정의

극한 (Limit)

Limit · 극한 · 극한값 · 입실론-델타 …

갱신

2026-10-09

요약

극한은 입력이 어떤 값에 한없이 다가갈 때 출력이 다가가는 값이다. 그 점에서의 함숫값과는 상관이 없어서, 0 나누기 0처럼 계산이 안 되는 곳에서도 “다가가는 값”은 말할 수 있다. 미분과 적분이 모두 극한으로 정의된다. 다만 왼쪽과 오른쪽에서 다가가는 값이 다르거나, 출력이 한없이 커지거나 계속 흔들리면 극한은 없다.

예시로 보기

\(f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\)은 \(x = 1\)에서 \(0/0\)이라 값이 없다. 그 근처를 넣어 본다.

\(x\)	0.9	0.99	0.999	1	1.001	1.01	1.1
\(f(x)\)	1.9	1.99	1.999	없음	2.001	2.01	2.1

양쪽 어디서 다가가도 2에 가까워진다. \(x \ne 1\)이면 \(f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1\)이라 그래프는 직선 \(y = x + 1\)에서 점 \((1, 2)\) 하나만 뚫린 모양이다. 뚫린 점의 높이 2가 극한이다. 여기서 1이 아래 정의의 \(a\), 2가 \(L\)이다.

빈 동그라미가 값이 없는 자리다. 주황 점(\(x = 0.9\), \(1.1\))처럼 양쪽 어디서 다가가도 높이가 2로 모인다¹.

정의

직관적으로 \(\lim_{x \to a} f(x) = L\)은 “\(x\)를 \(a\)에 충분히 가깝게(단, \(a\)는 아니게) 하면 \(f(x)\)를 \(L\)에 원하는 만큼 가깝게 할 수 있다”는 뜻이다².

극한의 엄밀한 정의

\[\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x\ \big(0 < \vert x - a\vert < \delta \to \vert f(x) - L\vert < \varepsilon\big)\]

• 오른쪽 극한 \(\lim_{x \to a^+}\)는 \(a < x < a + \delta\), 왼쪽 극한 \(\lim_{x \to a^-}\)는 \(a - \delta < x < a\)만 본다. 극한이 있을 필요충분조건은 두 한쪽 극한이 있고 같은 것이다.
• \(x \to \infty\)일 때의 극한과 \(f(x) \to \infty\)(무한대로 발산)도 같은 방식으로 정한다³.

flowchart TD
    A["x가 a로 다가갈 때 f(x)를 본다"] --> B{"왼쪽 극한과 오른쪽 극한이 모두 있나"}
    B -- "아니오" --> N1["극한 없음: 한쪽에서 한없이 커지거나 계속 흔들린다"]
    B -- "예" --> C{"두 값이 같은가"}
    C -- "아니오" --> N2["극한 없음: 양쪽에서 다가가는 높이가 갈린다"]
    C -- "예" --> Y["극한이 있고, 그 공통값이 L이다"]

극한이 있는지는 왼쪽과 오른쪽을 따로 본 뒤 두 값을 맞대어 정한다. \(x = a\)에서의 함숫값은 이 판단 어디에도 들어가지 않는다⁴.

설계 이유. 조건 \(0 < \vert x - a\vert\)는 \(x = a\)를 뺀다. 극한은 점 자체가 아니라 주변의 행동에 대한 말이기 때문이다. 한정기호 순서 \(\forall\varepsilon\,\exists\delta\)는 “상대가 오차 허용치 \(\varepsilon\)을 아무리 작게 불러도, 나는 그에 맞는 \(\delta\)를 댈 수 있다”는 게임이다(술어와 한정기호). 순서를 바꾸면 전혀 다른 뜻이 된다.

동치인 다른 정의. \(\lim_{x \to a} f(x) = L\)은 “\(a\)로 다가가는(\(a\)와 다른) 모든 수열 \(x_n\)에 대해 \(f(x_n) \to L\)“과 같다. [증명 생략: OpenStax Calculus Volume 1 2.5절의 범위를 넘는 해석학의 결과. 수열의 극한은 수열의 극한과 e]

해당하는 예: \(\lim_{x \to 2}(x^2 + 1) = 5\), \(\lim_{x \to 1}\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2\), \(\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1\). 해당하지 않는 예: \(\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\)(양쪽에서 \(+\infty\)와 \(-\infty\)로 달아남), \(\lim_{x \to 0}\sin\frac1x\)(0 근처에서 \(-1\)과 \(1\) 사이를 끝없이 오감).

