평균값 정리

요약

10 km 구간을 5분에 지났다면 평균 시속이 120 km이고, 그렇다면 어느 한 순간 속도계는 정확히 120을 가리켰다. 매끄러운 함수에서는 평균 변화율과 똑같은 순간 변화율을 갖는 점이 반드시 있다는 정리다. “도함수가 양수면 증가한다”, “도함수가 0이면 상수다” 같은 당연해 보이는 사실이 모두 이 정리로 증명된다. 구간 안에 꺾이거나 끊긴 점이 있으면 맞지 않는다.

예시로 보기

고속도로의 구간단속 카메라는 두 지점의 통과 시각만 잰다. 두 카메라 사이 10 km를 5분(1/12시간)에 지나면 평균 시속 \(10 \div \frac{1}{12} = 120\) km다. 제한 속도가 100 km이면 “어느 순간 100을 넘었다”를 따로 찍지 않고도 알 수 있다. 위치가 시간에 대해 매끄럽게 변한다면, 평균 속도 120과 같은 순간 속도를 낸 때가 반드시 있기 때문이다.

위치 함수가 아래 정리의 \(f\), 두 카메라의 통과 시각이 \(a\)와 \(b\), 그 순간이 \(c\)다.

정의

평균값 정리

\(f\)가 닫힌 구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린 구간 \((a, b)\)에서 미분 가능하면

\[f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]

인 \(c \in (a, b)\)(\(\in\)은 “~에 속한다”)가 있다. 특히 \(f(a) = f(b)\)이면 \(f'(c) = 0\)인 \(c\)가 있다(롤의 정리)¹.

그래프로는 두 끝점을 잇는 할선과 평행한 접선이 구간 안 어딘가에 있다는 뜻이다.

왼쪽에서 \(x^2\)의 \(c = 1\) 접선(주황 점선)은 할선(파랑)과 기울기가 2로 같다. 오른쪽 \(\vert x\vert\)는 할선이 수평인데, 그래프의 기울기는 꺾인 점 양쪽에서 \(-1\)과 1뿐이라 수평인 접선이 없다(아래 가정의 필요성)².

증명

롤의 정리: \(f(a) = f(b)\)라 하자. 최대·최소 정리로 \(f\)는 \([a, b]\)에서 최댓값과 최솟값을 가진다. 둘 다 끝점에서만 나오면 \(f\)는 상수라 모든 점에서 \(f' = 0\)이다. 아니면 둘 중 하나가 내부 점 \(c\)에서 나오고, 페르마 정리로 \(f'(c) = 0\)이다.
평균값 정리: 할선을 빼서 양 끝 높이를 맞춘다. \(g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)\)로 두면 \(g(a) = g(b) = f(a)\)다. 롤의 정리로 \(g'(c) = 0\)인 \(c\)가 있고, \(g'(c) = f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\)이다. ∎

가정의 필요성. \(\vert x\vert\)를 \([-1, 1]\)에서 보면 평균 변화율은 \(\frac{1 - 1}{2} = 0\)인데 도함수는 \(\pm 1\)뿐이라 0인 점이 없다. \(x = 0\)에서 미분 불가능이라 가정이 깨졌다. 끝점에서 연속이 아니어도 깨진다.

따름정리

구간에서

\(f' = 0\)이면 \(f\)는 상수다.
\(f' > 0\)이면 증가, \(f' < 0\)이면 감소한다.
\(\vert f'\vert \le M\)이면 \(\vert f(x) - f(y)\vert \le M\vert x - y\vert\)다(립시츠 조건).

