연쇄 법칙을 거꾸로 쓰는 기법이다. 적분할 식 안에 “안쪽 함수”와 “그 안쪽 함수의 도함수”가 함께 보이면, 안쪽 함수를 새 변수 하나로 묶어 식을 단순하게 만든다. 모양만 맞으면 복잡한 식이 기본 공식 하나로 줄어든다. 다만 도함수가 곱해져 있지 않으면(상수배 차이는 괜찮다) 쓸 수 없고, 정적분에서는 끝값도 새 변수에 맞게 바꿔야 한다.
예시로 보기
\(\int 2x\cos(x^2)\,dx\)를 본다. 안쪽 함수 \(x^2\)의 도함수 \(2x\)가 바깥에 곱해져 있다. 연쇄 법칙으로 \(\big(\sin(x^2)\big)' = \cos(x^2)\cdot 2x\)이므로 답은 \(\sin(x^2) + C\)다.
치환으로 적으면 \(u = x^2\), \(du = 2x\,dx\)로 두어 \(\int\cos u\,du = \sin u + C = \sin(x^2) + C\)이다. 안쪽 함수 \(x^2\)이 아래 정리의 \(g(x)\), \(\cos\)가 \(f\)다. “\(du = 2x\,dx\)“는 미분 기호를 분수처럼 다루는 기억법이고, 근거는 아래의 연쇄 법칙이다.
정의
\(g'\)이 연속이고 \(f\)가 \(g\)의 치역에서 연속이면
\[\int f\big(g(x)\big)g'(x)\,dx = \int f(u)\,du \Big\vert _{u = g(x)}, \qquad \int_a^b f\big(g(x)\big)g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du.\]증명
\(F\)를 \(f\)의 원시함수라 하자. 연쇄 법칙으로 \(\big(F(g(x))\big)' = f(g(x))g'(x)\)이므로 \(F(g(x))\)가 왼쪽 피적분함수의 원시함수다. 기본정리 2부로 \(\int_a^b f(g(x))g'(x)dx = F(g(b)) - F(g(a)) = \int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du\). ∎
알아보는 신호. 식 안에 괄호·지수·분모처럼 “안에 든 함수”가 있고, 그 도함수(의 상수배)가 바깥에 곱해져 있다. 대표적인 모양은 다음과 같다.
| 모양 | 치환 | 결과 |
|---|---|---|
| \(\int \frac{g'(x)}{g(x)}dx\) | \(u = g(x)\) | \(\ln\vert g(x)\vert + C\) |
| \(\int g'(x)e^{g(x)}dx\) | \(u = g(x)\) | \(e^{g(x)} + C\) |
| \(\int (ax + b)^n dx\) | \(u = ax + b\) | \(\frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\) (\(n \ne -1\)) |
예제
정적분의 끝값 바꾸기. \(\int_0^1 x e^{x^2}\,dx\).
- 신호: 안쪽 \(x^2\), 도함수 \(2x\)의 절반 \(x\)가 곱해져 있다.
- 치환: \(u = x^2\), \(du = 2x\,dx\)라 \(x\,dx = \frac12 du\). 끝값은 \(x = 0 \to u = 0\), \(x = 1 \to u = 1\).
- 계산: \(\frac12\int_0^1 e^u du = \frac12(e - 1) \approx 0.859\).
왼쪽은 치환 전, 오른쪽은 치환 후의 피적분함수다. 가로축이 \(x\)에서 \(u = x^2\)으로 바뀌면서 곡선 모양이 달라졌지만, 칠한 넓이는 둘 다 0.859다. \(du = 2x\,dx\)가 가로 폭이 늘고 주는 비율을 맞춰 주기 때문이다2.
flowchart TD
A["정적분: a부터 b까지 f(g(x)) g′(x) dx"] --> B["u = g(x), du = g′(x) dx로 둔다"]
B --> C{"끝값을 어떻게 다루나"}
C -- "방법 1" --> D["끝값을 g(a), g(b)로 바꾼다"]
D --> E["u로 적분하고 u의 끝값을 넣는다"]
C -- "방법 2" --> F["끝값 없이 u로 원시함수를 구한다"]
F --> G["u = g(x)로 되돌린다"]
G --> H["x의 끝값 a, b를 넣는다"]
E --> Z["같은 값"]
H --> Z
위 예제는 방법 1이다. 두 길은 같은 값에 닿는다. 하지만 한 길 안에서 섞으면, 예를 들어 \(u\)로 바꾼 식에 \(x\)의 끝값을 넣으면 틀린다(활용의 흔한 실수)3.
