모든 함수를 극한의 정의로 미분할 필요는 없다. 거듭제곱·지수·로그·삼각함수 몇 가지의 도함수와, 합·곱·몫을 미분하는 규칙만 있으면 대부분의 식을 기계적으로 미분한다. 이 규칙들이 컴퓨터가 식을 자동으로 미분하는 방법의 기본 부품이다. 다만 곱의 미분은 각 도함수의 곱이 아니다.
예시로 보기
\(x^2 e^x\)을 미분한다. 두 함수의 곱이라 곱의 미분법을 쓴다. “앞을 미분하고 뒤는 그대로” 더하기 “앞은 그대로 뒤를 미분”이다.
\[(x^2 e^x)' = (x^2)'\,e^x + x^2\,(e^x)' = 2x e^x + x^2 e^x = (2x + x^2)e^x\]넓이로 보면 이해가 쉽다. 가로 \(f\), 세로 \(g\)인 직사각형의 넓이 \(fg\)가 조금 변할 때, 가로가 늘어 생긴 띠 \(f'g\)와 세로가 늘어 생긴 띠 \(fg'\)가 더해진다. 모서리의 작은 조각은 \(h^2\) 크기라 극한에서 사라진다.
입력이 \(h\)만큼 늘면 가로는 \(\Delta f \approx f'h\), 세로는 \(\Delta g \approx g'h\)만큼 는다. 늘어난 넓이를 \(h\)로 나누면 주황 띠는 \(f'g\), 초록 띠는 \(fg'\)로 남고, 보라 모서리만 0으로 줄어든다1.
정의
| 함수 | 도함수 | 조건 |
|---|---|---|
| \(c\) (상수) | \(0\) | |
| \(x^r\) | \(r x^{r-1}\) | \(r\)은 실수, \(x > 0\) (정수 \(r\)이면 모든 \(x\)) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | |
| \(a^x\) | \(a^x \ln a\) | \(a > 0\) |
| \(\ln x\) | \(1/x\) | \(x > 0\) |
| \(\sin x\), \(\cos x\) | \(\cos x\), \(-\sin x\) | \(x\)는 라디안 |
| \(\tan x\) | \(\sec^2 x = 1/\cos^2 x\) | \(\cos x \ne 0\) |
법칙2: \((af + bg)' = af' + bg'\) (선형성), \(\ (fg)' = f'g + fg'\) (곱), \(\ \left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}\) (\(g \ne 0\), 몫)
증명
- 거듭제곱(양의 정수 \(n\)): \((x+h)^n = x^n + n x^{n-1}h + (h^2 \text{ 이상의 항})\)(이항정리)이므로 몫은 \(n x^{n-1} + (h \text{를 곱한 항}) \to n x^{n-1}\).
- 곱: \(f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) = [f(x+h) - f(x)]g(x+h) + f(x)[g(x+h) - g(x)]\). \(h\)로 나누고 극한을 취하면 \(g(x+h) \to g(x)\)(미분 가능하면 연속)라서 \(f'g + fg'\).
- \(e^x\): \(\frac{e^{x+h} - e^x}{h} = e^x \cdot \frac{e^h - 1}{h}\)이고 \(\frac{e^h - 1}{h} \to 1\)이다. 이것이 지수함수에서 본 “\(e\)는 \(x = 0\)에서 기울기가 1인 밑”이라는 성질이다.
- \(\sin x\): 덧셈정리로 \(\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h} \to \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1\). 두 극한은 \(h\)가 라디안일 때의 값이다.
- \(\ln x\)와 \(a^x\), 실수 지수, 몫: 연쇄 법칙에서 증명한다. ∎
예제
\(\left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right)'\)을 구한다.
- 구조 보기: 몫이다. \(f = x + 1\), \(g = x - 1\).
- 각각 미분: \(f' = 1\), \(g' = 1\).
- 몫의 법칙: \(\dfrac{1 \cdot (x - 1) - (x + 1) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \dfrac{-2}{(x - 1)^2}\).
