정적분과 리만 합

요약

속도계 기록만으로 이동 거리를 구하려면, 짧은 시간마다 “그때 속도 × 시간”을 더하면 된다. 시간을 잘게 나눌수록 이 합은 참값에 다가가고, 그 극한이 정적분이다. 거리, 넓이, 누적 사용량처럼 “변하는 양을 쌓은 것”을 모두 이 방법으로 정의한다. 다만 값이 아래로 내려가면 음수로 쌓여 넓이와 다를 수 있고, 너무 들쭉날쭉한 함수는 이 극한이 정해지지 않는다.

예시로 보기

자동차의 속도가 \(t\)초에 \(v(t) = t^2\) m/s라 하자. 0초부터 3초까지 간 거리를 구한다. 3초를 \(n\)칸으로 나눠, 칸마다 왼쪽 끝(또는 오른쪽 끝)의 속도로 그 칸 내내 달렸다고 친다.

칸 수 \(n\)	왼쪽 끝 합 \(L_n\)	오른쪽 끝 합 \(R_n\)
3	\(0 + 1 + 4 = 5\)	\(1 + 4 + 9 = 14\)
6	6.875	11.375
30	8.555	9.455
300	8.95505	9.04505

속도가 계속 커지므로 왼쪽 끝 합은 모자라고 오른쪽 끝 합은 넘친다. 두 합이 함께 9로 모이므로 거리는 9 m다. 그래프로 보면 곡선 \(y = t^2\) 아래 \([0, 3]\) 구간의 넓이다. 속도 함수가 아래 정의의 \(f\), 칸의 폭이 \(\Delta x\), 칸마다 고른 시각이 \(x_i^*\)다.

표의 \(n = 6\) 줄이다. 왼쪽은 막대마다 곡선 아래에 틈이 남고, 오른쪽은 막대가 곡선 위로 삐져나온다. 두 그림에서 막대와 곡선이 어긋난 부분이 칸을 잘게 할수록 함께 줄어든다¹.

정의

\(f\)가 \([a, b]\)에서 정의된 함수라 하자. 구간을 \(a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\)로 나누고(분할), 각 칸 \([x_{i-1}, x_i]\)에서 점 \(x_i^*\)를 골라 만든

\[S = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x_i \qquad (\Delta x_i = x_i - x_{i-1})\]

를 리만 합이라 한다. 가장 넓은 칸의 폭 \(\max_i \Delta x_i\)가 0으로 갈 때, 점을 어떻게 고르든 \(S\)가 같은 수 \(I\)로 다가가면 \(f\)는 적분 가능하고 \(\int_a^b f(x)\,dx = I\)라 쓴다².
엄밀히는: \(\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\)(\(\forall\)은 “모든”), 폭이 모두 \(\delta\) 미만인 모든 분할과 점 선택에서 \(\vert S - I\vert < \varepsilon\).

\(\int\)는 합(Sum)의 S를 늘인 기호이고, \(dx\)는 \(\Delta x\)가 한없이 작아진 것을 나타낸다. \(b < a\)이면 \(\int_a^b f = -\int_b^a f\)로, \(\int_a^a f = 0\)으로 약속한다.

설계 이유. “점을 어떻게 고르든”을 요구하는 이유는 결과가 자르는 방식에 따라 달라지면 안 되기 때문이다. 그래서 칸 안에서 가장 큰 값을 골라도(넘치는 합), 가장 작은 값을 골라도(모자라는 합) 같은 극한이어야 한다. \(f\)가 음수인 곳은 음수로 더해진다. 속도가 음수면 뒤로 간 것이므로, “순 이동 거리”로 읽으면 자연스럽다.

동치인 다른 정의. 칸마다 가장 큰 값으로 만든 상합 \(U\)와 가장 작은 값으로 만든 하합 \(L\)을 쓰면, 유계인 \(f\)는 \(\inf U = \sup L\)일 때 그리고 그때만 적분 가능하다(다르부 판정)³. 예시의 \(R_n\), \(L_n\)이 증가함수의 상합과 하합이다.

