정의

로그 (Logarithm)

Logarithm · log · 로그 법칙 · logarithm rules …

갱신

2026-10-09

요약

로그는 “몇 번 곱해야 이 수가 되나”에 답하는 수다. 1000을 만들려면 10을 세 번 곱해야 하니 답은 3이다. 로그를 쓰면 곱셈이 덧셈으로, 거듭제곱이 곱셈으로 바뀌어 아주 크거나 작은 수를 다루기 쉬워진다. 다만 곱하는 수는 양수이고 1이 아니어야 하며, 0이나 음수의 로그는 없다.

예시로 보기

정렬된 100만 개 자료에서 이진 탐색을 하면 비교할 때마다 후보가 반으로 준다. 한 개가 남을 때까지 몇 번 반으로 나눠야 할까? \(2^{20} = 1{,}048{,}576\)이 \(10^6\)보다 조금 크므로 약 20번이다. “2를 몇 번 곱하면 \(10^6\)인가”의 답이 \(\log_2 10^6 \approx 19.93\)이다.

\(x\)	1	2	8	1024	\(10^6\)	\(10^9\)
\(\log_2 x\)	0	1	3	10	약 19.93	약 29.9

곱셈이 덧셈이 되는 것도 표에서 보인다. \(8 \times 32 = 256\)에서 곱하는 횟수는 \(3 + 5 = 8\)이고, 실제로 \(\log_2 256 = 8\)이다. 2를 세 번 곱한 것에 다섯 번 곱한 것을 이어 곱했을 뿐이다.

정의

정의

\(b > 0\), \(b \ne 1\), \(x > 0\)일 때

\[\log_b x = y \iff b^y = x\]

로 정한다. \(b\)를 밑, \(x\)를 진수라 한다¹. \(\log_b: (0, \infty) \to \mathbb{R}\)(\(\mathbb{R}\)은 실수 전체)은 지수함수 \(b^x: \mathbb{R} \to (0, \infty)\)의 역함수다. 따라서

\[b^{\log_b x} = x \quad (x > 0), \qquad \log_b(b^y) = y \quad (y \in \mathbb{R})\]

자주 쓰는 밑에는 따로 이름이 있다. 문헌마다 밑을 생략한 \(\log\)의 뜻이 달라서, 이 볼트에서는 늘 밑을 적는다.

표기	밑	주로 쓰는 곳
\(\lg x\)	2	알고리즘, 정보량(비트)
\(\ln x\)	\(e\)	미적분, 확률, 파이썬 math.log(x)
\(\log_{10} x\)	10	한국 고교 교과서와 계산기의 \(\log\), 데시벨

로그 법칙

\(b, c > 0\), \(b, c \ne 1\), \(x, y > 0\), \(r \in \mathbb{R}\)일 때²

1. \[\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y\]
2. \[\log_b(x / y) = \log_b x - \log_b y\]
3. \[\log_b(x^r) = r \log_b x\]
4. (밑변환) \(\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}\)
5. \(\log_b 1 = 0\), \(\log_b b = 1\)

flowchart LR
  subgraph P["양수의 세계: 곱한다"]
    X["x, y"] -->|"곱하기"| XY["xy"]
  end
  subgraph R["실수의 세계: 더한다"]
    U["u, v"] -->|"더하기"| UV["u + v"]
  end
  X -->|"log_b"| U
  U -->|"b의 거듭제곱"| X
  XY -->|"log_b"| UV
  UV -->|"b의 거듭제곱"| XY

왼쪽에서 두 양수를 곱한 결과와, 오른쪽으로 건너가 두 로그 \(u = \log_b x\), \(v = \log_b y\)를 더한 결과는 같은 자리에서 만난다. 법칙 1이 이 그림이다. 오른쪽에서 왼쪽으로 돌아오는 화살표는 지수함수 \(b^u\)이고, 두 방향은 서로 역함수다³.

설계 이유. 로그의 조건은 모두 지수함수에서 물려받는다. \(b^y\)는 늘 양수이므로 \(x \le 0\)이면 \(b^y = x\)인 \(y\)가 없다. \(b = 1\)이면 \(1^y = 1\)이라 “몇 번 곱해야 5가 되나”에 답이 없다.

동치인 다른 정의.

정의	근거
\(\ln x = \displaystyle\int_1^x \frac{1}{t}\,dt\) (\(x > 0\))	[증명 생략: 미적분의 기본정리]
연속이고 \(f(xy) = f(x) + f(y)\), \(f(b) = 1\)인 \(f: (0, \infty) \to \mathbb{R}\)	[증명 스케치] \(g(t) = f(b^t)\)로 두면 \(g(s + t) = g(s) + g(t)\)이고 연속이다. 이런 함수는 \(g(t) = g(1)\,t = t\)뿐이므로 \(f(b^t) = t\), 즉 \(f = \log_b\)다

해당하는 예: \(\log_2 8 = 3\), \(\log_{10} 0.001 = -3\), \(\ln 1 = 0\). 해당하지 않는 예: \(\log_2 0\)(\(2^y = 0\)인 \(y\)가 없다), \(\log_2(-4)\)(양수가 아니다), \(\log_1 5\)(밑이 1이다).

