사용 개념: 치환적분, 부분적분, 미적분의 기본정리.

적분 계산의 핵심은 치환과 부분적분 중 무엇을 쓸지 신호로 가르는 것이다. 안쪽 함수의 도함수가 곱해져 있으면 치환, 성질이 다른 두 함수의 곱이면 부분적분이다. 풀이는 늘 같은 네 하위목표로 나뉜다1.

  1. 신호 읽기: 안쪽 함수와 그 도함수가 함께 있는가, 아니면 미분하면 단순해지는 인수가 있는가.
  2. 방법과 역할 정하기: 치환이면 \(u\)와 \(du\), 부분적분이면 \(u\)와 \(dv\)를 정한다. 정적분의 치환이면 끝값도 바꾼다.
  3. 변환한 적분 계산: 기본 공식으로 끝낸다. 필요하면 한 번 더 같은 방법을 쓴다.
  4. 정리와 검산: 결과를 미분해 피적분함수가 나오는지 본다. 정적분이면 끝값을 넣는다.

문제 1 · 완전한 풀이

\(\int x\cos x\,dx\)

  1. 신호: \(x\)의 도함수 1은 곱해져 있지 않다(치환 아님). \(x\)는 미분하면 1로 단순해진다.
  2. 역할: 부분적분. \(u = x\), \(dv = \cos x\,dx\), \(du = dx\), \(v = \sin x\).
  3. 계산: \(x\sin x - \int\sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C\).
  4. 검산: \((x\sin x + \cos x)' = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x\).

문제 2 · 마지막 하위목표만 빈칸

\(\int_0^1 x e^{x^2}\,dx\)

  1. 신호: 안쪽 \(x^2\)의 도함수 \(2x\)의 절반이 곱해져 있다.
  2. 역할: 치환. \(u = x^2\), \(x\,dx = \frac12 du\), 끝값 \(0 \to 0\), \(1 \to 1\).
  3. 계산: \(\frac12\int_0^1 e^u du = \frac12\big[e^u\big]_0^1\).
  4. 정리와 검산: __
답

\(\frac12(e - 1) \approx 0.859\). 원시함수 \(\frac12 e^{x^2}\)을 미분하면 \(x e^{x^2}\)이고, 원래 끝값 0과 1을 넣어도 같은 값이다.

문제 3 · 하위목표 절반이 빈칸

\(\int x^2 e^x\,dx\)

  1. 신호: 다항식 × 지수. \(x^2\)은 두 번 미분하면 상수가 된다.
  2. 역할: 부분적분. \(u = x^2\), \(dv = e^x dx\).
  3. 계산: __
  4. 정리와 검산: __
답
  1. \(x^2e^x - \int 2xe^x dx\). 남은 적분에 다시 \(u = 2x\)로 부분적분하면 \(\int 2xe^xdx = 2xe^x - 2e^x\). 그래서 \(x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C\).
  2. \((x^2 - 2x + 2)e^x + C\). 미분하면 \((2x - 2)e^x + (x^2 - 2x + 2)e^x = x^2e^x\).

문제 4 · 독립 문제

\(\int_1^e x\ln x\,dx\)를 구하라.

답

\(\ln x\)가 미분하면 단순해지므로 \(u = \ln x\), \(dv = x\,dx\), \(v = \frac{x^2}{2}\). \(\frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x^2}{2}\cdot\frac1x dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\). 끝값을 넣으면 \(\left(\frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4}\right) - \left(0 - \frac14\right) = \frac{e^2 + 1}{4} \approx 2.097\).

흔한 오답: \(u = x\)로 두는 것. 그러면 \(dv = \ln x\,dx\)를 적분해야 해서 더 어려워진다.

변형 문제

\(\int_0^\pi e^x\sin x\,dx\)처럼 부분적분을 두 번 해도 원래 적분이 되돌아오면 어떻게 끝내는가?

답

되돌아온 적분을 \(I\)로 두고 방정식을 푼다. \(I = \big[e^x\sin x\big]_0^\pi - \big[e^x\cos x\big]_0^\pi - I\)에서 \(2I = 0 - (-e^\pi - 1)\), 즉 \(I = \frac{e^\pi + 1}{2} \approx 12.07\). 자세한 과정은 부분적분의 예제에 있다.

검증: 모든 원시함수를 수치 미분으로, 모든 정적분 값을 심프슨 규칙으로 확인 — 14_integration-by-parts_verify.py

  1. OpenStax, Calculus Volume 1, 5.5절 “Substitution”. OpenStax, Calculus Volume 2, 3.1절 “Integration by Parts”, 3.5절 “Other Strategies for Integration”(방법 고르기). ↩