로피탈 정리와 증가 속도

요약

분자와 분모가 함께 0으로 가거나 함께 한없이 커지는 극한은 모양만 보고는 값을 알 수 없다. 로피탈 정리는 이때 분자와 분모를 각각 미분한 비의 극한을 보면 된다고 알려 준다. 이것으로 “로그는 어떤 거듭제곱보다도 느리고, 지수는 어떤 거듭제곱보다도 빠르다”는 알고리즘 분석의 기본 서열이 증명된다. 단, 0/0이나 ∞/∞ 꼴이 아닌 곳에 쓰면 틀린 답이 나온다.

예시로 보기

\(\frac{\ln x}{x}\)는 \(x \to \infty\)에서 분자도 분모도 한없이 커진다. 누가 더 빨리 크는지가 답을 정한다. 둘의 순간 증가율(도함수)을 비교하면 분자는 \(1/x\), 분모는 1이다. 로그는 갈수록 느리게 늘고 \(x\)는 일정하게 늘어서, 비는 \(\frac{1/x}{1} \to 0\)이다. 그래서 \(\frac{\ln x}{x} \to 0\)이다. 분자와 분모의 “빠르기”가 아래 정리의 \(f'\), \(g'\)이다.

정의

로피탈 정리

\(f\), \(g\)가 \(a\) 근처(점 \(a\) 제외)에서 미분 가능하고 \(g' \ne 0\)이며, \(x \to a\)일 때

\(f(x) \to 0\), \(g(x) \to 0\)이거나 (\(\frac00\) 꼴)
\(f(x) \to \pm\infty\), \(g(x) \to \pm\infty\)이고 (\(\frac{\infty}{\infty}\) 꼴)

\(\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)가 있으면(무한대 포함), \(\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}\)도 그 값과 같다. \(a = \pm\infty\)여도 된다¹.

증명 [증명 스케치]

\(\frac00\) 꼴이고 \(f(a) = g(a) = 0\)으로 이어 붙였다고 하자. 평균값 정리를 두 함수에 함께 쓰는 코시 평균값 정리로 \(\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}\)인 \(c\)가 \(a\)와 \(x\) 사이에 있다. \(x \to a\)이면 \(c \to a\)라 오른쪽이 가정한 극한으로 간다. 코시 평균값 정리는 \(h(t) = f(t)(g(x) - g(a)) - g(t)(f(x) - f(a))\)에 롤의 정리를 쓰면 나온다. \(\frac{\infty}{\infty}\) 꼴은 같은 생각이 조금 더 복잡하다. ∎

증가 속도의 서열. 로피탈 정리를 되풀이하면, \(\varepsilon > 0\), \(k > 0\), \(b > 1\)에 대해 \(x \to \infty\)일 때

\[\frac{\ln x}{x^\varepsilon} \to 0, \qquad \frac{x^k}{b^x} \to 0\]

이다. 둘째는 분자를 \(\lceil k \rceil\)(\(\lceil\ \rceil\)는 소수점 아래를 올린 정수)번 미분하면 분자가 상수나 0으로 줄지만 분모는 \(b^x(\ln b)^{\lceil k \rceil}\)로 여전히 한없이 크기 때문이다. 거듭제곱함수와 지수함수 비교의 서열 \(\lg n \ll n^\varepsilon \ll n^k \ll b^n\)을 이것이 증명한다.

예제

\(\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2}\)를 구한다.

꼴 확인: 분자·분모 모두 0으로 간다. \(\frac00\).
한 번 미분: \(\frac{e^x - 1}{2x}\). 아직 \(\frac00\).
한 번 더: \(\frac{e^x}{2} \to \frac12\).
결론: 극한은 \(\frac12\). 뜻은 \(x\)가 작을 때 \(e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}\)라는 것이다(테일러 급수).

\(0 \cdot \infty\)나 \(1^\infty\) 꼴도 바꿔서 쓴다. \(x \ln x = \frac{\ln x}{1/x}\)(\(\frac{-\infty}{\infty}\))는 \(x \to 0^+\)에서 \(\frac{1/x}{-1/x^2} = -x \to 0\). \(\left(1 + \frac{a}{x}\right)^x\)은 로그를 취하면 \(\frac{\ln(1 + a/x)}{1/x} \to a\)라서 \(e^a\)로 간다.

flowchart TD
    A["극한 lim f/g를 구한다"] --> B{"그냥 대입해서 값이 나오나"}
    B -- "예" --> V["그 값이 답이다. 로피탈을 쓰지 않는다"]
    B -- "아니오" --> C{"어떤 꼴인가"}
    C -- "0·∞" --> D["분수로 바꾼다. 예: x ln x = ln x ÷ 1/x"]
    C -- "1^∞" --> E["로그를 취해 분수로 만든다"]
    D --> C
    E --> C
    C -- "0/0 또는 ∞/∞" --> G["분자와 분모를 각각 미분한다"]
    G --> H{"f′/g′의 극한이 바로 나오나"}
    H -- "예" --> I["그 값이 답이다. 로그를 취했으면 e의 지수로 되돌린다"]
    H -- "아직 0/0 또는 ∞/∞" --> G

예제는 아래쪽 고리를 두 바퀴 돈 것이다. \(0 \cdot \infty\)와 \(1^\infty\) 꼴은 먼저 분수로 바꾼 뒤 고리에 들어간다².

