사용 개념: 도함수의 활용과 최적화의 임계점과 판정법.

이 방법을 떠올리는 신호는 “가장 크게”, “가장 작게”, “최적의”와 함께 서로 상충하는 두 요소가 나오는 문제다. 풀이는 늘 같은 네 하위목표로 나뉜다1.

  1. 변수와 목적함수 정하기: 무엇을 최대·최소로 할지 정하고 식으로 쓴다.
  2. 변수 하나로 줄이기: 제약 조건으로 다른 변수를 없애고, 변수가 움직일 수 있는 범위를 적는다.
  3. 임계점 찾기: 도함수를 0으로 놓고 푼다.
  4. 판정하고 해석하기: 끝점과 비교하거나 이계도함수로 최대·최소를 확인하고, 단위와 함께 답한다.

문제 1 · 완전한 풀이

울타리 100 m로 직사각형 텃밭을 두를 때 넓이의 최댓값은?

  1. 변수와 목적함수: 가로 \(w\), 세로 \(\ell\), 넓이 \(A = w\ell\).
  2. 하나로 줄이기: \(2w + 2\ell = 100\)이므로 \(\ell = 50 - w\), \(A(w) = w(50 - w)\), \(0 < w < 50\).
  3. 임계점: \(A'(w) = 50 - 2w = 0\)에서 \(w = 25\).
  4. 판정과 해석: \(A''(w) = -2 < 0\)이라 최대. 정사각형 25 m × 25 m, 넓이 625 m².

문제 2 · 마지막 하위목표만 빈칸

\(n > 0\)에서 \(f(n) = \dfrac{100}{n} + n\)의 최솟값은?

  1. 변수와 목적함수: 주어진 \(f(n)\).
  2. 하나로 줄이기: 이미 한 변수, \(n > 0\).
  3. 임계점: \(f'(n) = -\frac{100}{n^2} + 1 = 0\)에서 \(n = 10\).
  4. 판정과 해석: __
답

\(f''(n) = \frac{200}{n^3} > 0\)이라 극소이고 임계점이 하나뿐이라 최소. 최솟값 \(f(10) = 20\). 일반적으로 \(\frac{a}{n} + bn\)은 \(n = \sqrt{a/b}\)에서 최솟값 \(2\sqrt{ab}\)다.

문제 3 · 하위목표 절반이 빈칸

긴 작업을 \(T\)분마다 저장한다. 저장 한 번에 5분이 들고 평균 1,440분마다 고장이 난다. 낭비율 \(W(T) = \frac{5}{T} + \frac{T}{2880}\)을 최소로 하는 \(T\)는?

  1. 변수와 목적함수: 주어진 \(W(T)\).
  2. 하나로 줄이기: __
  3. 임계점: __
  4. 판정과 해석: \(W''(T) = \frac{10}{T^3} > 0\)이라 최소. 약 2시간마다 저장한다.
답
  1. 이미 한 변수이고 범위는 \(T > 0\).
  2. \(W'(T) = -\frac{5}{T^2} + \frac{1}{2880} = 0\)에서 \(T^2 = 14400\), \(T = 120\)분(\(T > 0\)이라 음의 근은 버린다).

문제 4 · 독립 문제

부피가 1,000 cm³인 뚜껑 있는 원통 캔의 겉넓이를 최소로 하는 반지름과 높이는?

답

겉넓이 \(S = 2\pi r^2 + 2\pi r h\), 부피 조건 \(\pi r^2 h = 1000\)에서 \(h = \frac{1000}{\pi r^2}\), \(S(r) = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}\), \(r > 0\). \(S'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0\)에서 \(r = \left(\frac{500}{\pi}\right)^{1/3} \approx 5.42\) cm. \(S'' > 0\)이라 최소. 그때 \(h = \frac{1000}{\pi r^2} = 2r \approx 10.84\) cm로, 높이가 지름과 같다.

흔한 오답: 부피 조건으로 변수를 줄이지 않고 \(S\)를 \(r\)과 \(h\) 두 변수 그대로 미분하는 것.

변형 문제

위 원통에서 뚜껑이 없으면 최적의 높이와 반지름의 관계는 어떻게 바뀌는가?

답

\(S = \pi r^2 + \frac{2000}{r}\), \(S' = 2\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0\)에서 \(r^3 = \frac{1000}{\pi}\). 그때 \(h = \frac{1000}{\pi r^2} = r\)로, 높이가 반지름과 같아진다. 뚜껑 재료가 빠져 더 넓적한 캔이 유리하다.

검증: 문제 1~4의 최적값을 격자 탐색으로 확인 — 07_curve-analysis_verify.py

  1. OpenStax, Calculus Volume 1, 4.7절 “Applied Optimization Problems”(최적화 문제 풀이 전략) ↩