- 확인: 함수가 \(x > 1\)에서 줄어드는 모양(\(x = 2\)에서 3, \(x = 3\)에서 2)과 도함수가 음수인 것이 맞는다.
flowchart TD
A["식의 가장 바깥 연산을 찾는다"] --> B{"무엇으로 묶였나"}
B -- "합, 상수배" --> R1["선형성: 각각 미분해 더한다"]
B -- "곱" --> R2["곱의 법칙: f′g + fg′"]
B -- "몫" --> R3["몫의 법칙, 분모 g ≠ 0"]
B -- "함수 안의 함수" --> R4["연쇄 법칙"]
B -- "기본 함수 하나" --> R5["기본 도함수 표에서 읽는다"]
R1 --> S["나온 조각마다 같은 질문을 되풀이한다"]
R2 --> S
R3 --> S
R4 --> S
S --> A
예제의 1단계 “구조 보기”가 맨 위 질문이다. 법칙을 한 번 쓰면 더 작은 조각의 도함수가 필요해진다. 조각마다 같은 질문을 던지다 보면 결국 기본 도함수 표에 닿는다3.
활용
- 자동미분의 부품. 딥러닝 라이브러리는 덧셈, 곱셈,
exp,log,sin같은 기본 연산마다 이 표의 도함수를 구현해 두고, 복잡한 식은 연쇄 법칙으로 조립한다. - 왜 라디안인가. 각을 도로 재면 \(\frac{d}{dx}\sin(x°) = \frac{\pi}{180}\cos(x°)\)로 성가신 상수가 붙는다. 라디안에서만 \(\sin' = \cos\)이 깔끔하다. 수학 라이브러리가 라디안을 쓰는 이유다(각과 라디안).
- 기호 미분. SymPy 같은 기호 계산 도구는 이 표와 법칙을 식에 규칙적으로 적용해 도함수 식을 만든다.
연결
자주 하는 오해
틀렸다. 합의 미분이 \((f + g)' = f' + g'\)라서 곱도 같은 모양일 것 같다. \(f = g = x\)이면 \((x \cdot x)' = (x^2)' = 2x\)인데 \(f'g' = 1 \cdot 1 = 1\)이다. 직사각형 넓이의 변화를 떠올리면, 가로와 세로가 각각 늘어난 두 띠를 더해야 한다: \((fg)' = f'g + fg'\).
확인 문제
C1 곱의 미분법과 몫의 미분법을 쓰라.
답: \((fg)' = f'g + fg'\), \(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}\).
흔한 오답: 몫의 법칙 분자의 순서를 바꿔 \(fg' - f'g\)로 쓰는 것. \(f = x\), \(g = 1\)로 확인하면 \(1\)이 나와야 한다.
C2 (a) x² eˣ (b) (x + 1)/(x − 1)을 미분하라.
답: (a) \((2x + x^2)e^x\). (b) \(\frac{-2}{(x-1)^2}\).
C3 sin x의 도함수가 cos x가 되려면 x를 왜 라디안으로 재야 하는가?
답: 증명에 쓰는 극한 \(\frac{\sin h}{h} \to 1\)이 \(h\)가 라디안일 때의 값이다. 도로 재면 \(\sin(h°) = \sin(\frac{\pi h}{180})\)이라 극한이 \(\frac{\pi}{180}\)이 되고, 도함수에 그 상수가 붙는다.
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05_differentiation-rules_plot.py로 그렸다. 늘어난 양은 잘 보이게 크게 잡았다. 늘어난 넓이가 두 띠와 모서리의 합인 것, \(f = x^2\), \(g = e^x\), \(x = 1\)에서 모서리를 \(h\)로 나눈 값이 0으로 가는 것, \((x^2e^x)' = (2x + x^2)e^x\)를 같은 코드로 확인했다. ↩
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OpenStax, Calculus Volume 1, 3.3절 “Differentiation Rules”, 3.5절 “Derivatives of Trigonometric Functions”, 3.9절 “Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions” ↩