증명

모든 로그 법칙은 지수법칙을 지수 쪽에서 읽은 것이다.

증명 펼치기

\(u = \log_b x\), \(v = \log_b y\)로 두면 로그의 정의로 \(x = b^u\), \(y = b^v\)다.

1. \(xy = b^u b^v = b^{u+v}\) — 지수법칙. 로그의 정의로 \(\log_b(xy) = u + v\).
2. \(x / y = b^u / b^v = b^{u-v}\) — 지수법칙. 따라서 \(\log_b(x/y) = u - v\).
3. \(x^r = (b^u)^r = b^{ur}\) — 지수법칙. 따라서 \(\log_b(x^r) = ru\).
4. \(x = b^{\log_b x}\)의 양변에 \(\log_c\)를 취하고 3을 쓰면 \(\log_c x = \log_b x \cdot \log_c b\). \(b \ne 1\)이므로 \(\log_c b \ne 0\)이고, 나누면 된다.
5. \(b^0 = 1\), \(b^1 = b\). ∎

스스로 설명해 보기

1. “xy = bᵘbᵛ = bᵘ⁺ᵛ”의 두 번째 등호는 어디서 나오나?

지수법칙 \(a^m a^n = a^{m+n}\)이다. 곱해진 횟수끼리 더했다.

2. 밑변환 증명에서 “log_c b ≠ 0”이 왜 필요하고, 왜 참인가?

그 수로 나눠야 하기 때문이다. \(\log_c b = 0\)이면 \(b = c^0 = 1\)인데 밑은 1이 아니므로 0이 아니다.

이 증명들의 핵심 아이디어는?

로그를 지수로 바꿔 쓰고(\(x = b^u\)), 지수법칙을 적용한 뒤, 다시 로그로 읽는다.

같은 아이디어를 쓰는 다른 상황은?

계산자(slide rule)는 눈금을 로그로 매겨 곱셈을 길이의 덧셈으로 했다. 확률을 많이 곱해야 할 때 로그 확률을 더하는 것도 같다(카드 C4).

예제

지수 방정식 풀기. \(2^x = 1000\).

1. 양변에 로그: \(\ln 2^x = \ln 1000\).
2. 지수 끌어내리기: \(x \ln 2 = \ln 1000\). — 법칙 3
3. 계산: \(x = \dfrac{\ln 1000}{\ln 2} \approx 9.966\). \(2^{10} = 1024\)가 1000보다 조금 크니 맞다.

두 배 시간. 매달 20%씩 느는 양이 두 배가 되는 때는 \(1.2^t = 2\)에서 \(t = \dfrac{\ln 2}{\ln 1.2} \approx 3.80\)개월이다. 처음 양과 무관하다.

식 줄이기. \(\log_2 48 - \log_2 3 = \log_2 16 = 4\). — 법칙 2

지수와 밑 바꾸기. \(a^{\log_b c} = c^{\log_b a}\)이다. 양변에 \(\log_b\)를 취하면 둘 다 \(\log_b a \cdot \log_b c\)가 된다. 그래서 \(3^{\lg n} = n^{\lg 3} \approx n^{1.585}\)다. 분할 정복 알고리즘의 비용을 \(n\)의 거듭제곱으로 읽을 때 쓴다.

연습: 로그 계산 예제 사다리

검증: 로그 법칙과 밑변환(무작위 5,000세트, 밑 5종), 예시 표, 예제 네 개, 카드 C3·C4, 파이썬 math.log의 동작, 오해의 수치 — 07_logarithm_verify.py

활용

• 반씩 줄이는 알고리즘. 이진 탐색, 균형 이진 트리의 높이, 병합 정렬의 단계 수가 모두 \(\lg n\)에 비례한다. \(n\)이 \(10^9\)이어도 \(\lg n \approx 30\)이다⁴.
• 비트 수. 양의 정수 \(n\)을 2진수로 쓰는 데 드는 자릿수는 \(\lfloor \lg n \rfloor + 1\)(\(\lfloor\ \rfloor\)는 소수점 아래를 버린 정수)이다. 진법과 자릿수에서 증명한다.
• 로그 확률. 작은 확률을 수천 번 곱하면 컴퓨터에서 0이 된다(카드 C4). 음성 인식, 언어 모델, 나이브 베이즈는 확률 대신 로그 확률을 더한다⁵.
• 파이썬 주의점. math.log(x)는 자연로그다. math.log(1000, 10)은 밑변환을 부동소수점으로 계산해 3.0이 아니라 2.9999999999999996을 낸다. 10과 2가 밑이면 math.log10, math.log2를 쓴다.
• 알고리즘에서: 이분 탐색은 정렬된 자료 \(n\)개에서 많아야 \(\lceil \lg(n + 1) \rceil\)(\(\lceil\ \rceil\)는 소수점 아래를 올린 정수)번 돈다. 매개변수 탐색은 답이 될 수 있는 값 \(m\)개를 반씩 줄여, 많아야 \(\lceil \lg m \rceil\)번만 판정한다. 힙과 우선순위 큐의 힙은 원소 \(n\)개를 \(\lfloor \lg n \rfloor + 1\)층에 담아, 넣기·꺼내기 한 번에 자리를 많아야 층수만큼 바꾼다. 그 밖에 정렬과 정렬 기준, 시간 복잡도로 방법 고르기에서도 쓴다.

