요약

땅 위에 쌓인 눈의 총량을 구하려면, 땅을 작은 칸으로 나눠 칸마다 “넓이 × 눈 높이”를 더하면 된다. 이것이 이중적분이고, 실제 계산은 한 방향씩 차례로 적분(반복적분)해서 한다. 원이나 부채꼴처럼 둥근 영역은 극좌표로 바꾸면 쉬워지는데, 좌표를 바꾸면 작은 칸의 넓이가 달라지므로 그 배율(야코비 행렬식)을 곱해 줘야 한다. 이 보정을 빠뜨리는 것이 가장 흔한 실수이고, 극좌표에서는 반지름만큼의 배율이다.

예시로 보기

정사각형 \([0, 1] \times [0, 1]\) 위의 곡면 \(z = xy\) 아래 부피를 구한다. 먼저 \(y\)를 고정하고 \(x\)로 적분한 뒤, 그 결과를 \(y\)로 적분한다.

\[\int_0^1\left(\int_0^1 xy\,dx\right)dy = \int_0^1\frac{y}{2}\,dy = \frac14.\]

\(x\)부터 하든 \(y\)부터 하든 같다. 원판 \(x^2 + y^2 \le 1\)처럼 둥근 영역에서는 반지름 \(r\)과 각 \(\theta\)로 나누는 편이 편하다. 이때 작은 칸 “\(r\) 방향 \(dr\), 각 방향 \(d\theta\)“의 넓이는 \(dr \times d\theta\)가 아니라 약 \(r\,dr\,d\theta\)다. 바깥쪽 칸일수록 호의 길이 \(r\,d\theta\)가 길기 때문이다. 칸의 넓이가 아래 정리의 \(dA\), 배율 \(r\)이 야코비 행렬식이다.

그림

반지름 1인 원판을 \(dr = 0.25\), \(d\theta = \frac{\pi}{8}\)로 나눴다. 칠한 두 칸은 \(dr \times d\theta\)가 똑같지만, 바깥 칸의 넓이가 안쪽 칸의 7배다. 두 칸의 가운데 반지름이 0.875와 0.125라 그 비율 7이 그대로 넓이 비율이 된다. 이것이 배율 \(r\)이다1.

정의

정의

영역 \(R\) 위의 이중적분 \(\iint_R f\,dA\)는 \(R\)을 작은 칸으로 나눠 “칸의 넓이 × 칸 안의 함숫값”을 더한 리만 합의 극한이다. \(f \ge 0\)이면 곡면 아래의 부피다2.

푸비니 정리와 변수변환
  1. 반복적분(푸비니): \(f\)가 직사각형 \([a, b] \times [c, d]\)에서 연속이면 \(\iint f\,dA = \int_c^d\int_a^b f\,dx\,dy = \int_a^b\int_c^d f\,dy\,dx\).
  2. 변수변환: \((u, v) \mapsto (x, y) = T(u, v)\)가 영역 \(S\)를 \(R\)로 일대일로 보내고 미분 가능하면
\[\iint_R f(x, y)\,dx\,dy = \iint_S f(T(u, v))\,\left\vert \det J_T(u, v)\right\vert \,du\,dv.\]

극좌표 \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\)에서는 \(\vert \det J\vert = r\)이라 \(dx\,dy = r\,dr\,d\theta\)다.

\(\vert \det J_T\vert\)는 행렬식이 넓이의 배율이라는 사실에서 나온다. \(T\)를 한 점 근처에서 선형 근사하면 작은 사각형 \(du \times dv\)가 넓이 \(\vert \det J_T\vert \,du\,dv\)인 평행사변형이 된다.

떠올리는 신호. 영역이 원·부채꼴·고리이거나 식에 \(x^2 + y^2\)이 있으면 극좌표, 영역이 기울어진 평행사변형이면 그것을 직사각형으로 펴는 일차 변환을 쓴다.

flowchart TD
    A["영역 R 위의 이중적분"] --> B{"R의 모양"}
    B -- "직사각형" --> C["푸비니: 한 방향씩 반복적분"]
    B -- "원, 부채꼴, 고리 또는 식에 x² + y²" --> D["극좌표로 바꾼다"]
    B -- "기울어진 평행사변형" --> E["직사각형으로 펴는 일차 변환"]
    D --> F["배율 r을 곱한다"]
    E --> G["배율: 야코비 행렬식의 절댓값"]
    F --> C
    G --> C

어느 길로 가든 마지막 계산은 반복적분이다. 변환을 거친 길에서만 배율을 곱한다. 이것을 빠뜨리는 것이 가장 흔한 실수다3.

예제

가우스 적분. \(I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\)는 원시함수를 기본 함수로 쓸 수 없는데, 제곱해서 이중적분으로 바꾸면 풀린다.