왼쪽은 0의 양옆에서 다가가는 높이가 \(-1\)과 \(1\)로 갈린다. 오른쪽은 0에 다가갈수록 흔들림이 더 촘촘해져서, 어느 한 높이로 모이지 않는다¹.

극한 법칙과 조임 정리

\(\lim f = L\), \(\lim g = M\)이면 \(\lim (f \pm g) = L \pm M\), \(\lim fg = LM\), \(M \ne 0\)이면 \(\lim f/g = L/M\)이다. 또 \(a\) 근처에서 \(g(x) \le f(x) \le h(x)\)이고 \(\lim g = \lim h = L\)이면 \(\lim f = L\)이다(조임 정리)².

증명

\(\lim_{x \to 3}(2x + 1) = 7\)을 정의로 증명한다.

증명 펼치기

1. 목표를 \(\vert x - 3\vert\)로 쓰기: \(\vert f(x) - 7\vert = \vert 2x - 6\vert = 2\vert x - 3\vert\).
2. \(\delta\) 고르기: \(\varepsilon > 0\)이 주어지면 \(\delta = \varepsilon / 2\)로 둔다.
3. 확인: \(0 < \vert x - 3\vert < \delta\)이면 \(\vert f(x) - 7\vert = 2\vert x - 3\vert < 2\delta = \varepsilon\). ∎

\(\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1\) [증명 스케치]: 단위원에서 넓이를 비교하면 \(0 < \vert x\vert < \pi/2\)에서 \(\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1\)이다. \(x \to 0\)이면 \(\cos x \to 1\)이므로 조임 정리로 1이다.

스스로 설명해 보기

1. 증명의 2단계에서 δ = ε/2가 “먼저 ε을 받고 나서” 정해지는 것은 왜 중요한가?

정의가 \(\forall\varepsilon\,\exists\delta\) 순서라서 \(\delta\)는 \(\varepsilon\)에 따라 달라져도 된다. 모든 \(\varepsilon\)에 통하는 \(\delta\) 하나를 먼저 정하라는 요구가 아니다.

2. 조임 정리로 sin x / x → 1을 얻을 때 부등식이 x = 0에서 맞을 필요가 없는 이유는?

극한은 \(0 < \vert x - a\vert\)인 곳만 보기 때문이다. \(x = 0\)에서 \(\frac{\sin x}{x}\)는 정의조차 되지 않는다.

이 정의의 핵심 아이디어는?

“한없이 가까워진다”는 모호한 말을 “어떤 오차 허용치에도 맞출 수 있다”는 유한한 약속들의 모음으로 바꾼다.

같은 형식을 쓰는 다른 상황은?

수열의 극한은 \(\forall\varepsilon\,\exists N\), 이산수학의 점근 표기는 \(\exists c\,\exists n_0\,\forall n \ge n_0\) 꼴로 같은 게임을 한다.

예제

\(\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{x}\)를 구한다.

1. 알고 있는 모양 만들기: \(\frac{\sin 3x}{x} = 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x}\).
2. 바꿔 부르기: \(u = 3x\)로 두면 \(x \to 0\)일 때 \(u \to 0\).
3. 극한 법칙: \(3 \cdot \lim_{u \to 0}\frac{\sin u}{u} = 3 \cdot 1 = 3\).

검증: 예시 표, \(\sin x/x\)와 \(\sin 3x/x\), \(\delta = \varepsilon/2\)를 무작위 2만 번 확인, 부호 함수와 \(\sin(1/x)\), 부동소수점의 한계, 조임 부등식, 오해의 함수 — 01_limits_verify.py

활용

• 미분과 적분의 정의. 순간 변화율(도함수)과 넓이(적분)가 모두 극한이다.
• 부동소수점은 한없이 다가가지 못한다. 1 + 1e-17 == 1.0이 참이다. 실수는 연속이지만 컴퓨터의 수는 띄엄띄엄 있어서, 극한을 “아주 작은 \(h\)를 넣어 계산”하려 하면 어느 순간부터 오차가 커진다(도함수의 수치 미분).
• 신호 처리. \(\frac{\sin x}{x}\)(싱크 함수)는 이상적인 저역 통과 필터와 표본에서 신호를 복원하는 공식에 나온다. \(x = 0\)에서의 값은 극한값 1로 정한다⁵.

