --> F
  F -->|"거꾸로 읽기"| G["합 → 곱"]
  C --> H["합성 a sin x + b cos x"]

맨 위의 공식 하나만 기하로 보이고, 아래는 모두 대입과 대칭으로 이어진다. 화살표를 거슬러 올라가면 어떤 공식이든 출발점이 어디인지 찾을 수 있다².

증명 펼치기

거리 두 번 재기: 단위원 위 두 점 $P(\alpha) = (\cos\alpha, \sin\alpha)$, $P(\beta) = (\cos\beta, \sin\beta)$ 사이 거리의 제곱은

\[(\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2 = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)\]

이다. — 전개하고 $\sin^2 + \cos^2 = 1$을 두 번 씀

돌려서 다시 재기: 두 점을 함께 $-\beta$만큼 돌리면 $P(\alpha - \beta)$와 $P(0) = (1, 0)$이 된다. 회전은 거리를 바꾸지 않으므로 거리 제곱은 $(\cos(\alpha - \beta) - 1)^2 + \sin^2(\alpha - \beta) = 2 - 2\cos(\alpha - \beta)$와 같다.
비교: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.
$\cos(\alpha + \beta)$: 3에 $\beta$ 대신 $-\beta$를 넣고 $\cos(-\beta) = \cos\beta$, $\sin(-\beta) = -\sin\beta$를 쓴다.
$\sin(\alpha \pm \beta)$: $\sin x = \cos(\pi/2 - x)$이므로 $\sin(\alpha + \beta) = \cos\big((\pi/2 - \alpha) - \beta\big)$에 3을 적용한다.
배각: 덧셈정리에 $\beta = \alpha$. $\cos 2\theta$의 나머지 두 꼴은 $\sin^2 = 1 - \cos^2$를 넣는다.
차수 내림: 6의 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$를 $\sin^2\theta$에 대해 푼다.
곱 → 합: $\cos(\alpha - \beta)$와 $\cos(\alpha + \beta)$의 식을 빼거나 더하고 2로 나눈다. 합 → 곱은 $u = \frac{\alpha + \beta}{2}$, $v = \frac{\alpha - \beta}{2}$로 두고 곱 → 합을 거꾸로 읽는다.
합성: $R\sin(x + \varphi) = R\sin x\cos\varphi + R\cos x\sin\varphi = a\sin x + b\cos x$. $(a/R)^2 + (b/R)^2 = 1$이라 그런 $\varphi$가 있다. ∎

스스로 설명해 보기

1. 2단계 “회전은 거리를 바꾸지 않는다”는 왜 써도 되는가?

회전은 도형을 모양 그대로 옮기는 변환(강체 운동)이라 두 점 사이 거리가 그대로다. 증명 전체가 이 기하학적 사실 하나에 기대고 있다.

2. 4단계에서 부호가 바뀌는 곳은 어디이고, 왜 바뀌나?

$\sin\alpha\sin(-\beta) = -\sin\alpha\sin\beta$라서 가운데 부호가 $+$에서 $-$로 바뀐다. 사인은 홀함수, 코사인은 짝함수이기 때문이다.

이 증명의 핵심 아이디어는?

같은 양(거리)을 두 가지 방법으로 계산해 같다고 놓는다. 그리고 공식 하나를 증명한 뒤, 나머지는 대입과 대칭으로 끌어낸다.

같은 방법을 쓸 수 있는 다른 상황은?

같은 것을 두 번 세어 등식을 얻는 방법은 이산수학의 조합적 증명에서 다시 쓴다. 공식 하나에서 나머지를 끌어내는 방식은 오일러 공식으로 더 짧아진다. $e^{i(\alpha+\beta)} = e^{i\alpha}e^{i\beta}$의 실수부와 허수부가 덧셈정리다.

예제

교류의 평균 전력. 전압 $A\sin\omega t$가 저항에 걸리면 전력은 $\sin^2\omega t$에 비례한다. 한 주기 평균은 얼마인가?

차수 내림: $\sin^2\omega t = \frac12 - \frac12\cos 2\omega t$.
평균 내기: $\cos 2\omega t$는 한 주기 동안 위아래가 같아 평균이 0이다. 그래서 평균은 $\frac12$이다.
해석: 진폭 $A$인 교류는 크기 $A/\sqrt2$인 직류와 같은 일을 한다(실효값). 가정용 220 V가 실효값이다.

$그림$

$\sin^2\omega t$(파랑)는 $\sin\omega t$보다 두 배 빠르게 0과 1 사이를 오간다. 1/2 위로 솟은 부분과 아래로 꺼진 부분의 넓이가 같아서 평균이 1/2이다³.

변조. 64 kHz 반송파 $\cos(2\pi \cdot 64000\,t)$에 1 kHz 음성 $\cos(2\pi \cdot 1000\,t)$을 곱하면 무엇이 나오는가?

곱 → 합: $\cos\alpha\cos\beta = \frac12[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)]$.
대입: $\frac12\cos(2\pi \cdot 63000\,t) + \frac12\cos(2\pi \cdot 65000\,t)$.
해석: 음성이 1 kHz 자리에서 63·65 kHz 자리로 옮겨졌다. 이렇게 채널마다 다른 반송파를 곱해 주파수 구간을 나눠 쓰는 것이 주파수 분할 다중화다⁴.