적분 가능한 것. 닫힌 구간에서 연속인 함수는 적분 가능하다². 단조 함수(아래 증명)와 불연속점이 유한 개인 유계 함수도 적분 가능하다³. 예: \([0, 3]\)에서 \(x^2\) (값 9), \([0, \pi]\)에서 \(\sin x\) (값 2), \([0, 3]\)에서 계단 함수 \(\lfloor x \rfloor\) (값 \(0 + 1 + 2 = 3\)).

적분 가능하지 않은 것. 유리수에서 1, 무리수에서 0인 디리클레 함수는 어떤 칸에도 두 종류의 수가 다 있어 상합은 늘 1, 하합은 늘 0이다. \((0, 1]\)의 \(\frac1x\)처럼 값이 한없이 커지는 함수도 리만 합이 정해지지 않는다. 이런 경우는 이상적분에서 극한으로 따로 다룬다.

flowchart TD
    A["닫힌 구간 a, b 위의 f"] --> B{"f가 유계인가"}
    B -- "아니오" --> I["리만 합이 정해지지 않는다. 이상적분으로 따로 정한다"]
    B -- "예" --> C{"연속이거나, 단조이거나, 불연속점이 유한 개인가"}
    C -- "예" --> Y["적분 가능하다"]
    C -- "아니오" --> D{"상합의 하한과 하합의 상한이 같은가"}
    D -- "예" --> Y
    D -- "아니오" --> N["적분 가능하지 않다"]

가운데 질문은 빨리 판정하는 지름길이고, 마지막 질문(다르부 판정)이 정의와 같은 기준이다. 지름길에 걸리지 않는 함수라도 마지막 질문에서 적분 가능으로 판정될 수 있다⁴.

기본 성질. 적분은 선형이다(\(\int (cf + g) = c\int f + \int g\)). 구간을 나눠 더할 수 있다(\(\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b\)). \(f \le g\)이면 \(\int f \le \int g\)이다.

증명

증가함수가 적분 가능함을 상합과 하합의 차이로 보인다.

증명 펼치기

\(f\)가 \([a, b]\)에서 증가한다고 하자. \(n\)등분하고 \(\Delta x = \frac{b - a}{n}\)이라 하자.

상합과 하합: 증가함수라 칸의 가장 큰 값은 오른쪽 끝, 가장 작은 값은 왼쪽 끝이다. 그래서 \(U_n = R_n\), \(L_n\)은 왼쪽 끝 합이다.
차이가 한 줄로 줄어든다: \(R_n - L_n = \sum_{i=1}^{n} \big(f(x_i) - f(x_{i-1})\big)\Delta x = \big(f(b) - f(a)\big)\Delta x\). 가운데 항들이 서로 지워진다(망원 합).
0으로 간다: \(f(b) - f(a)\)는 고정된 수이고 \(\Delta x \to 0\)이라 차이가 0으로 간다.
끼우기: 어떤 점을 골라도 리만 합은 \(L_n\)과 \(R_n\) 사이에 있으므로 모두 같은 극한으로 간다. ∎

연속함수의 경우는 “닫힌 구간의 연속함수는 고르게 연속”이라는 사실이 필요해 [증명 생략: 해석학 교재의 리만 적분 장].

스스로 설명해 보기

1. 증명 2단계의 합이 f(b) − f(a)만 남는 이유는?

\(\big(f(x_1) - f(x_0)\big) + \big(f(x_2) - f(x_1)\big) + \cdots\)에서 \(f(x_1)\), \(f(x_2)\), …가 한 번은 더해지고 한 번은 빼져 지워진다. 남는 것은 \(f(x_n) - f(x_0)\)이다.

2. 증명 4단계에서 “모든 리만 합이 L_n과 R_n 사이”인 이유는?