연결

• 선수: 함수
• 이어지는 개념: 연속, 수열의 극한과 e, 도함수
• 한정기호의 순서: 술어와 한정기호

자주 하는 오해

“극한값은 그 점의 함숫값이다”

틀렸다. 다항식처럼 흔히 보는 함수는 극한값과 함숫값이 같아서 그렇게 느껴진다. 하지만 극한은 \(x = a\) 자체를 보지 않는다. \(x \ne 0\)이면 \(x^2\), \(x = 0\)이면 5인 함수는 0 근처에서 값이 0에 다가가므로 극한은 0이지만 함숫값은 5다. 함숫값이 아예 없는 \(\frac{x^2 - 1}{x - 1}\)도 \(x = 1\)에서 극한 2를 가진다. 둘이 같은 경우를 따로 이름 붙인 것이 연속이다.

확인 문제

C1 \(\lim_{x \to a} f(x) = L\)의 ε-δ 정의를 쓰고, \(0 < \vert x - a\vert\) 조건이 왜 있는지 설명하라.

답: 모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해 어떤 \(\delta > 0\)이 있어, \(0 < \vert x - a\vert < \delta\)인 모든 \(x\)에서 \(\vert f(x) - L\vert < \varepsilon\). \(0 < \vert x - a\vert\)는 \(x = a\)를 빼서, 그 점의 값(또는 값이 없음)이 극한에 영향을 주지 않게 한다.

C2 \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)과 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}\)를 구하라.

답: 2와 3. 첫째는 약분해 \(x + 1\)로 만든 뒤 \(x = 1\)을 넣고, 둘째는 \(3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x}\)로 바꾼다.

흔한 오답: 둘째를 1이라고 하는 것. \(\frac{\sin u}{u} \to 1\)은 사인 안의 \(u\)와 분모의 \(u\)가 같을 때만 쓴다.

C3 x → 0에서 극한이 없는 함수를 두 가지 이유로 하나씩 들라.

답: 한쪽 극한이 다름: 부호 함수(왼쪽 \(-1\), 오른쪽 \(1\)). 계속 흔들림: \(\sin\frac1x\)(0 근처에서 \(1\)과 \(-1\)을 끝없이 오간다). (\(\frac1x\)처럼 무한대로 가는 것도 유한한 극한이 없다.)

C4 \(\lim_{x \to 3} (2x + 1) = 7\)을 ε-δ로 증명하라.

답: \(\vert f(x) - 7\vert = 2\vert x - 3\vert\)이다. 주어진 \(\varepsilon\)에 \(\delta = \varepsilon/2\)를 고르면 \(0 < \vert x - 3\vert < \delta\)일 때 \(\vert f(x) - 7\vert < 2\delta = \varepsilon\).

1. 01_limits_plot.py로 그렸고, 예시 표의 값(\(f(0.9) = 1.9\), \(f(1.1) = 2.1\) 등)과 0에 아무리 가까워도 \(\sin(1/x)\)가 1과 \(-1\)을 모두 지나는 것을 같은 코드로 확인했다. ↩ ↩²

2. OpenStax, Calculus Volume 1, 2.2절 “The Limit of a Function”, 2.3절 “The Limit Laws”(조임 정리, \(\sin x / x\)) ↩ ↩²

3. OpenStax, Calculus Volume 1, 2.5절 “The Precise Definition of a Limit” ↩

4. 정의 절의 한쪽 극한 조건(두 한쪽 극한이 있고 같을 때만 극한이 있다)과 해당하지 않는 예를 근거로 그렸다. ↩

5. 싱크 함수와 표본화 정리(휘태커-섀넌 보간)는 신호 처리의 표준 내용이다. ↩