정리

미적분의 기본정리 (Fundamental Theorem of Calculus)

Fundamental Theorem of Calculus · FTC · 미적분학의 기본정리 · 원시함수 …

갱신

2026-10-09

요약

물탱크의 물 양이 늘어나는 속도는 지금 수도꼭지에서 들어오는 양 그 자체다. 거꾸로, 한 시간 동안 들어온 물의 총량은 물 양의 처음과 끝 차이다. 이 두 문장이 미적분의 기본정리이고, “잘게 나눠 더한 극한”이던 적분을 “미분하면 그 함수가 되는 함수(원시함수)의 양 끝 값 차이”로 바꿔 준다. 다만 적분하는 함수가 구간 전체에서 연속이어야 하고, 원시함수를 식으로 쓸 수 없는 함수도 많아 그때는 수치 적분을 쓴다.

예시로 보기

배열의 누적합(prefix sum)이 같은 구조다. 배열 \(a = [3, 1, 4, 1, 5]\)의 누적합은 \(S = [0, 3, 4, 8, 9, 14]\)이고, \(S[k]\)는 앞에서부터 \(k\)개를 더한 값이다.

• 누적합의 차이는 원래 값이다: \(S[3] - S[2] = 4 = a\)의 세 번째 값.
• 구간의 합은 누적합 두 값의 차이다: 두 번째부터 네 번째까지의 합 \(1 + 4 + 1 = 6 = S[4] - S[1]\).

첫째 줄이 아래 정리의 1부(누적 함수를 미분하면 원래 함수), 둘째 줄이 2부(구간의 적분 = 원시함수의 차)다. 배열 \(a\)가 함수 \(f\), 누적합 \(S\)가 \(F\), “차이”가 도함수, “합”이 적분에 대응한다. 연속에서는 칸의 폭이 0으로 가는 극한이 붙는다.

정의

도함수가 \(f\)인 함수 \(F\)(\(F' = f\))를 \(f\)의 원시함수라 한다. \(f\)의 원시함수 전체를 \(\int f(x)\,dx = F(x) + C\)로 쓰고 부정적분이라 부른다. 원시함수끼리는 상수만 다르다(평균값 정리의 따름정리: 도함수가 0이면 상수)¹.

미적분의 기본정리

\(f\)가 \([a, b]\)에서 연속이라 하자.

1. \(F(x) = \int_a^x f(t)\,dt\)로 두면, \(F\)는 \((a, b)\)에서 미분 가능하고 \(F'(x) = f(x)\)이다.
2. \(G\)가 \([a, b]\)에서 \(f\)의 원시함수이면 \(\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a)\)이다. 이것을 \(\big[G(x)\big]_a^b\)로 쓴다.

\(\int_0^3 t^2\,dt\)는 \(G(t) = \frac{t^3}{3}\)으로 \(9 - 0 = 9\)다. 리만 합의 표가 다가가던 값이 한 줄로 나온다.

위 칸은 \(t^2\) 아래 넓이를 0부터 \(x = 2\)까지 쌓은 것이고, 아래 칸은 그 넓이를 \(x\)마다 찍은 \(F(x) = \frac{x^3}{3}\)이다. \(x = 2\)에서 \(F\)의 접선 기울기 4가 위 칸의 주황 막대 높이 \(f(2) = 4\)와 같다(1부). \(x\)를 조금 밀면 넓이가 “높이 × 폭”만큼 늘기 때문이다².

증명

2부는 망원 합과 평균값 정리로, 1부는 차분몫을 좁은 구간의 평균값으로 보는 방법으로 증명한다.

flowchart TD
    MV["평균값 정리"] --> P2["2부: 적분 = G(b) − G(a)"]
    TS["망원 합"] --> P2
    INT["연속이면 적분 가능"] --> P2
    MM["최대·최소 정리"] --> P1["1부: F′ = f"]
    IVT["사잇값 정리"] --> P1
    CON["f의 연속성"] --> P1
    P2 --> SUB["치환적분"]
    P2 --> PARTS["부분적분"]

두 부는 서로 다른 도구로 따로 증명한다. 1부는 최대·최소 정리와 사잇값 정리, 그리고 \(f\)의 연속성을 쓴다. 2부는 평균값 정리와 망원 합을 쓰고, 두 적분 기법이 그 위에 선다³.

증명 펼치기

2부. \([a, b]\)의 아무 분할 \(a = x_0 < \cdots < x_n = b\)를 잡는다.

1. 망원 합: \(G(b) - G(a) = \sum_{i=1}^{n}\big(G(x_i) - G(x_{i-1})\big)\). 가운데 값이 지워진다.
2. 평균값 정리: 칸마다 \(G(x_i) - G(x_{i-1}) = G'(c_i)\Delta x_i = f(c_i)\Delta x_i\)인 \(c_i \in (x_{i-1}, x_i)\)가 있다.
3. 리만 합: 그래서 \(G(b) - G(a) = \sum f(c_i)\Delta x_i\). 좌변은 분할과 무관한 수이고, 우변은 어떤 분할에서든 리만 합이다. \(f\)가 연속이라 적분 가능하므로 칸을 잘게 하면 우변은 \(\int_a^b f\)로 간다. 따라서 둘은 같다.