칸 안의 어떤 점 \(x_i^*\)에서도 \(f(x_{i-1}) \le f(x_i^*) \le f(x_i)\)이다(증가함수). 칸마다 이 부등식에 \(\Delta x\)를 곱해 더하면 된다.

이 증명의 핵심 아이디어는?

모자라는 합과 넘치는 합으로 참값을 끼우고, 두 합의 차이가 0으로 가는지만 본다. 참값을 모르면서도 존재를 보일 수 있다.

같은 방법을 쓸 수 있는 다른 상황은?

이산수학의 조화수 어림처럼 합을 위아래로 끼우는 모든 곳, 그리고 이분법이 구간을 좁혀 근을 끼우는 방식이다.

예제

\(\int_0^1 x\,dx\)를 정의대로 구한다.

분할: \(n\)등분, \(\Delta x = \frac1n\), 오른쪽 끝 \(x_i = \frac in\).
합: \(R_n = \sum_{i=1}^{n}\frac in \cdot \frac1n = \frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n + 1}{2n}\).
극한: \(n \to \infty\)이면 \(\frac12\). 밑변 1, 높이 1인 삼각형의 넓이와 같다.

검증: 예시 표의 \(L_n\), \(R_n\), 예제의 \(\frac{n+1}{2n}\), 카드 C2의 값, 증가함수에서 \(R_n - L_n = (f(b) - f(a))\Delta x\), 계단 함수의 값 3, 디리클레 함수의 상합·하합(유리수 점과 무리수 점을 골라 계산), 수치 적분 규칙의 오차 차수(실험) — 11_riemann-integral_verify.py

활용

수치 적분. 원시함수를 모르는 함수(예: \(e^{-x^2}\))는 리만 합으로 계산한다. 칸 수 \(n\)을 두 배로 할 때 오차가 왼쪽 끝 합은 약 절반, 사다리꼴 규칙은 약 \(\frac14\), 심프슨 규칙은 약 \(\frac{1}{16}\)로 준다(매끄러운 함수)⁵. 구현: 11_riemann-integral_impl.py.

\(\int_0^1 e^x\,dx\)를 세 방법으로 계산한 오차다. 두 눈금이 모두 로그라 세 선이 곧게 내려가고, 기울기가 가파를수록 칸을 늘릴 때 오차가 빨리 준다. 심프슨 규칙은 칸 512개면 오차가 \(10^{-12}\) 아래다¹.

누적량. 전력(W)을 시간에 대해 적분하면 에너지(J), 네트워크 전송률을 적분하면 보낸 데이터 양이다. 로그가 일정 간격으로 찍힌 측정값이면 그 자체가 리만 합이다.
확률. 연속 확률변수의 확률은 확률밀도 함수 아래 넓이다(연속 확률변수와 확률밀도).
흔한 실수. 넓이를 구하면서 \(x\)축 아래 부분을 음수로 더하는 것. 넓이는 \(\int \vert f\vert\)다.
알고리즘에서: 직사각형의 넓이는 세로로 덮인 길이를 \(x\)에 대해 적분해 넓이를 구한다. 이 길이는 직사각형이 들어오고 나가는 \(x\)에서만 바뀌는 계단 함수라, 그 \(x\)들로 나눈 리만 합이 근삿값이 아니라 참값이다.

연결

선수: 극한, 수열과 합의 기호
계산 도구: 미적분의 기본정리가 리만 합의 극한을 원시함수의 차로 바꾼다.
거꾸로 된 연산: 도함수는 차이의 비의 극한, 적분은 곱의 합의 극한이다.
다른 과목: 삼색 이론은 눈의 추상체 반응을 빛의 스펙트럼과 감도 곡선을 곱해 적분한 \(r_k = \int i(\lambda)\sigma_k(\lambda)\,d\lambda\)로 쓴다. 파장을 잘게 나눠 곱해 더하는 리만 합과 같은 구조다.