합성. $\sin x + \sqrt3\cos x$를 사인파 하나로 쓴다. $R = \sqrt{1 + 3} = 2$, $\cos\varphi = \frac12$, $\sin\varphi = \frac{\sqrt3}{2}$이므로 $\varphi = \frac{\pi}{3}$, 즉 $2\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$이다.

연습: 삼각함수 항등식 예제 사다리

검증: 모든 항등식을 무작위 각 2만 쌍에서 확인(실험으로 확인됨. 증명은 위), 거리 불변, $\cos 75°$, $\sin^2$ 평균 0.5, 변조 3,000점, 합성, 반례, 사다리의 답 — 14_trig-identities_verify.py

활용

통신. 변조(곱 → 합)와 복조가 곱셈으로 주파수를 옮긴다.
소리. 주파수가 조금 다른 두 음을 함께 울리면 $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$에 따라 소리가 주기적으로 커졌다 작아진다(맥놀이). 조율할 때 맥놀이가 사라지면 두 음의 주파수가 같다.

$그림$

주파수가 20 Hz와 22 Hz인 두 사인파를 더한 것이다. 21 Hz로 빠르게 떨리면서, 그 떨림의 크기가 점선을 따라 1초에 두 번 커졌다 작아진다³.

그래픽. 점을 $\alpha$ 돌린 뒤 $\beta$ 돌리는 것이 $\alpha + \beta$ 한 번 돌리는 것과 같다는 사실이 회전을 누적하는 코드의 근거다.
빠른 푸리에 변환. FFT는 덧셈정리로 $\cos$, $\sin$ 값을 서로에게서 만들어 계산을 아낀다(이산 푸리에 변환과 FFT).
알고리즘에서: 길이가 $r_1$, $r_2$인 두 벡터 $p = r_1(\cos\alpha, \sin\alpha)$, $q = r_2(\cos\beta, \sin\beta)$로 $p_x q_y - p_y q_x$(외적)를 계산하면, 덧셈정리로 $r_1 r_2 \sin(\beta - \alpha)$가 나온다. 그래서 각을 구하지 않고 이 값의 부호만 보고 $q$가 $p$의 왼쪽인지 오른쪽인지 안다(계산 기하 기초).

연결

선수: 삼각함수
이어지는 개념: 사인파의 합성, 복소수의 극형식과 오일러 공식, 선형대수학의 브리지 문서 덧셈정리 ↔ 복소수 곱 ↔ 회전 행렬

자주 하는 오해

“sin(α + β) = sin α + sin β”

틀렸다. 괄호를 푸는 분배법칙 $k(a + b) = ka + kb$처럼 보여서 그럴듯하다. 하지만 $\sin$은 곱하는 수가 아니라 함수라 분배되지 않는다. $\alpha = \beta = \frac{\pi}{2}$이면 $\sin\pi = 0$인데 $\sin\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} = 2$다. 올바른 식에는 $\cos$이 섞여 들어간다: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

확인 문제

C1 sin(α + β)와 cos(α + β)의 덧셈정리를 쓰라.

답: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.

흔한 오답: 코사인 쪽 부호를 $+$로 쓰는 것. $\alpha = \beta = \pi/2$를 넣어 $\cos\pi = -1$이 나오는지로 확인한다.

C2 덧셈정리에서 cos 2θ의 세 가지 꼴을 끌어내라.

답: $\beta = \alpha = \theta$를 넣으면 $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$. 여기에 $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$를 넣으면 $2\cos^2\theta - 1$, $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$를 넣으면 $1 - 2\sin^2\theta$.

C3 (a) cos 75°의 정확한 값을 구하라. (b) sin²x의 한 주기 평균은 얼마인가?

답: (a) $\cos(45° + 30°) = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4} \approx 0.2588$. (b) $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$이고 $\cos 2x$의 평균이 0이므로 $\frac12$.

C4 64 kHz 반송파에 1 kHz 신호를 곱하면 어떤 주파수 성분이 생기는가? 어느 항등식으로 알 수 있는가?

답: 63 kHz와 65 kHz 성분이 절반 크기로 생긴다. 곱 → 합 공식 $\cos\alpha\cos\beta = \frac12[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)]$ 때문이다. 곱셈이 주파수를 더하고 뺀 자리로 옮긴다.

OpenStax, Precalculus 2e, 7.1절 “Simplifying and Verifying Trigonometric Identities”, 7.2절 “Sum and Difference Identities”, 7.3절 “Double-Angle, Half-Angle, and Reduction Formulas”, 7.4절 “Sum-to-Product and Product-to-Sum Formulas”. 단위원 위 두 점의 거리를 두 번 재는 덧셈정리 증명은 표준적인 증명 방법 중 하나다. ↩
증명의 1~9단계가 각각 앞의 어느 공식을 쓰는지를 근거로 그렸다(OpenStax, Precalculus 2e, 7.2~7.4절). ↩
14_trig-identities_plot.py로 그렸고, 그림에 쓴 값($\sin^2$의 한 주기 평균 0.5, 합 → 곱 공식으로 두 사인파의 합이 $2\sin(2\pi \cdot 21t)\cos(2\pi \cdot 1 \cdot t)$)을 같은 코드로 확인했다. ↩ ↩²
반송파를 곱하는 진폭 변조와 실효값 $A/\sqrt2$은 통신·전기 공학의 표준 내용이다. 실제 주파수 분할 다중화는 한쪽 옆띠만 남기는 등 더 다듬은 변조를 쓴다. ↩