탄젠트. \(\int \tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}dx\). \(u = \cos x\), \(du = -\sin x\,dx\)로 \(-\int\frac{du}{u} = -\ln\vert \cos x\vert + C\).
활용
- 확률밀도의 변환. 확률변수 \(X\)를 단조함수로 바꾼 \(Y = g(X)\)의 확률밀도는 \(f_Y(y) = f_X\big(g^{-1}(y)\big)\left\vert \frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right\vert\)다. 적분의 치환에서 \(du\)와 \(dx\)의 비율을 곱해 주는 것과 같다(연속 확률변수와 확률밀도)4.
- 흔한 실수. 정적분에서 \(u\)로 바꾼 뒤 끝값을 \(x\)의 값 그대로 두는 것. 또는 \(u\)로 적분한 결과를 \(x\)로 되돌리지 않고 원래 끝값을 넣는 것. 둘 중 한 방식으로 통일한다.
- 연습: 적분 계산 예제 사다리
연결
- 선수: 미적분의 기본정리, 연쇄 법칙
- 짝을 이루는 기법: 부분적분(곱의 법칙의 역)
- 일반화: 다변수에서는 치환의 비율 \(\frac{du}{dx}\)가 야코비 행렬식이 된다(중적분과 변수변환).
확인 문제
C1 \(\int_0^{\pi/2} \sin^3 x \cos x\,dx\)를 구하라.
답: \(u = \sin x\), \(du = \cos x\,dx\), 끝값 \(0 \to 0\), \(\frac\pi2 \to 1\). \(\int_0^1 u^3 du = \frac14\).
C2 ∫ x/(1 + x²) dx와 ∫ 1/(1 + x²) dx 중 u = 1 + x² 치환이 통하는 쪽은? 다른 쪽은 왜 안 되는가?
답: 첫째다. \(du = 2x\,dx\)라 \(\frac12\int\frac{du}{u} = \frac12\ln(1 + x^2) + C\). 둘째는 분자에 \(x\)가 없어 \(du\)를 만들 수 없다. 둘째의 답은 \(\arctan x + C\)로, \(\arctan\)의 도함수를 거꾸로 읽어 얻는다.
C3 ∫ cos(x²) dx에 u = x²을 쓰면 왜 풀리지 않는가?
답: \(du = 2x\,dx\)인데 식에 \(x\)가 곱해져 있지 않다. \(dx = \frac{du}{2\sqrt u}\)로 바꾸면 \(\int\frac{\cos u}{2\sqrt u}du\)가 되어 더 쉬워지지 않는다. 실제로 이 함수의 원시함수는 기본 함수로 쓸 수 없고, 정적분은 수치 적분으로 구한다.
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OpenStax, Calculus Volume 1, 5.5절 “Substitution”, 5.6절 “Integrals Involving Exponential and Logarithmic Functions”, 5.7절 “Integrals Resulting in Inverse Trigonometric Functions”. ↩
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13_substitution_plot.py로 그렸고, 두 넓이가 모두 \(\frac{e - 1}{2} \approx 0.859\)인 것을 같은 코드로(중점 합) 확인했다. ↩
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정리의 두 식과 활용 절의 흔한 실수(“둘 중 한 방식으로 통일한다”)를 근거로 그렸다. ↩
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단조 변환의 확률밀도 공식은 확률론 교재의 “확률변수의 함수” 절에 있는 표준 결과다. 확률과 통계 과목에서 증명과 함께 다룬다. ↩