자주 하는 오해

“정적분은 곡선 아래의 넓이다”

틀렸다. 첫 예제들이 모두 양수 함수라 넓이로 배우기 쉽다. 하지만 정적분은 부호가 있는 누적량이다. \(\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0\)이지만 곡선과 \(x\)축 사이의 넓이는 4다. 위아래 넓이가 2씩 있어서 서로 지워진다. 넓이가 필요하면 \(\int_0^{2\pi}\vert \sin x\vert \,dx = 4\)처럼 절댓값을 적분한다.

확인 문제

C1 리만 합과 정적분의 정의를 쓰라. “점을 어떻게 고르든”이라는 조건이 왜 들어가는지도 한 줄로 쓰라.

답: 분할 \(a = x_0 < \cdots < x_n = b\)와 점 \(x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]\)로 만든 \(\sum f(x_i^*)\Delta x_i\)가 리만 합이다. 칸의 최대 폭이 0으로 갈 때 점 선택과 상관없이 같은 극한 \(I\)로 가면 \(\int_a^b f = I\)다. 점 선택을 묶는 이유는 값이 자르는 방식에 따라 달라지지 않게 하기 위해서다.

C2 f(x) = x²을 [0, 2]에서 4등분해 왼쪽 끝 합과 오른쪽 끝 합을 구하고, 참값과 비교하라.

답: \(\Delta x = 0.5\). 왼쪽 \(0.5(0 + 0.25 + 1 + 2.25) = 1.75\), 오른쪽 \(0.5(0.25 + 1 + 2.25 + 4) = 3.75\). 참값 \(\frac83 \approx 2.667\)이 그 사이에 있다. 두 합의 차는 \((f(2) - f(0)) \times 0.5 = 2\)다.

C3 유계인데 리만 적분 가능하지 않은 함수를 들고 이유를 쓰라.

답: 디리클레 함수(유리수에서 1, 무리수에서 0). 어떤 칸에도 유리수와 무리수가 모두 있어, 점을 유리수로 고르면 리만 합이 늘 \(b - a\), 무리수로 고르면 늘 0이다. 칸을 아무리 잘게 해도 한 값으로 모이지 않는다.

C4 증가함수에서 n등분한 오른쪽 끝 합과 왼쪽 끝 합의 차가 (f(b) − f(a))(b − a)/n인 이유를 설명하라.

답: 칸마다 차이가 \((f(x_i) - f(x_{i-1}))\Delta x\)이고, 더하면 가운데 값들이 지워져 \((f(b) - f(a))\Delta x\)만 남는다(망원 합). \(\Delta x = \frac{b - a}{n}\)이다.

11_riemann-integral_plot.py로 그렸고, 표의 \(L_6 = 6.875\), \(R_6 = 11.375\)와, \(n\)을 64에서 128로 늘릴 때 오차 비율이 왼쪽 끝 합 약 2, 사다리꼴 약 4, 심프슨 약 16인 것을 같은 코드로 확인했다. ↩ ↩²
OpenStax, Calculus Volume 1, 5.1절 “Approximating Areas”(왼쪽·오른쪽 끝 합, 상합·하합), 5.2절 “The Definite Integral”(정의, 적분 가능성, 성질). ↩ ↩²
다르부 판정과 “불연속점이 유한 개인 유계 함수는 적분 가능”은 해석학 교재의 리만 적분 장에 있는 표준 결과다. 이 문서에서는 증가함수의 경우만 증명했다. 계단 함수의 값 3은 11_riemann-integral_verify.py에서 확인했다. ↩ ↩²
정의 절의 동치인 정의(다르부 판정), 적분 가능한 것과 적분 가능하지 않은 것을 근거로 그렸다. ↩
OpenStax, Calculus Volume 2, 3.6절 “Numerical Integration”(중점·사다리꼴·심프슨 규칙과 오차 한계). 오차 비율은 11_riemann-integral_verify.py에서 실험으로 확인했다. ↩