검증: 예제의 1/2, \(x\ln x \to 0\), \((1 + a/x)^x \to e^a\), \(\ln x / x^{0.1}\)이 아주 느리게 0으로 감, \(x^{10}/1.1^x\), 오해의 반례, expm1의 정확도 — 09_lhopital-growth_verify.py

활용

점근 표기의 근거. 알고리즘의 비용을 비교할 때 “\(n \lg n\)은 결국 \(n^2\)보다 작다”, “다항 시간은 결국 지수 시간보다 빠르다”는 모두 이 극한이다. 다만 “결국”이 늦게 올 수 있다. \(\frac{\ln x}{x^{0.1}}\)은 \(x = 10^{10}\)에서 아직 약 2.3이고, \(x = 10^{100}\)이 되어야 \(2.3 \times 10^{-8}\)이다.

왼쪽 곡선은 \(x = e^{10} \approx 22{,}000\)까지 오히려 오르다가, \(10^{40}\) 근처가 되어서야 바닥에 붙는다. 오른쪽 \(x^{10}/1.1^x\)도 \(x \approx 105\)에서 \(10^{16}\) 가까이 올랐다가, \(x \approx 685\)를 지나야 1 아래로 내려간다(세로축은 로그 눈금)³.

수치 계산. \(\frac{e^x - 1}{x}\)를 아주 작은 \(x\)에서 그대로 계산하면 \(e^x\)와 1이 거의 같아 유효숫자가 사라진다(\(x = 10^{-12}\)에서 오차가 \(10^{-5}\) 정도). 극한값 1 근처의 이런 식은 math.expm1(x)(\(e^x - 1\)을 정확히 계산)과 math.log1p(x)(\(\ln(1 + x)\))를 쓴다.

연결

선수: 평균값 정리
증명하는 곳: 거듭제곱함수와 지수함수 비교, 로그함수와 로그 스케일의 “로그는 어떤 거듭제곱보다 느리다”
이어지는 개념: 이산수학의 점근 표기, 이상적분

자주 하는 오해

“분수의 극한은 늘 분자와 분모를 미분해서 구하면 된다”

틀렸다. 로피탈 정리가 강력해서 모든 분수에 쓰고 싶어진다. 이 정리는 \(\frac00\)이나 \(\frac{\infty}{\infty}\) 꼴에서만 맞는다. \(\lim_{x \to 0}\frac{x + 1}{x + 2}\)는 그냥 대입해 \(\frac12\)인데, 미분하면 \(\frac11 = 1\)로 틀린 값이 나온다. 쓰기 전에 꼴부터 확인한다.

확인 문제

C1 로피탈 정리를 쓸 수 있는 조건을 쓰라.

답: 극한이 \(\frac00\) 또는 \(\frac{\infty}{\infty}\) 꼴이고, 근처에서 미분 가능하며 \(g' \ne 0\)이고, \(\lim \frac{f'}{g'}\)이 존재해야 한다. 그때 \(\lim\frac{f}{g} = \lim\frac{f'}{g'}\).

C2 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}\)를 구하라.

답: \(\frac00\) 꼴이라 두 번 쓰면 \(\frac{e^x - 1}{2x} \to \frac{e^x}{2} \to \frac12\).

C3 로피탈 정리를 잘못 써서 틀린 답이 나오는 예를 들라.

답: \(\lim_{x \to 0}\frac{x + 1}{x + 2} = \frac12\)인데, 미분한 비 \(\frac11 = 1\)을 답으로 쓰면 틀린다. \(\frac12\)은 \(\frac00\) 꼴이 아니라서 정리의 가정이 깨졌다.

OpenStax, Calculus Volume 1, 4.8절 “L’Hôpital’s Rule”(부정형, 증가 속도 비교) ↩
정리의 가정(\(\frac00\), \(\frac{\infty}{\infty}\) 꼴), 예제의 두 번 미분과 꼴 바꾸기, 자주 하는 오해를 근거로 그렸다. ↩
09_lhopital-growth_plot.py로 그렸고, \(\frac{\ln x}{x^{0.1}}\)의 값(2.3과 \(2.3 \times 10^{-8}\))과 꼭대기 위치 \(x = e^{10}\), \(\frac{x^{10}}{1.1^x}\)의 꼭대기 \(x = \frac{10}{\ln 1.1} \approx 105\)와 1 아래로 내려가는 \(x \approx 685\)를 같은 코드로 확인했다. ↩