연결

• 선수: 지수함수, 역함수
• 이어지는 개념: 로그함수와 로그 스케일, 진법과 자릿수
• 나중에 쓰이는 곳: 이산수학의 점근 표기와 마스터 정리, 확률과 통계의 최대가능도 추정과 엔트로피

자주 하는 오해

“log(x + y) = log x + log y”

틀렸다. 로그 법칙이 “로그 안의 연산을 바깥으로 꺼내는” 규칙처럼 외워지면 덧셈에도 쓰고 싶어진다. 실제로 로그가 바꿔 주는 것은 곱이다: \(\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y\). 합의 로그에는 간단한 공식이 없다. \(\log_{10}(1 + 1) = \log_{10} 2 \approx 0.301\)이지만 \(\log_{10} 1 + \log_{10} 1 = 0\)이다.

확인 문제

C1 로그의 정의를 지수로 바꿔 쓰고, 밑과 진수의 조건과 그 이유를 쓰라.

답: \(\log_b x = y \iff b^y = x\). 밑은 \(b > 0\), \(b \ne 1\), 진수는 \(x > 0\)이다. 밑 조건은 지수함수에서 물려받는다. \(b^y\)는 늘 양수라서 \(x \le 0\)이면 \(y\)가 없다.

흔한 오답: 진수 조건 \(x > 0\)을 빠뜨리거나, \(\log_b 0 = 0\)이라고 하는 것. \(b^y = 0\)인 \(y\)는 없다.

C2 log_b(xy) = log_b x + log_b y를 지수법칙으로 증명하고, 각 단계의 근거를 쓰라.

답: \(u = \log_b x\), \(v = \log_b y\)로 두면 \(x = b^u\), \(y = b^v\)(로그의 정의). \(xy = b^u b^v = b^{u+v}\)(지수법칙). 다시 로그의 정의로 \(\log_b(xy) = u + v = \log_b x + \log_b y\).

C3 (a) 2ˣ = 1000을 풀라. (b) log₂ 48 − log₂ 3을 계산하라.

답: (a) \(x = \dfrac{\ln 1000}{\ln 2} \approx 9.966\). (b) \(\log_2 (48/3) = \log_2 16 = 4\).

흔한 오답: (a)에서 \(x = 1000/2 = 500\). 지수를 푸는 것은 나눗셈이 아니라 로그다. (b)에서 \(\log_2 48 / \log_2 3\)으로 나누는 것.

C4 확률 0.01을 1000번 곱하는 계산을 파이썬으로 그대로 하면 0.0이 나온다. 왜 그런가? 로그로 어떻게 해결하는가?

답: 참값은 \(10^{-2000}\)인데 배정밀도가 나타낼 수 있는 가장 작은 양수(약 \(5 \times 10^{-324}\))보다 작아 0으로 떨어진다(언더플로). 로그를 취하면 곱이 합이 되어 \(1000 \ln 0.01 \approx -4605.17\)로 안전하게 계산된다. 두 후보를 비교할 때는 로그 값끼리 비교하면 된다. 로그는 순증가 함수라 크기 순서가 그대로다.

1. OpenStax, Precalculus 2e, 4.3절 “Logarithmic Functions” ↩

2. OpenStax, Precalculus 2e, 4.5절 “Logarithmic Properties”, 4.6절 “Exponential and Logarithmic Equations” ↩

3. 정의의 \(\log_b: (0, \infty) \to \mathbb{R}\)과 \(b^x: \mathbb{R} \to (0, \infty)\)가 서로 역함수라는 진술과 로그 법칙 1을 근거로 그렸다(OpenStax, Precalculus 2e, 4.3절, 4.5절). ↩

4. Cormen, Leiserson, Rivest, Stein, Introduction to Algorithms 3판, 3.2절 “Standard notations and common functions”의 로그 표기와 성질 ↩

5. 로그 확률은 확률 모델을 계산할 때의 표준 기법이다. 배정밀도의 가장 작은 양수(비정규수) 약 \(4.9 \times 10^{-324}\)는 IEEE 754 형식에서 나온다. 파이썬 math.log의 동작은 검증 코드로 확인했다. ↩