  1. 제곱: \(I^2 = \int e^{-x^2}dx\int e^{-y^2}dy = \iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2 + y^2)}\,dx\,dy\)(\(\mathbb{R}\)은 실수 전체, \(\mathbb{R}^n\)은 실수 \(n\)개짜리 목록 전체).
  2. 극좌표: \(x^2 + y^2 = r^2\), \(dx\,dy = r\,dr\,d\theta\). \(I^2 = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}r\,dr\,d\theta\).
  3. 안쪽 적분: \(u = r^2\)으로 치환하면 \(\int_0^\infty e^{-r^2}r\,dr = \frac12\). 곱하기 \(2\pi\)로 \(I^2 = \pi\).
  4. 결론: \(I = \sqrt\pi\). 이상적분 문서에서 미뤄 둔 값이다. 정규분포의 넓이가 1이 되도록 앞에 붙는 \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\)가 여기서 나온다.
검증: 예시의 \(\frac14\)(두 순서의 반복적분과 2차원 리만 합), 원판 넓이 \(\pi R^2\)(극좌표, 배율 \(r\)을 빼면 틀림), 가우스 적분 \(\sqrt\pi\)(수치), 타원 넓이 \(\pi ab\)(변환 \(x = au\), \(y = bv\)의 행렬식), 몬테카를로로 원의 넓이 추정, 박스–뮬러 표본의 평균·분산 — 25_multiple-integrals_verify.py

활용

  • 확률. 두 확률변수의 결합 확률밀도를 영역에서 이중적분하면 그 영역에 들 확률이다(결합분포와 조건부 기댓값).
  • 정규분포 표본 만들기. 박스–뮬러 변환은 균등분포 난수 두 개 \(U_1, U_2\)로 \(R = \sqrt{-2\ln U_1}\), \(\Theta = 2\pi U_2\)를 만들고 \((R\cos\Theta, R\sin\Theta)\)를 내놓는다. 극좌표 변수변환 덕분에 두 좌표가 서로 독립인 표준정규분포를 따른다4.
  • 몬테카를로 적분. 차원이 높으면 칸으로 나누는 방법은 칸 수가 폭발한다. 무작위 점을 뿌려 평균을 내면 오차가 표본 수의 제곱근에 반비례해, 차원과 상관없이 쓸 수 있다. 렌더링의 조명 계산이 이 방법이다4.
  • 알고리즘에서: 겹친 직사각형들의 넓이는 x마다 세로로 덮인 길이를 구해 x 방향으로 쌓는 반복적분이다. 세그먼트 트리와 스위핑에서 안쪽 적분은 세그먼트 트리가, 바깥 적분은 사건 순회가 맡는다. 격자의 어떤 직사각형 합이든 모서리 네 값을 더하고 빼서 구하는 2차원 누적 합은 이중적분을 칸 단위로 한 것이다.

연결

확인 문제

C1 \(\iint_{[0,1]\times[0,2]}(x + y)\,dA\)를 구하라.

답: \(\int_0^2\int_0^1(x + y)\,dx\,dy = \int_0^2\left(\frac12 + y\right)dy = 1 + 2 = 3\).

C2 반지름 \(R\)인 원판의 넓이를 극좌표 적분으로 구하라.

답: \(\int_0^{2\pi}\int_0^R r\,dr\,d\theta = 2\pi \cdot \frac{R^2}{2} = \pi R^2\). 배율 \(r\)을 빼면 \(2\pi R\)이라는 틀린 답이 나온다.

C3 극좌표로 바꿀 때 \(dx\,dy = r\,dr\,d\theta\)에서 \(r\)이 붙는 이유를 두 가지 방법으로 설명하라.

답: (1) 그림으로: 반지름 \(dr\), 각 \(d\theta\)인 작은 칸은 가로 \(dr\), 세로(호의 길이) \(r\,d\theta\)인 거의 직사각형이라 넓이가 \(r\,dr\,d\theta\)다. (2) 식으로: 변환 \((r, \theta) \mapsto (r\cos\theta, r\sin\theta)\)의 야코비 행렬식이 \(r\)이고, 행렬식이 넓이의 배율이다.

  1. 25_multiple-integrals_plot.py로 그렸고, 두 칸의 넓이 0.012와 0.086, 그 비율 7, 칸 64개 넓이의 합이 \(\pi\)인 것, 가운데 반지름 × \(dr\) × \(d\theta\)가 칸 넓이와 같은 것을 같은 코드로 확인했다. ↩

  2. OpenStax, Calculus Volume 3, 5.1절 “Double Integrals over Rectangular Regions”(리만 합, 푸비니 정리), 5.2절 “Double Integrals over General Regions”, 5.3절 “Double Integrals in Polar Coordinates”, 5.7절 “Change of Variables in Multiple Integrals”(야코비 행렬식). ↩

  3. 정리의 푸비니 정리와 변수변환, 떠올리는 신호를 근거로 그렸다. ↩

  4. 박스–뮬러 변환은 Box, Muller, “A note on the generation of random normal deviates”, Annals of Mathematical Statistics 29 (1958)의 방법이다. 몬테카를로 적분의 오차가 \(1/\sqrt N\)에 비례한다는 것은 중심극한정리에서 나온다(확률과 통계). 경로 추적 렌더링이 렌더링 방정식을 몬테카를로로 푸는 방식은 Kajiya, “The Rendering Equation”, SIGGRAPH (1986)에서 나왔다. 둘 다 25_multiple-integrals_verify.py에서 실험으로 확인했다. ↩ ↩2