세 가지 모두 두 점 \(x < y\)에 평균값 정리를 쓰면 \(f(y) - f(x) = f'(c)(y - x)\)에서 바로 나온다.

flowchart TD
    E["최대·최소 정리"] --> R["롤의 정리"]
    F["페르마 정리"] --> R
    R -- "할선을 빼서 양 끝 높이를 맞춘다" --> M["평균값 정리"]
    R --> H["코시 평균값 정리 → 로피탈 정리"]
    M --> K1["f′ = 0이면 상수"]
    M --> K2["f′의 부호로 증가·감소"]
    M --> K3["립시츠 조건"]
    M --> T["미적분의 기본정리 2부"]

위쪽 두 정리가 롤의 정리를 받치고, 평균값 정리는 롤의 정리에서 바로 나온다. 아래 줄의 결과들은 이 두 정리를 다른 문제에 가져다 쓴 것이다³.

예제

\(f(x) = x^2\)을 \([0, 2]\)에서 볼 때 정리의 \(c\)를 구한다.

평균 변화율: \(\frac{4 - 0}{2 - 0} = 2\).
순간 변화율과 같게: \(f'(c) = 2c = 2\)에서 \(c = 1\).
확인: \(c = 1\)은 \((0, 2)\) 안에 있다.

검증: 예제의 \(c = 1\)과 \(\sqrt{x}\)의 \(c = 1\), 무작위 매끄러운 함수와 구간 300개에서 \(c\)의 존재(격자 탐색), \(\vert x\vert\)의 반례, \(\vert \sin x - \sin y\vert \le \vert x - y\vert\)를 2만 쌍에서, 구간단속 계산 — 08_mean-value-theorem_verify.py

활용

오차 한계. \(\vert \sin' x\vert = \vert \cos x\vert \le 1\)이므로 \(\vert \sin x - \sin y\vert \le \vert x - y\vert\)다. 입력의 오차가 출력에서 커지지 않는다는 보장이다. 수치 계산에서 입력 오차가 결과로 얼마나 퍼지는지를 이렇게 도함수의 크기로 묶는다.
립시츠 조건과 학습. 신경망 학습에서 기울기의 크기를 제한하거나(gradient clipping) 함수의 립시츠 상수를 제한하면 출력이 입력의 작은 변화에 크게 흔들리지 않는다⁴.
구간단속. 평균 속도가 제한을 넘으면 어느 순간 제한을 넘었다는 결론이 이 정리다.

연결

선수: 도함수의 활용과 최적화(페르마 정리)
이어지는 개념: 로피탈 정리, 미적분의 기본정리

확인 문제

C1 평균값 정리를 가정까지 포함해 쓰라.

답: \(f\)가 \([a, b]\)에서 연속이고 \((a, b)\)에서 미분 가능하면, \(f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\)인 \(c \in (a, b)\)가 있다.

C2 f(x) = √x를 [0, 4]에서 볼 때 평균값 정리의 c를 구하라.

답: 평균 변화율 \(\frac{2 - 0}{4} = \frac12\). \(f'(c) = \frac{1}{2\sqrt c} = \frac12\)에서 \(c = 1\).

C3 평균값 정리의 결론이 맞지 않는 함수와 구간을 들고, 어느 가정이 깨졌는지 쓰라.

답: \(\vert x\vert\)를 \([-1, 1]\)에서 보면 평균 변화율이 0인데 도함수가 0인 점이 없다. \(x = 0\)에서 미분 가능하지 않아 “\((a, b)\)에서 미분 가능”이 깨졌다.

OpenStax, Calculus Volume 1, 4.4절 “The Mean Value Theorem”(롤의 정리, 평균값 정리, 따름정리) ↩
08_mean-value-theorem_plot.py로 그렸고, \(x^2\)의 평균 변화율 2와 \(c = 1\), \(\vert x\vert\)의 평균 변화율 0과 도함수 \(\pm 1\)을 같은 코드로 확인했다. ↩
이 문서의 증명과 따름정리, 로피탈 정리의 증명(코시 평균값 정리를 롤의 정리로 얻는다), 미적분의 기본정리 2부의 증명을 근거로 그렸다. ↩
립시츠 연속성은 학습의 안정성과 적대적 견고성 연구에서 쓰는 조건이다. 기울기 자르기는 순환 신경망 학습의 표준 기법이다. ↩