사용 개념: 미분 법칙의 기본 도함수와 곱·몫 법칙, 연쇄 법칙.

미분 계산의 핵심은 식의 가장 바깥 연산이 무엇인지 알아보는 것이다. 풀이는 늘 같은 네 하위목표로 나뉜다1.

  1. 구조 읽기: 가장 바깥 연산이 합, 곱, 몫, 합성 중 무엇인지 정한다.
  2. 바깥 규칙 적용: 그 연산의 규칙을 쓴다. 합성이면 바깥 도함수를 안쪽 값에서 계산한다.
  3. 안쪽으로 들어가기: 규칙이 요구하는 안쪽 도함수를 같은 방법으로 구해 곱한다.
  4. 정리와 검산: 식을 정리하고, 한 점에서 수치 미분과 비교한다.

문제 1 · 완전한 풀이

\(\dfrac{d}{dx}(x^2 + 1)^5\)

  1. 구조 읽기: 가장 바깥은 5제곱, 그 안에 \(x^2 + 1\). 합성이다.
  2. 바깥 규칙: \(u^5\)의 도함수 \(5u^4\)을 \(u = x^2 + 1\)에서: \(5(x^2 + 1)^4\).
  3. 안쪽: \((x^2 + 1)' = 2x\)를 곱한다.
  4. 정리와 검산: \(10x(x^2 + 1)^4\). \(x = 1\)이면 \(10 \cdot 16 = 160\)이고, 수치 미분 \(\frac{(1.001^2+1)^5 - (0.999^2+1)^5}{0.002} \approx 160.0\)과 맞다.

문제 2 · 마지막 하위목표만 빈칸

\(\dfrac{d}{dx}\,x e^{2x}\)

  1. 구조 읽기: 가장 바깥은 곱 \(x \cdot e^{2x}\).
  2. 바깥 규칙: \((x)' e^{2x} + x\,(e^{2x})'\).
  3. 안쪽: \((e^{2x})' = e^{2x} \cdot 2\)(합성).
  4. 정리와 검산: __
답

\(e^{2x} + 2x e^{2x} = (1 + 2x)e^{2x}\). \(x = 0\)이면 1이고, \(x e^{2x}\)는 원점 근처에서 \(x\)와 거의 같아 기울기 1이 맞다.

문제 3 · 하위목표 절반이 빈칸

\(\dfrac{d}{dx}\sin^3(2x)\)

  1. 구조 읽기: __
  2. 바깥 규칙: \(3u^2\)을 \(u = \sin(2x)\)에서: \(3\sin^2(2x)\).
  3. 안쪽: __
  4. 정리와 검산: \(6\sin^2(2x)\cos(2x)\).
답
  1. 세 겹의 합성이다: 세제곱 ∘ 사인 ∘ 2배. 가장 바깥은 세제곱.
  2. \((\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot 2\). 합성이 한 겹 더 있어 2를 곱한다.

문제 4 · 독립 문제

\(\dfrac{d}{dx}\,x^x\) (\(x > 0\))

답

밑과 지수에 모두 \(x\)가 있어 거듭제곱 법칙도 지수 법칙도 바로 쓸 수 없다. \(x^x = e^{x\ln x}\)로 바꾸면 합성이다. \((x^x)' = e^{x\ln x}\cdot(x\ln x)' = x^x(\ln x + 1)\).

흔한 오답: 거듭제곱 법칙으로 \(x \cdot x^{x-1} = x^x\)라고 하거나, 지수 법칙으로 \(x^x \ln x\)라고 하는 것. 둘 다 한쪽을 상수로 착각했다.

변형 문제

시그모이드 \(\sigma(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-x}}\)의 도함수를 \(\sigma\)만으로 나타내라.

답

\(\sigma = (1 + e^{-x})^{-1}\)을 합성으로 보면 \(\sigma' = -(1 + e^{-x})^{-2}\cdot(-e^{-x}) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2} = \sigma\cdot\frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} = \sigma(1 - \sigma)\).

검증: 모든 답을 무작위 점에서 수치 미분과 비교 — 06_chain-rule_verify.py

  1. OpenStax, Calculus Volume 1, 3.6절 “The Chain Rule”(합성의 구조를 바깥부터 읽는 전략) ↩