1부. \(x \in (a, b)\)와 작은 \(h \ne 0\)을 잡는다.

4. 차분몫 = 좁은 구간의 평균: \(\frac{F(x + h) - F(x)}{h} = \frac1h\int_x^{x+h} f(t)\,dt\)(구간을 나눠 더하는 성질).
5. 평균값이 실제로 나오는 점: \(f\)는 \(x\)와 \(x + h\) 사이의 닫힌 구간에서 최솟값 \(m_h\), 최댓값 \(M_h\)를 가지고, 평균은 그 사이에 있다. 사잇값 정리로 평균과 같은 값 \(f(c_h)\)가 그 구간 안의 점 \(c_h\)에서 나온다.
6. 극한: \(h \to 0\)이면 \(c_h \to x\)이고, \(f\)가 연속이라 \(f(c_h) \to f(x)\). ∎

스스로 설명해 보기

1. 2부의 3단계에서 “좌변은 분할과 무관”이 왜 중요한가?

우변의 리만 합은 분할마다 다른 \(c_i\)로 만들어지지만, 모두 같은 수 \(G(b) - G(a)\)와 같다. 그래서 칸을 잘게 하는 극한을 취해도 값이 변하지 않고, 그 극한이 곧 적분이다.

2. 1부의 5단계에 사잇값 정리가 필요한 이유는?

평균 \(\frac1h\int_x^{x+h}f\)는 최솟값과 최댓값 사이의 어떤 수일 뿐이다. 그 수가 \(f\)의 실제 값이 되는 점이 있어야 6단계에서 연속성을 쓸 수 있다. 연속함수는 사이의 값을 모두 지나므로 그런 점이 있다.

이 증명의 핵심 아이디어는?

차이의 합은 끝값의 차이(망원 합)이고, 칸마다의 차이는 평균값 정리로 “기울기 × 폭”이 된다. 그래서 “원시함수의 차 = 기울기 × 폭의 합 = 리만 합”이다.

같은 구조를 쓰는 다른 상황은?

이산에서는 누적합: \(\sum_{i=l}^{r} a_i = S[r] - S[l - 1]\). 2차원 누적합으로 직사각형 구간의 합을 네 값으로 구하는 것도 같은 생각이다.

가정이 필요한 이유

가정	없으면	예
1부: \(f\)가 연속	\(F\)가 미분 불가능하거나 \(F' \ne f\)인 점이 생긴다	\(f(t) = 0\) (\(t < 0\)), \(1\) (\(t \ge 0\))을 \([-1, 1]\)에서 적분하면 \(F(x) = \max(x, 0)\)이 \(x = 0\)에서 꺾여 미분 불가능
2부: \(G' = f\)가 구간 전체에서 성립	틀린 값이 나온다	\(\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx\)에 \(G = -\frac1x\)를 대입하면 \(-2\). 하지만 \(x = 0\)에서 \(G\)가 정의되지 않고 적분은 발산한다(아래 오해)

대우. 1부의 대우: \(F\)가 어떤 점에서 미분 불가능하면, \(f\)는 그 점에서 연속이 아니다. 위 계단 함수가 그 예다.

예제

\(\frac{d}{dx}\int_1^{x^2}\frac{\sin t}{t}\,dt\)를 구한다.

1. 바깥과 안쪽: \(H(u) = \int_1^{u}\frac{\sin t}{t}dt\)라 하면 구하는 것은 \(H(x^2)\)의 도함수다.
2. 1부: \(H'(u) = \frac{\sin u}{u}\).
3. 연쇄 법칙: \(H'(x^2)\cdot 2x = \frac{\sin x^2}{x^2}\cdot 2x = \frac{2\sin x^2}{x}\).

\(\frac{\sin t}{t}\)의 원시함수는 기본 함수로 쓸 수 없지만, 1부 덕분에 도함수는 바로 나온다.

검증: 누적합 예시, \(\int_0^3 t^2 = 9\)와 여러 다항식·지수·삼각 함수에서 수치 적분 = 원시함수의 차, 누적 함수의 수치 미분 = \(f\), 예제의 도함수(수치 적분 후 수치 미분), 계단 함수의 꺾임, \(1/x^2\)의 리만 합이 한없이 커짐 — 12_ftc_verify.py

활용

• 적분 계산의 기본. 원시함수표(\(x^n\), \(e^x\), \(\sin x\), \(\frac1x\) 등)를 미분 법칙을 거꾸로 읽어 만든다. \(\int \frac1x dx = \ln\vert x\vert + C\)이고, 이것으로 \(\ln x = \int_1^x \frac1t dt\)를 로그의 정의로 삼기도 한다.
• 누적합과 구간 합 질의. 배열을 한 번 훑어 누적합을 만들면 어떤 구간의 합도 \(O(1)\)에 답한다. 이미지 처리의 적분 영상(integral image)도 2차원 누적합이다⁴.
• 변화량과 순변화. 속도를 적분하면 위치의 변화, 유입률을 적분하면 누적량의 변화다(순변화 정리)¹.
• 알고리즘에서: 누적 합을 만드는 코드와 2차원 누적 합, 구간 더하기를 양 끝 표시로 바꾸는 차분 배열은 누적 합과 차분 배열에 있다. 광고 삽입은 1초마다 보는 사람 수를 쌓아 두고, 광고 구간의 총 재생 시간을 누적값 두 개의 차로 구한다(2부). 파괴되지 않은 건물은 직사각형마다 모서리 네 칸에만 변화량을 적고, 마지막에 가로·세로로 한 번씩 누적해 칸마다의 값을 되찾는다.

연결

• 선수: 정적분과 리만 합, 평균값 정리
• 이 정리로 만드는 기법: 치환적분(연쇄 법칙의 역), 부분적분(곱의 법칙의 역)
• 이산판: 합 ↔ 적분에서 차분·누적합과 미분·적분을 나란히 비교한다.

자주 하는 오해

“원시함수를 찾아 끝값을 넣으면 언제나 정적분이다”

틀렸다. 공식 \(G(b) - G(a)\)가 너무 편해 조건을 잊기 쉽다. \(\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^2}\)에 \(G(x) = -\frac1x\)를 넣으면 \(-1 - 1 = -2\)가 나온다. 하지만 적분하는 함수는 늘 양수라 음수가 나올 수 없다. 원인은 \(x = 0\)에서 \(\frac{1}{x^2}\)이 연속이 아니고 \(G\)도 정의되지 않는다는 것이다. 실제로 이 적분은 무한대로 발산한다(이상적분). 끝값을 넣기 전에 구간 안에 끊긴 점이 없는지 먼저 본다.

확인 문제

C1 미적분의 기본정리 1부와 2부를 가정까지 포함해 쓰라.

답: \(f\)가 \([a, b]\)에서 연속일 때, (1) \(F(x) = \int_a^x f(t)dt\)는 미분 가능하고 \(F' = f\). (2) \(G' = f\)인 \(G\)에 대해 \(\int_a^b f = G(b) - G(a)\).

C2 \(\frac{d}{dx}\int_0^{x^3} e^{-t^2}\,dt\)를 구하라.

답: 1부와 연쇄 법칙으로 \(e^{-(x^3)^2}\cdot 3x^2 = 3x^2 e^{-x^6}\).

흔한 오답: 연쇄 법칙의 \(3x^2\)을 빠뜨린 \(e^{-x^6}\).

C3 \(\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2} = \left[-\frac1x\right]_{-1}^{1} = -2\)라는 계산의 잘못을 지적하라.

답: 2부는 \(f\)가 구간 전체에서 연속이고 \(G' = f\)가 구간 전체에서 맞아야 쓸 수 있다. \(\frac{1}{x^2}\)은 \(x = 0\)에서 정의되지 않는다. 양수 함수의 적분이 음수라는 것도 모순이다. 실제로는 발산한다.

C4 배열의 누적합 S[k] = a₁ + ⋯ + a_k에 대한 두 사실을 미적분의 기본정리 1부·2부와 짝지어라.

답: \(S[k] - S[k-1] = a_k\) ↔ 1부 \(F' = f\)(누적한 것의 변화율은 원래 값). \(\sum_{i=l}^{r} a_i = S[r] - S[l-1]\) ↔ 2부 \(\int_a^b f = G(b) - G(a)\)(구간의 누적은 끝값의 차).

1. OpenStax, Calculus Volume 1, 4.10절 “Antiderivatives”, 5.3절 “The Fundamental Theorem of Calculus”(적분의 평균값 정리, 1부와 2부), 5.4절 “Integration Formulas and the Net Change Theorem”. ↩ ↩²

2. 12_ftc_plot.py로 그렸고, 넓이 \(F(2) = \frac83\)(리만 합), \(F'(2) = f(2) = 4\)(수치 미분), \(\int_0^3 t^2\,dt = 9\)를 같은 코드로 확인했다. ↩

3. 이 문서의 증명 단계(2부의 1~3단계, 1부의 4~6단계)와 연결 절의 두 기법을 근거로 그렸다. ↩

4. 2차원 누적합(합 영역 표, summed-area table)은 비올라–존스 얼굴 검출에서 “integral image”라는 이름으로 쓰였다. 누적합의 \(O(1)\) 구간 질의와 누적합 예시는 12_ftc_verify.py에서 확인했다. ↩